Контрольная работа по «Математика. Математика в экономике»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим выборочные характеристики статистического распределения. Выборочное среднее, выборочную дисперсию и  выборочное среднее квадратическое отклонение определим по формулам.

, ,

 

Следовательно поличим:

 

Таким образом, средний  еженедельный объем перевозок лесных грузов составляет х = 154,74 тыс.куб.м.

Выборочная дисперсия  =646.684,7 тыс.куб.м

Выборочное среднее  квадратическое отклонение s = 804,17 тыс.куб.м.

3. Задача сетевого  планирования

Построить сетевую модель и произвести расчет ее временных параметров методом сетевого планирования на основе заданной структурной таблицы комплекса работ. Для этого необходимо:

1. построить предварительный сетевой график, упорядочить номера событий,
2. вычислить ранние и поздние сроки свершения событий, найти критический путь и критическое время, построить окончательный сетевой график, 
3. вычислить характеристики работ, представить их в виде таблицы,
4. построить линейную карту сети по ранним и поздним срокам свершения событий.

 

 

 

3. Данные к задаче по сетевому планированию
Работа	Опирается на работы			Длит.
a1	-	-	-	3
a2	-	-	-	5
a3	-	-	-	5
a4	-	-	-	6
a5	a1	-	-	6
a6	a1	-	-	7
a7	a2	-	-	7
a8	a2	-	-	7
a9	a3	a7	-	3
a10	a3	a7	-	4
a11	a5	a8	a9	7
a12	a5	a8	a9	4
a13	a4	a10	a11	6
a14	a6	a13	-	6
a15	a6	a13	-	4
a16	a12	a14	-	4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. Предварительный  сетевой график комплекса работ

Табл. Временные характеристики работ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа выполняется  из начального события к конечному. Ранний срок начала работы  - это  «1» начального события. Поздний  срок окончания – это «3» конечного. Остальные сроки вычисляются с пом. продолжительности работы. Полный резерв вычисляется как разность между ранним и поздним сроком. Свободный резерв вычисляется как разница между «1» конечного события и ранним сроком окончания работы.

Критический путь: 0,2,3,4,5,6,7,8

Рис. Окончательный  сетевой график

Рис. Линейная карта сети

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Задача о выпуске продукции при неопределенном спросе

 

В результате производства и реализации единицы продукции  А₁ А₂ A₃ завод получает чистый доход, зависящий от спроса на продукцию, который может принимать одно из состояний В₁, В₂, В₃, В₄ (заранее неизвестно, какое именно). Возможные значения дохода представлены платежной матрицей. В каких пропорциях следует выпускать продукцию А₁, А₂, А₃, чтобы гарантировать максимальный чистый доход при любом состоянии спроса.

 

Для этого необходимо

1. представить задачу о выпуске продукции как матричную игру предприятия с «природой», считая спрос на продукцию полностью неопределенным,
2. произвести упрощение платежной матрицы, используя принцип доминирования,
3. найти оптимальные стратегии игроков и цену игры,  
4. определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции с целью получения максимальной выгоды предприятию. 
5. определить наиболее выгодный для завода вид продукции, используя критерии Лапласа, Вальда и Сэвиджа,

 

Найти оптимальное поведение  предприятия по выпуску продукции на основе данных, содержащихся в табл.

 

4. Данные к задаче о выпуске продукции при неопределенном спросе
Виды продукции	Спрос
	B1	B2	B3	B4
A1	7	2	2	7
A2	2	3	7	4
A3	2	3	7	3

 

Решение: Рассмотрим поставленную задачу как матричную игру двух лиц: с одной стороны, завод (игрок А), который может выпускать продукцию А₁, А₂, А₃ (три чистых стратегии), с другой стороны «природа» (игрок В), имеющая четыре возможных состояния спроса на продукцию В₁, В₂, В₃, В₄ (четыре чистых стратегии).

 

Пусть Р*= (p1*,p2*,p3*) – оптимальные стратеги игрока А, а Q* = (q1*,q2*,q3*,q4*) – оптимальная стратегия игрока B. Согласно принципу доминирования, стратегию А3 стоит исключить, так как все элементы 3-й строки не превосходят элементов 2-й. Так же исключаются 3-й и 4-й столбец, так как их элементы не меньше соответствующих элементов 2-го и 1-го столбцов. Тогда получим след. матрицу.

