Контрольная работа по "Математике"

 Билет №1 Матрица – произвольная система

элементов расположенных в виде прямой таблицы

имеющая m строк и n столбцов.

 Виды матриц: Матрица-строка  

     Матрица-столбец                Квадратная n-порядка

                             Единичная

                             Верхняя треугольная матрица

                             Нижняя треугольная матрица

                             Транспонированная матрица:

                             Симметричная  (А=А^т)

                             Кососимметричная (А^т=-А)

 

Билет №2

Линейные операции над матрицами.

Сумма: C_ij=A_ij+B_ij

Произведение: C_ij=λa_ij

Свойства:

1. Сложение матриц коммутативно:

A+В=В+А [A+B]_ij=[B+A]_ij

2. Сложение матриц ассоциативно:

(А+В)+С=А+(В+С)

3.Умножение на число ассоциативно:

(λ*μ)А=λ(μ*А)

4. Умножение на число дистрибутивно 

относительно суммы действительных

чисел: (λ+μ)А=λ*А+μ*А

5. Умножение на число дистрибутивно 

относительно суммы матриц:

λ(А+В)=λА+λВ

6.А*1=А

7.А+0=А

8.А+(-А)=0

9.Транспонтрование матриц:

(А^т)^т=А

(А+В)^т=А^т+В^т

(λ*А)^т=λ*А^т

 

Билет №3 Умножение матриц:

1. Количество столбцов А должно быть равно количеству строк В.

2.Существование А*В не означает  существование В*А , что бы А  (m*n) можно было умножить  на В слева и справа В должна иметь тип n*m; если определены оба условия и выполняется условие А*В=В*А, то матрицы наз.- перестановочными.

Свойства:

1. Умножение ассоциативно 

(А*В)*С=А(В*С)

2. Умножение дистрибутивно относительно  суммы 

(А+В)*С=А*С+В*С

3.A*E=E*A=A

4.Θ-Нулевая матрица: А*Θ=Θ

5.(А*В)^т=В^т*А^т

6.Возведение: А¹=А

   Аⁿ⁺¹=А*Аⁿ

   Aⁿ*A^m=A^m*Aⁿ=A^m+n

 

Билет №4

Определители

К каждой квад. матрице порядка n можно поставить соответствующее число определенное некоторым образом по элементам матрицы это число – определитель (det A порядка n).

 

 

 

Билет №5

Свойства определителей

1. Опр. не меняется при транспонировании (det A = det A^т).

2. При перестановке  двух строк (столбцов) опр. меняет  свой знак  на противоположный.

3.       a₁₁+b₁₁  a₁₂+b₁₂  … a_1n+b_1n  a₁₁     a₁₂    …    a_1n b₁₁    b₁₂     …   b_1n

          a₂₁          a₂₂        …  a_2n    a₂₁      a₂₂       …   a_2n a₂₁      a₂₂       …   a_2n

           …      …         … =    …    …           … + …    …           …

          a_n1      a_n2       …    a_nn   a_n1       a_n2         ...   a_nn a_n1       a_n2         ...  a_nn

4.Общий множитель эл-тов строки (столбца) можно вынести за знак опр., чтобы умножить опр. На число достаточно на это число умножить эл-ты одной строки (столбца).

                _{n                         n}                    a₁₁    a₁₂    …   a_n1

Док-во:  Σλa_1jA_1j=λΣ  a_1jA_1j= λ   ………………...

               ^{j=1                       j=1} a_n1    a_n2   …   a_nn

5. Опр. равен нулю, если он  имеет:

     - нулевую строку (столбец)

     - хотя бы 2 одинаковые строки (столбцы)

      Δ=-Δ;   2Δ=0;  Δ=0

     - хотя бы две строки эл-ты кот, пропорциональны.

     - хотя бы одну строку (столбец)  явл. линейной комбинацией др. строк (столбцов).

6. Опр. не  изменится если к любой его  строке (столбцу) прибавить линейную  комбинацию других строк (столбцов).

7. Опр. верхней  (нижней) треуг. матрицы равен произведению эл-тов на главной диагонали.

8. Сумма  произведений эл-тов какой-либо  строки (столбца) на алгебр. дополнение  соответствуетэл-там других строк  (столбцов) равна 0.

9.  Опр.  произведения 2  квадр. матриц  равен произведению их определттелей.

    det (AB) = detA^.detB

 

Билет №6

Обратная матрица.

Пусть А  – кв. матрица порядка n, кв. матрицу В того же порядка наз.- обратной А, если выполняется равенство: АВ=ВА=Е.

Теорема о единственности:

Если кв. м-ца А имеет обратную, то обратная м-ца единственная.

