Контрольная работа по "Линейной алгебре"

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Линейная  алгебра и аналитическая геометрия с экономическими приложениями

ЗАДАНИЯ 1 – 20

Даны матрицы А, В, С, D. Найти:

а) P=(2А–3В)C

б) ранг и базисный минор матрицы  D.

 

 

20.    

Решение:

 

 

1)Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

1-ая строка является  линейной комбинацией других  строк.

Базисный минор матрицы Д

 

ЗАДАНИЯ 21 – 40

Показать, что системы  уравнений имеют единственное решение.

Найти решение с помощью:

а) обратной матрицы

б) формул Крамера.

40. 

а) Метод обратной матрицы

Запишем матрицу в виде:

 

Вектор B:

B^T = (3,0,3)

Главный определитель

∆ = 2•(1•1-(-1•(-5)))-3•(-1•1-(-1•3))+4•(-1•(-5)-1•3) = -6

Транспонированная матрица

 

Алгебраические дополнения

          ∆₁₁ = (1•1-(-5•(-1))) = -4

           ∆₁₂ = -(-1•1-3•(-1)) = -2

           ∆₁₃ = (-1•(-5)-3•1) = 2

            ∆₂₁ = -(3•1-(-5•4)) = -23

             ∆₂₂ = (2•1-3•4) = -10

           ∆₂₃ = -(2•(-5)-3•3) = 19

          ∆₃₁ = (3•(-1)-1•4) = -7

         ∆₃₂ = -(2•(-1)-(-1•4)) = -2

          ∆₃₃ = (2•1-(-1•3)) = 5

Обратная матрица

 

Вектор результатов X

X = A^-1 • B

 

 

X^T = (1,2,1)

x = ^-6 / _-6 = 1

у= ^-12 / _-6 = 2

z= ^-6 / _-6 = 1

Проверка.

2•1+-1•2+3•1 = 3

3•1+1•2+-5•1 = 0

4•1+-1•2+1•1 = 3

 

б) формул Крамера.

Запишем систему в виде:

 

B^T = (3,0,3)

Главный определитель:

∆ = 2 • (1 • 1-(-1 • (-5)))-3 • (-1 • 1-(-1 • 3))+4 • (-1 • (-5)-1 • 3) = -6 = -6

Заменим 1-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = 3 • (1 • 1-(-1 • (-5)))-0 • (-1 • 1-(-1 • 3))+3 • (-1 • (-5)-1 • 3) = -6

x = ^-6 / _-6 = 1

Заменим 2-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем  определитель полученной матрицы.

∆₂ = 2 • (0 • 1-3 • (-5))-3 • (3 • 1-3 • 3)+4 • (3 • (-5)-0 • 3) = -12

у= ^-12 / _-6 = 2

Заменим 3-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем  определитель полученной матрицы.

∆₃ = 2 • (1 • 3-(-1 • 0))-3 • (-1 • 3-(-1 • 3))+4 • (-1 • 0-1 • 3) = -6

z= ^-6 / _-6 = 1

 

Выпишем отдельно найденные переменные Х

x = ^-6 / _-6 = 1

 

у= ^-12 / _-6 = 2

 

z= ^-6 / _-6 = 1

 

Проверка.

2•1+-1•2+3•1 = 3

3•1+1•2+-5•1 = 0

4•1+-1•2+1•1 = 3

 

 

ЗАДАНИЯ 41 – 60

Исследовать системы на совместность. Найти общее решение в случае совместности.

 

 

60. 

Запишем систему в матричном  виде:

 

 

Запишем матрицу в  виде:

1 -2 0 1 10

2 -1 3 0 1

1 1 3 -1 -9

 

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

1 1 3 -1 10

1 -2 0 1 1

2 -1 3 0 -9

 

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

0 3 3 -2 9

1 -2 0 1 1

2 -1 3 0 -9

 

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой

0 3 3 -2 9

0 -3 -3 2 11

2 -1 3 0 -9

 

Добавим 2-ую строку к 1-ой

0 0 0 0 20

0 -3 -3 2 11

2 -1 3 0 -9

Система несовместна, так как ранг основной матрицы =2

 Ранг расширенной  матрицы =3

Ранги не равны между  собой

Система не имеет решений

 

ЗАДАНИЯ 101 – 120

По заданным (в таблице) данным межотраслевого баланса (условные денежные единицы) найти необходимый объем валового выпуска каждой из двух отраслей, если конечное потребление первой отрасли увеличится на 100%, а второй – сохраниться на прежнем уровне.

 

№ зад.	Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовой выпуск
			Р1	Р2
120	Производство	Р1	5	22	82	100
		Р2	12	28	143	200

Решение:

Конечное потребление  первой отрасли увеличится на 100% 82*(100%+100%)/100%=164

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Так как валовой объем продукции  любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то:

x_i = (x_i1 + x_i2 + ... + x_in) + y_i, (i = 1,2,...,n).

Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

a_ij = x_ij/x_j, (i,j = 1,2,...,n),

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.

 

Отрасль	Потребление	0	Конечный продукт	Валовой выпуск
Производство	5	22	82	109
0	12	28	143	183

 

 

 

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат:

 

0.0459	0.12
0.11	0.15

 

 

 

Коэффициент прямых затрат (a_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

Если ввести в рассмотрение матрицу  коэффициентов прямых затрат A = (a_ij), вектор-столбец валовой продукции X = (X_i) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Y_i), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:

X = AX +Y

Идея сбалансированности лежит в основе всякого рационального  функционирования хозяйства. Суть ее в  том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод – взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Пусть экономика  страны имеет n отраслей материального производства. Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая часть – идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).

