Контрольная работа по математике

8. Свойства  операций над множествами. Отношения. Свойства отношений.

 

       Свойства  операций над множествами

       1)          Коммутативность.

       

       

       2)          Ассоциативность.

       

       3)          Дистрибутивность.

       

       4)          Закон поглощения.

       

       5)          Идемпотентность.

       

       6)          Инволютивность.

       

       7)          Свойство нуля.

       А Ø=А

       А Ø= Ø

       8)          Свойство единицы.

       

       9)           Закон де Моргана

       

       Отношения на множествах

       Когда говорят о родстве двух человек, Маша и Саша, то подразумевают, что  есть некая семья, к членам которой  они относятся. Упорядоченная пара (Маша, Саша) отличается от других упорядоченных  пар людей тем, что между Машей  и Сашей есть некое родство (кузина, отец, и т. д.). В математике среди  всех упорядоченных пар декартового произведения А´В двух множеств А и В тоже выделяются некоторые пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других.

       В качестве примера рассмотрим множество  S студентов какого-нибудь техникума и множество D изучаемых там дисциплин. В декартовом произведении S´D можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, d), обладающих свойством: студент s изучает дисциплину d. Построенное подмножество отражает отношение «изучает», естественно возникающее между множествами студентов и дисциплин.

       Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения, которое часто появляется как в математике, так и в информатике. Отношения между элементами нескольких множеств (n-арные отношения) применяются для описания простой системы управления базами данных.

       Отношением (бинарным отношением, двуместным отношением) из множества A в множество B называется некоторое подмножество декартового произведения  

       Отношения в дальнейшем будем обозначать

         

       (читается   отношение из A в B)

       Если  ,   и , то говорят,  что a находится в отношении с b. Используется также запись 

       

Бинарные отношения  могут обладать различными свойствами, такими как

• Рефлексивность: .
• Антирефлексивность (иррефлексивность): .
• Симметричность: .
• Антисимметричность: .
• Транзитивность: .
• Асимметричность:

1. Численное интегрирование. Способы  представления функции  в виде прямоугольников  и трапеций.

 

Численное интегрирование квадратура) — вычисление значения определённого интеграла. Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы значений в узлах некоторой расчётной сетки.
2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, f = exp.

В этих двух случаях  невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также  возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Одномерный  случай

Одномерный определённый интеграл как площадь криволинейной  трапеции под графиком

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более  простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол. Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

    Метод прямоугольников

Пусть требуется  определить значение интеграла функции  на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной . Обозначим через значение функции в точках . Далее составляем суммы . Каждая из сумм — интегральная сумма для и поэтому приближённо выражает интеграл  

Если заданная функция — положительная и  возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также  называемая формулой левых прямоугольников, а формула выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит  рассчитывать на большую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:  

Учитывая априорно большую точность последней формулы  при том же объеме и характере  вычислений её называют формулой прямоугольников

    Метод трапеций

Если функцию  на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке: 

Полная формула  трапеций в случае деления всего  промежутка интегрирования на отрезки  одинаковой длины h: