Контрольная работа по «Математика. Математика в экономике»

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургская государственная  лесотехническая академия

имени С.М.Кирова

 

 

 

 

Кафедра Математических методов и моделирования в экономике и управлении

по дисциплине «Математика. Математика в экономике».

 

Контрольная работа

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент ФЭУ, 1 курс, з/о,

(уск.) гр.№___

№ специальности 080502

№ зачётной книжки 60118

 

Михайлов Артём Анатольевич

 

Проверил: _____________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2010 -2011 уч.год

СОДЕРЖАНИЕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Теория вероятностей

Задача 1. Покупатель может приобрести акции трех компаний. Надежность первой компании в течение года оценивается экспертами на уровне 84%, второй - на уровне 82%, a третьей - на уровне 64%. Чему равна вероятность того, что: а) все компании в течение года не станут банкротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?

 

Решение:

 Обозначим события (в течении года):

• А - первая компания в течение года не станет банкротом,
• В - вторая компания в течение года не станет банкротом,
• С - третья компания в течение года не станет банкротом.

По условию задачи вероятности этих событий равны:

Р(А) = 0,84, Р(В) = 0,82, P(С) = 0,64.

 

а) Событие D, состоящее в том, что все три компании в течение года не станут банкротами, произойдет в том случае, если произойдет и событие А, и событие B, и событие С. Это значит, что событие D равно произведению событий A, B и C:

D = ABC.

Так как события а, в и с являются независимыми, то по теореме умножения вероятностей вероятность произведения событий равна произведению вероятностей, то есть

P(D)= P(A) P(B) P(C).

Таким образом, получим

Вероятность того, что все компании в течение года не станут банкротами, равна 44,1%

 

б) Пусть Е — событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно банкротство. Противоположное событие состоит в том, что все компании не станут банкротами, то есть Е = D.

Поскольку сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то P(E) = 1 - P(E) = 1 – P(D) = 1 - 0,441 = 0,559 (55,9%)

 

Ответ: Вероятность того, что наступит хотя бы одно банкротство, равна 55,9%

 

Задача 2. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна р₁=0,52. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна р₂=0,35 Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок, равна q=0,26. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

 

Решение:

Обозначим события:

А - событие, состоящее в том, что товар будет иметь успех;

Н₁, - событие, состоящее в том, что конкурент не выпустит в продажу аналогичный товар;

Н₂ - событие, состоящее в том, что конкурент выпустит в продажу аналогичный товар.

 

По условию задачи нам известны условные вероятности:

Р(А/ Н₁)= 0,52, Р(А/ Н₂)= 0,35.

 

Известна также вероятность  события Н₂ : Р(Н₂)= 0,26. События Н₁, и Н₂ являются несовместными и образуют полную группу (являются гипотезами),   поэтому   сумма  вероятностей   этих   событий   равна   единице:

Р(Н₁)+ Р(Н₂) = 1. Отсюда следует, что

Р(Н₁) = 1 - Р(Н₂) = 1- 0,26= 0,74.

 

Для определения вероятности события А применим формулу полной вероятности:

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/ Н₁)+ Р(Н₂)Р(А/ Н₂).

Подставляя числовые значения, получим

 

Ответ: Вероятность того, что товар будет иметь успех, равна 47,5%.

 

 

 

 

 

 

Задача 3. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирают 3 счета. Известно, что 27% счетов содержат ошибки. Требуется:

• составить таблицу распределения вероятностей числа правильных счетов; найти числовые характеристики этого распределения;
• записать функцию распределения вероятностей и построить ее график;
• определить вероятность того, что хотя бы один счет будет с ошибкой.

 

Решение:

Число правильных счетов есть случайная величина X, которая может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли:

,

где q = 0,27 - вероятность неправильного счета,

p=1-0,27 = 0,73 - вероятность правильного счета.

Получим:

Проверка. Сумма вероятностей должна быть равна 1.

0,0197 + 0,1597 + 0,4316 + 0,3890 = 1.

 

Распределение вероятностей случайной величины X содержится в табл.1

 

Таблица 1

Распределение случайной  величины X

 

Х	0	1	2	3
Р	0,0197	0,1597	0,4316	0,3890

 

Определим числовые характеристики этого распределения. Математическое ожидание дискретной случайной величины X находим по формуле:

где x_i - возможные значения X; p_i - соответствующие вероятности.