Обозначим через X_i (i=1..n) валовый продукт i-й отрасли; x_ij – стоимость продукта, произведенного в i-й отрасли и потребленного в j-й отрасли для изготовления продукции стоимостью X_j; Y_i – конечный продукт i-й отрасли.

Критерии продуктивности матрицы  А

Существует  несколько критериев продуктивности матрицы А.

1. Матрица  А продуктивна, если максимум  сумм элементов ее столбцов  не превосходит единицы, причем  хотя бы для одного из столбцов  сумма элементов строго меньше единицы.

2. Для того  чтобы обеспечить положительный  конечный выпуск по всем отраслям  необходимо и достаточно, чтобы  выполнялось одно из перечисленных  ниже условий:

3. Определитель  матрицы (E - A) не равен нулю, т.е.  матрица (E- A) имеет обратную матрицу (E - A)^-1.

4. Наибольшее  по модулю собственное значение  матрицы А, т.е. решение уравнения  |λE - A| = 0 строго меньше единицы.

5. Все главные  миноры матрицы (E - A) порядка от 1 до n, положительны.

 

 

Матрица A имеет  неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑a_ij ≤ 1.

I. Определим матрицу коэффициентов  полных материальных затрат приближенно, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.

а) Матрица  коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна:

 

б) Матрица  коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

 

Матрица коэффициентов  полных затрат приближенно равна:

 

II. Определим матрицу коэффициентов  полных затрат точно с помощью формул обращения невырожденных матриц.

Коэффициент полных затрат (b_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Полные затраты отражают использование  ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных  затрат на всех предыдущих стадиях  производства продукции.

а) Находим матрицу (E-A):

 

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)^-1:

Запишем матрицу в виде:

 

Главный определитель

∆ = (0.95 • 0.85-(-0.11 • (-0.12))) = 0.79490651605705

Транспонированная матрица

 

Обратная матрица

 

 

Найдем величины валовой продукции  двух отраслей

ЗАДАНИЯ 141 – 160

Показать, что векторы ē₁, ē₂, ē₃ образуют базис R³ и найти разложение вектора ā по векторам ē₁, ē₂, ē₃.

160 ā=(15,15,36); 

ē₁=(7,5,10);  ē₂=(2,-3,-11); ē₃=(3,2,5).

Запишем матрицу векторов ē₁, ē₂, ē₃ в виде:

 

Главный определитель этой матрицы:

∆ = 7 • (-3 • 5-2 • (-11))-2 • (5 • 5-2 • 10)+3 • (5 • (-11)-(-3 • 10)) = -36 не равен 0

Векторы линейно независимы и образуют базис

Транспонируем эту матрицу

 

 

B^T = (15,15,36)

Главный определитель:

∆ = 7 • (-3 • 5-(-11 • 2))-5 • (2 • 5-(-11 • 3))+10 • (2 • 2-(-3 • 3)) = -36

Заменим 1-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = 15 • (-3 • 5-(-11 • 2))-15 • (2 • 5-(-11 • 3))+36 • (2 • 2-(-3 • 3)) = -72

 

Заменим 2-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = 7 • (15 • 5-36 • 2)-5 • (15 • 5-36 • 3)+10 • (15 • 2-15 • 3) = 36

 

Заменим 3-ый столбец матрицы  А на вектор результата В.

 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = 7 • (-3 • 36-(-11 • 15))-5 • (2 • 36-(-11 • 15))+10 • (2 • 15-(-3 • 15)) = -36

 

Выпишем отдельно найденные  переменные Х

 

 

 

Проверка.

7•2+2•-1+3•1 = 15

5•2+-3•-1+2•1 = 15

10•2+-11•-1+5•1 = 36

Координаты вектора ā в базисе векторов ē₁, ē₂, ē₃

_(2;-1;1) 
ЗАДАНИЯ 201 – 220

Дана пирамида АВСD.

Найти:

а) объем пирамиды;

б) площадь грани АВС, высоту пирамиды;

в) угол между ребром АВ и АС;

г) уравнение ребра AD;

д) уравнение плоскости  АВС;

е) уравнение высоты, опущенной  из вершины D;

ж) точку пересечения  высоты и основания.

 

220 A(1,1,1);  B(1,4,1);  C(1,1,4);  D(3,6,0).

Даны координаты пирамиды: A(1,1,1), B(1,4,1), C(1,1,4), D(3,6,0)

Координаты векторов находим по формуле:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i

здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки

AB=(1-1;4-1;1-1)=(0;3;0)

AC=(1-1;1-1;4-1)=(0;0;3)

AD=(3-1;6-1;0-1)=(2;5;-1)

а) объем пирамиды;

Объем пирамиды

Объем пирамиды, построенный на векторах АВ(X₁;Y₁;Z₁), АС(X₂;Y₂;Z₂), АД(X₃;Y₃;Z₃) равен:

(кубических  единиц)

Находим определитель матрицы

∆ = 0 • (0 • (-1)-5 • 3)-0 • (3 • (-1)-5 • 0)+2 • (3 • 3-0 • 0) = 18

 

б) площадь грани АВС, высоту пирамиды;

Площадь грани можно найти по формуле:

  где  

Найдем площадь грани ABC

AB=(1-1;4-1;1-1)=(0;3;0)

AC=(1-1;1-1;4-1)=(0;0;3)

 

 

Найдем угол между ребрами AB и AC:

 

 

Площадь грани ABC

 

Уравнение плоскости

Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

 

Уравнение плоскости ABC

 

(x-1)(3 • 3-0 • 0) - (y-1)(0 • 3-0 • 0) + (z-1)(0 • 0-0 • 3) = 0

9x + 0y + 0z + 9 = 0

Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

 

D(3,6,0).   9x + 0y + 0z + 9 = 0

 

d=(9*3+0*6+0*0)/(корень(9*9+0*0+0*0))=3