Контрольная работа по математике

Вариант 2

1. Что называется приращением  аргумента х и  приращением функции f(x) в точке xo ? Раскройте геометрический смысл этих приращений и сформулируйте соответствующее определение непрерывности функции.

 

    При сравнении значения функции f в некоторой  фиксированной точке x₀ со значениями этой функции в различных точках x, лежащих в окрестности x₀, удобно выражать разность f(x) – f(x₀) через разность x – x₀, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции».

    Пусть x – произвольная точка, ледащая  в некоторой окрестности фиксированной  точки x₀. разность x – x₀ называется приращение независимой переменной ( или приращением аргумента) в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x –x₀, откуда следует, что x = x₀ + Δx.

    Говорят также, что первоначальное значение аргумента x₀ получило приращение Δx. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) – f(x₀) = f (x₀ +Δx) – f(x₀).

    Эта разность называется приращением функции f в точке x₀, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению Δf = f (x₀ + Δx) – f (x₀), откуда f (x) = f (x₀ +Δx) = f (x₀) + Δf.

    При фиксированном x0 приращение Δf есть функция от Δx. Δf называют также приращение зависимой переменной и обозначают через Δy для функции y = f(x) .

    

    Рассмотрим  график функуии y=f(x). Геометрический смысл приращений Δx и Δf (приращение Δf обозначают также Δy) можно понять посмотрев на рисунок.

    Прямую l, проходящую через любые две  точки графика функции f, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (x₀; y₀) и (x; y), равен (y-y₀)/(x-x₀). Его удобно выразить через приращения Δx и Δy.

    

    C помощью введённых обозначений  приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t₀;t₀+Δt]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

    

    Аналогично  выражение 

    

    называют  средней скоростью изменения функции на промежутке с концами x₀ и x₀+Δx 

    Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента  и функции. Функция является непрерывной  в точке x = a, если справедливо равенство , где 

2. Вычислите:

 

а)  

б) 

 

в)  

3. Наибольшее  и наименьшее значения функции на отрезке.

 

    Наибольшим  значением функции  y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого, справедливо неравенство .

    Наименьшим  значением функции  y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

    Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции –  это самое большое (маленькое) принимаемое  значение на рассматриваемом интервале  при абсциссе .

    Стационарные  точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

    Для чего нам стационарные точки при  нахождении наибольшего и наименьшего  значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция  имеет экстремум (локальный минимум  или локальный максимум) в некоторой  точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто  принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

    Алгоритм  нахождения наибольшего  и наименьшего  значения непрерывной  функции на отрезке  [a; b].

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].
2. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.
3. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
4. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.
5. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.

4. Найти производную

а) y = √2x – sin 2x

 

б) y = e  
 

в) y = 1/3 x³ · cos x/3 
 
 

г) y = 3^x · log₂ (x-1) 
 

5. Исследовать функцию и построить  ее график

 

      а)  f(x) = x³/3  +  x²                                       б)  f(x) = x³ – 6x² + 2x – 6 
 
 

1. Область определения
2. Проверим на четность-нечетность

  – функция ни четная ни нечетная

Функция не периодическая

 

4. Найдем  точки пересечения с осями

С осью Оy точка (0;0)

C осью Ox

Точки

5. Определим промежутки знаков функции

      

6. Найдем  интервалы возрастания и убывания

 
 
 
      

7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции

 
 
      

8. Построим  график

 
 
 
 
 
 

1. Область определения
2. Проверим на четность-нечетность

  – функция не четная не нечетная

Функция не периодическая

 

4. Найдем  точки пересечения с осями

С осью Оy точка (0;-6)

C осью Ox 5,84

Точка

5. Определим промежутки знаков функции

      

6. Найдем  интервалы возрастания и убывания

 
 
 
      

7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции

 
 
      

8. Построим  график

 
 
 
 
 
 
 

6. Вычислить:

 

а)  ∫ (x⁴ + +3 +1/х²+1/х) dx

 
 

б) (2/1 + x² – 3/ ) dx 

в) x(3 – x) dx 
 

7. Дифференциальные  уравнения с разделяющими переменными.

 

    Пусть y(x) — некоторая функция, y'(x) — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции, dy = f(x + dx) − f(x) = y'(x)dx. Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим уравнение  .

    .

    Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на :

    .

    Последнее равенство означает, что малые  приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также  равны. Предположим что при x = x₀ y = y₀ и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от y₀ до y для левой части и от x₀ для x для правой части уравнения:

    .

    Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем  выразить y(x).

    Значения  x₀ и y₀ называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — , где F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде

    .

    Следует отметить, что у дифференциального  уравнения с разделяющимися переменными  могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y) = 0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).