 

	B1	B2
A1	7	2
A2	2	3

 

Оптимальная стратегия игрока A: вычитаем столбцы и получаем по модулю: ;

вероятность стратегий  обратно пропорциональна: p1* = , p2*= .

Оптимальная стратегия:  P*= ( ; ; 0)

 

Для игрока В  получаем по модулю строку (5;1)

 

Оптимальная стратегия  игрока В: Q* = ( ; ; 0; 0)

 

Цена игры:

 

Критерий Лапласа:

Средний доход от стратегии A1 = (7+2+2+7)/4 = 4,5;

от A2 = (2+3+7+4)/4 = 4;

от A3 = (2+3+7+3)/4 = 3,75;

Оптимальная стратегия  – А1.

 

 

 

 

 

Критерий Вальда:

 

Минимальный доход стратегии 

A1 = min(7,2,2,7) = 2; A2 – 2; A3 – 2.

Стратегии равнозначны.

 

Критерий Сэвиджа:

 

Таблица рисков.

	B1	B2	B3	B4
A1	0	1	5	0
A2	5	0	0	3
A3	5	0	0	4

 

*Строиться путём записывания  в соотв. ячейку модуля разницы  этого элемента и наибольшего  значения в столбце. 

 

 Максимальный риск  при стратегии A1 – r1 = max(0,1,5,0) = 5;

r2 = 5; r3 = 5.

Стратегии равнозначны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Задача о выпуске продукции при неопределенном спросе

В результате производства и реализации единицы продукции А₁ А₂ A₃ завод получает чистый доход, зависящий от спроса на продукцию, который может принимать одно из состояний В₁, В₂, В₃, В₄ (заранее неизвестно, какое именно). Возможные значения дохода представлены платежной матрицей. В каких пропорциях следует выпускать продукцию А₁ А₂, А₃, чтобы гарантировать максимальный чистый доход при любом состоянии спроса. Для этого необходимо:

1. представить задачу о выпуске продукции как матричную игру предприятия с «природой», считая спрос на продукцию полностью неопределенным,
2. произвести упрощение платежной матрицы, используя принцип доминирования,
3. найти оптимальные стратегии игроков и цену игры,  
4. определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции с целью получения максимальной выгоды предприятию.
5. определить наиболее выгодный для завода вид продукции, используя критерии Лапласа, Вальда и Сэвиджа.

 

 

Месячные переходы (в %) покупателей из супермаркета	в супермаркет			Начальное распределение  покупателей, %
	A	B	C
A	63	2	35	50
B	2	79	19	30
C	13	22	65	20

 

 

 

 

 

Матрица переходных вероятностей: . (таблицу переписали просто)

 

Вектор начальных вероятностей по условию:   .

 

Прогноз на 1 февраля:

 

Прогноз на 1 марта:

 

а)

 

б)

 

 

 

 

 

Для оценки состояния  в длительном периоде времени  применим формулу:

Или в матричном виде:

 

Отсюда следует:

 

Система является неопределённой, причём последние уравнение является следствием 2-х предыдущих, а значит, его можно не учитывать. Запишем  всё в таблицу, вместо 3-го уравнения  вставим дополнительное условие ) и вычислим переменные с помощью «поиска решений» Excel’а: Лев. часть -сумма произведений (π1, π2, π3) на соотв. (a1,a2,a3). Ищем решение при котором первая ячейка «лев. части» будет макс., изменяя ячейки с (π1, π2, π3) и при условии, что ячейки  «Лев. части»  равны соответствующим ячейкам столбца b.

 

a1	a2	a3	Лев. часть	b
-0,37	0,02	0,13	0,00	0
0,02	-0,21	0,22	0,00	0
1	1	1	1,00	1
π1	π2	π3
0,164251	0,435232	0,400517

 

 

(процент посещения магазинов при длительной работе)

 

 

 

 

 

 

Результаты:

 

Дата	Посещаемость  супермаркетов, %
	A	B	C
1 января	50	30	20
1 февраля	34,7	29,1	36,2
1 марта	27,15	31,65	41,2
…
Длительный срок	16,4	43,5	40,1