Док-во: Предположим, что А имеет две обр. м-цы В и В′, тогда по опр-ю выполняется в частности равенство АВ′=Е.   ВА=Е, используя ассоциативность умножения получаем: В=ВЕ=В^.(АВ′)=(ВА)^.В′=Е^.В′=В′

значит  В и В′ совпадают, ч.т.д.

Т.обр. м-ца имеет одну обратную.

Теорема 2: Для того что бы кв. м-ца порядка  n имела обратную необходимо и достаточно что бы определитель этой м-цы был не равен 0.

Теорема 3: Если в обратной кв. м-це А и В порядка n имеют обратные, то и их произведение имеет обратную      м-цу, (АВ)^-1=В^-1А^-1.

Теорема 4: Если кв. м-ца порядка  n имеет обратную, то и транспонирована м-ца имеет обратную.

 

Билет №7

Вычисление  обратной м-ц:

Метод 1. Метод присоединенной м-цы.

А^-1=1\detА^.(А′)^т где А′=(Аij) – м-ца составленная из алг. дополнений.

Метод 2. Метод преобразования исходной м-цы к более простому виду,  с  помощью элементарных преобразований строк. Записывают блочную м-цу (АIЕ) и с помощью элементарных преобразований вместо м-цы А получают м-цу Е.

Матричные уравнения:

1. АХ=В
2. ХА=В
3. АХС=В

Решить матр. уравнение, означает найти м-цу Х. Предположим, что сущ. обратные м-цы А^-1 и С^-1.

Домножим ур-е 1 на обратную к А слева:

        А^-1.АХ = А^-1.В=Е,  ЕХ=Х= А^-1.В

Домножим ур-е 2 на А^-1 справа:

           ХА^.А^-1 = ВА^-1

                   ХЕ = ВА^-1

Х = ВА^-1

Домножим ур-е 3 на А^-1 слева, С^-1 справа:

        А^-1.АХС^.С^-1 = А^-1.В^.С^-1

        ЕХЕ = А^-1ВС^-1

        Х = А^-1.В^.С ^-1

 

Билет №8

Системы линейных уравнении.

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

 

Если b₁= b₂= … b_m=0 система наз.- однородной.

b₁,…, b_m –свободные члены

Набор из n-чисел х⁰ называется решением системы, если подстановка их в систему дает верное тождество.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В  противном случ. несовместной.

Три способа  решения:

1.Матричный способ:

 а₁₁   ...   а_1n                 x₁   b₁

………….       .    …       =    …

a_n1   …   a_nn               x_n       b_n

 

Тогда справедлива Теорема: система  имеет единственное решение Х=А^-1В – частный случай м-го ур-я, где

А^-1=1\detА^.(А′)^т.

2. Формула Крамера: 

x_i=Δ_i\Δ

3. Метод Гаусса:

х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=b₁

          x₂+…+a_2nx_n=b₂

                          x_n=b_m

 

а затем методом подбора.

 

Билет №9

Ранг м-цы

Рангом  м-цы называется максимальный порядок  минора этой м-цы отлич. от нуля.(rang A).

Если кв. м-ца порядка n невырождена, то ее ранг равен ее порядку.

Ранг единичной  м-цы (Е) порядка n: r(E)=n.

Ранг нулевой  м-цы равен 0.

Ранг диагональной м-цы равен  кол-ву ее не нулевых диаг. эл-тов.

Если ранг м-цы равен r, то м-ца имеет хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а ее миноры большего порядка равны 0.

При транспонировании м-цы ранг не меняется.

Ранг м-цы не изменится при элементарных преобразованиях м-цы.

Минор м-цы А наз. базисным, если выполняется 2 условия:

- он не равен 0

- его порядок равен рангу  м-цы

 

 

Билет №10

Вычисление  ранга м-цы

1.Метод окаймляющих миноров

Минор М′ м-цы А наз. окаймляющим  для минора М, если он получается из последнего добавлением одной строки и одного столбца порядка М′ на единицу больше чем М. Метод окаймляющих миноров позволяет найти один из базисных миноров  и состоит в следующем:

а) Выберем не нулевой эл-т.

б) Последовательно добавляем строки и столбцы, так что бы минор  был не нулевым.

в) Если минор  равен 0, то предыдущий минор будет базисным.

2. Метод  элементарных преобразований.

С помощью элементарных преобразований системы м-цу А приводят к виду

?   а₁₂   ...   а_1к   ...   а_1n

?   а₂₂   ...   а_2к   ...   а_2n =А

0   0     ...   а_3к   ...   а_3n

0   0     ...    0    ...    0

 

 

 

Билет №11

Системы совместные и  несовместные. Критерии совместности.