 Дисперсию случайной величины X находим по формуле:

.

 

Так как

, то

Среднее квадратическое отклонение случайной  величины X равно:

Найдем функцию распределения  вероятностей F(x).

 

Если 

Если 

Если 

Если 

Если 

График функции F(x) изображен  на рис. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. График функции  распределения

Событие А, состоящее  в том, что хотя бы один счет будет  с ошибкой, является противоположным  к событию, что все счета будут  правильными, следовательно,

Р(А) = 1 - Р(Х = 3) = 1 - 0,3890 = 0,611.

 

Ответ: Вероятность того, что хотя бы один счёт будет с ошибкой, равна 61,1%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4. Годовой выпуск продукции мебельной фабрики приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, рамным m=144 тыс.ед. продукции, и стандартным отклонением, 17 тыс.ед. Найти вероятность того, что годовой выпуск продукции: а) окажется ниже 122 тыс.ед.; б) превысит, 167 тыс.ед.

 

Решение:

Обозначим через X - годовой выпуск продукции мебельной фабрики. Это непрерывная случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами m и . Поэтому вероятность попадания случайной величины в промежуток [а, b] вычисляется по формуле:

где

 

- функция Лапласа, которую вычислим с помощью программы Microsoft Excel. Вероятность того, что годовой выпуск продукции окажется ниже b = 122 тыс.ед.:

 

 

Вероятность того, что годовой выпуск продукции превысит a = 167 тыс.ед.:

 

 

1-0,0978-0,088=0,8142

 

Ответ: Таким образом, с большой вероятностью, годовой выпуск продукции будет находиться между 122 и 167 тыс.ед., равен 81,42%

 

2. Математическая статистика

 

Имеются статистические данные об объемах  лесных грузов, в тыс.куб.м, перевозимых еженедельно от лесозаготовительных к деревообрабатывающим предприятиям:

Требуется произвести первичную обработку  данных методами математической статистики. Для этого необходимо:

• составить статистический ряд,
• для каждого частичного интервала определить частоты, относительные частоты, накопленные частоты, накопленные относительные частоты,
• построить полигоны, кумуляты и гистограмму,
• определить выборочные характеристики статистического распределения.

 

Решить задачу для  следующих статистических данных:

 

2. Данные к задаче по математической статистике
71	270	349	57	277	220	124	102	38	257	204	202	229
34	96	40	76	65	371	305	205	57	289	44	272	131
55	12	209	404	207	55	183	133	0	133	15	170	18
359	157	6	160	199	373	51	370	92	72	34	58	8

 

Решение:

Имеем выборку объемом n = 52 из генеральной совокупности X, представляющей собой еженедельный объем лесных грузов.

Среди элементов выборки определим  минимальное и максимальное значения: x_min=0, x_max=404. Уменьшим x_min и увеличим x_max до «хороших» чисел, и возьмем несколько больший промежуток от 0 до 410. Вычислим размах выборки R = 410.

Количество групп (частичных интервалов) k определим по формуле

. Длину интервала найдем по формуле:

 

 

 

 

Определим границы частичных интервалов:

 

 

 

Для каждого i-ro интервала  найдем число выборочных значений (частоту), попавших в данный интервал. В графе  штрих-лист (табл. 2) для каждого выборочного значения проставляется «черта». Их количество и равно соответствующей частоте n_i. Если некоторый элемент выборки попадает на границу интервала, то «черта» ставится в левый интервал.

Относительные частоты равны отношениям , накопленные частоты определяются по формулам , а накопленные относительные частоты равны . Полученные данные заносим в табл. 2.

 

Таблица 2.

Таблица распределения  частот

 

группа	Левая граница	Правая граница	Штрих-лист	Середина	Частота	Относительная частота	Накопленная частота	Накопленная относительная частота
1	0	51,25	////////////	25,6	12	0,2308	12	0,2308
2	51,25	102,5	////////////	76,9	12	0,2308	24	0,4615
3	102,5	153,75	////	128,1	4	0,0769	28	0,5385
4	153,75	205	////////	179,4	8	0,1538	36	0,6923
5	205	256,25	////	230,6	4	0,0769	40	0,7692
6	256,25	307,5	//////	281,9	6	0,1154	46	0,8846
7	307,5	358,75	/	333,1	1	0,0192	47	0,9038
8	358,75	410	/////	384,4	5	0,0962	52	1