Критерии совместности дает Теорема  Кронекера-Капелли.

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=b₁ 

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

 

Система тогда и только тогда  совместна, когда ранг м-цы А равен рангу расширенной м-цы А.

1.Запишем столбцы м-цы в виде  векторов.

Если существует решение это  означает, что х₁⁰а₁+х₂⁰а₂+...+x_n⁰a_n=b – линейная комбинация в-в.,

значит добавление столбца свободных  членов к м-це А не увеличивает  общего числа линейно независимых строк(столбцов), поэтому выполняется условие: ранг м-цы А равен рангу расширенной м-цы.

2. Пусть  теперь выполняется условие ранг  м-цы А равен рангу расширенной  м-цы, тогда базисный минор м-цы  А  будет и базисным в  миноре расширенной м-цы, это означает, что  столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов, что вошли в базисный минор. Добавив к этой линейной комбинации другие столбцы с нулевыми элементами получим, что столбец свободных членов есть линейная комбинация всех столбцов м-цы, т.е. λ₁а₁+...λ_na_n=b, где λ является решением сис-мы. Теорема доказана.

 

Билет №12

Общее решение систем линейных уравнений

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=b₁ 

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

 

Пусть система совместна и  m‹n, тогда сис-ма имеет бесчисленное множ-во решений, которые получаются из общего решения.

Алгоритм:

1. Вычисление ранга м-цы А  r(A)=r≤m

2. Выбираем z строк вошедших в базисный минор и оставляем в системе z уравнений.

3. В выбранных ур-ях оставляем  в левых частях r неизвестных. Эти неизвестные наз. базисными.

4. Остальные (n-r)  неизвестные объявленные свободными  переносим в правую часть.

    Свободные неизвестные  могут принимать любые значения.

5. При решении системы неизвестные базисы выражают, через свободные, получаем общее решение, решая свободные неизвестные получаем ∞ решений.

 

Билет №13

Однородные  системы уравнений.

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=0 

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=0

………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=0

 

Матрица может быть записана в матричном  виде. Ранг м-цы равен рангу расширенной м-цы. АХ=0

Однородная система линейных уравнений  совместна. х₁=х₂=...=х_n=0 – тривиальное решение.

Пусть столбцы              х⁰₁ y⁰₁

x⁰= х⁰₂ y⁰=     y⁰₂

... …

х⁰_n y⁰_n

 

являются решением однородной системы, тогда по свойствам м-ц будут верны сл. тождества:

1. А(αх⁰)=α(Ах⁰)=0

2. А(х⁰+у⁰)=Ах⁰+Ау⁰=0

Из равенств вытекает, что столбцы  αх⁰,и х⁰+у⁰являютсмя решениями однородной системы и любая линейная комбинация решений будет решением системы.

Множество всех решений однородной системы образует линейное множество (пространство), его наз. пространством решений однородных уравнений.

Фундаментальная система решений.

Пусть r(A)=r, возможны случаи:

1. Если в системе r=n система имеет только тривиальное решение.

2. Если r‹n система имеет фундаментальное решение, полученное из общего решения.

Замечание: Число фундаментальных решений равно числу свободных членов.

 

Билет №14

Векторы. Основные понятия.

Геометрическим вектором наз. любой  направленный отрезок.

1 точку наз. началом (точкой  приложения). 2 точку наз. концом.

Длина вектора АВ это расстояние от А до В. Если длина равна 0 –  нуль-вектор.

Если длина равна 1 – единичный (орт) вектор. Два геом. вектора наз. коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. Нуль-вектор каллинеарен любому вектору. 3 геом.вектора наз. компланарными, если они лежат на прямых параллельных некоторой плоскости. Компланарные вектора лежат в одной плоскости.

2 вектора наз. равными, если  они компланарные и сонаправленные, их длины равны. Суммой 2 векторов а и в будет вектор с построенный по правилу: треугольника

параллелограмма.

Если вектора а и в –  коллинеарны, то при сложении работает правило треугольника.

Линейные операции над векторами.

1.Сложение векторов коммутативно: а+в=в+а

2. Сложение векторов ассоциативно: (а+в)+с=а+(в+с)

3. Существует такой нуль-вектор, что выполняется тождество: а+0=а

4. Для любого, а сущ. в что  выполняется тождество: а+в=0; в=-а

5. Для любых векторова и в  существует такой х для которого  выполняется тождество: а+х=в

6.  Разностью двух векторов а и в наз. такой х для которого выполняется тождество х=а-в

Разность векторов можно найти  по правилу треугольника.