Контрольная работа по "Эконометрике"

 

РЕШЕНИЕ:

     В таблице  между тремя переменными Х₁, Х₂ и У имеется зависимость изобразим ее графически точками координатной плоскости.

    

     По  расположению эмпирических точек можно  предполагать наличие линейной двухфакторной  регрессионной зависимости между  переменными Х₁, Х₂ и У. Поэтому уравнение регрессии будем искать в виде линейного двухфакторного уравнения.

Ŷ =  a₀ + а₁х₁ + а₂х₂

     Получим систему нормальных уравнений для определения параметров a₀ и  а₁, а₂

      n a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂  = y_i                        n = 7

     a₀ x₁ + a₁ x²₁ + а₂ х₁х₂ = x_i y_i

     а₀ х₂ + а₁ х₁х₂ + а₂ х²₂ = х₂у

     По  данным таблицы вычислим все необходимые  суммы:

      x₁ = 90+110+120+130+180+200+280=1110

      х₂ = 1+1+2+2+3+3+4=16

      у = 25+28+31+32+36+42+55= 249

      х²₁ = 90²+110²+120²+130²+180²+200²+280² = 202300

      x²₂ = 1²+1²+ 2²+2²+3²+3²+4²=44

      х₁х₂ = 90+110+240+260+540+600+1120= 2960

      x₁y = 2250+3080+3720+4160+6480+8400+15400= 43490

      х₂у = 25+28+62+64+108+126+220= 633

      Составим систему  уравнений

    7а₀ +  1110а₁ + 16а₂ = 249

    1110а₀ + 20300а₁ + 2960а₂ = 43490

    16а₀ + 2960а₁ + 44а₂ = 633

    Вычисляем значения определителя  по формуле:

         a₁    b₁    c₁   

∆ =   a₂    b₂    c₂      = a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ – a₃b₂c₁ – a₂b₁c₃ – a₁b₃c₂

         a₃    b₃    c₃

    

             7a₁           1110b₁       16c₁          7*202300*44+1110*2960*16+

   ∆   =   1110a₂   202300b₂   2960c₂   =   +16*1110*2960–16*202300*16–1110*

             16a₃         2960b₃       44c₃          *1110*44–7*2960*2960 = 115200

    ∆ = 115200 ≠ 0, т.к. определитель не равен 0, значит, что система данных линейных уравнений имеет решение и притом единственное.

           

             249a₁         1110b₁       16c₁          249*202300*44+43490*2960*16+

  ∆a₀ =   43490a₂  202300b₂   2960c₂   =   +633*1110*2960–633*202300*16–

                633a₃         2960b₃       44c₃         –43490 *1110*44–249*2960*2960 =

                                                                     = 1285600

    

             7a₁           249b₁       16c₁            7*43490*44+1110*633*16+

  ∆a₁  =   1110a₂    43490b₂   2960c₂     =   +16*249*2960–16*43490*16–1110*

             16a₃         633b₃       44c₃          *249*44–7*633*2960 = 19280

 

              7a₁           1110b₁      249c₁          7*202300*633+1110*2960*249+

  ∆a₂  =   1110a₂   202300b₂  43490c₂   =   +16*1110*43490–16*202300*249–1110

             16a₃         2960b₃      633c₃          *1110*633–7*2960*43490 = – 107200

     

    а₀ =∆а₀ / ∆ = 1285600 / 115200 = 11,1597

    а₁ =∆а₁ / ∆ = 19280 / 115200 = 0,1673

    а₂ =∆а₂ / ∆ = – 107200 / 115200 = – 0,9305

    Уравнение двухфакторной линейной регрессии

Ŷ = 11,1 + 0,167а₁ – 0,93а₂

    Используя уравнение подставляем полученные данные в таблицу

 

            ВЫВОД: Уравнение двухфакторной линейной регрессии имеет вид Ŷ = 11,1 + 0,167а₁ – 0,93а₂ Оно показывает, что при увеличении только Х₁ (при неизменной Х₂) Y увеличивается в среднем на 0,167, а при увеличении только Х₂ (при неизменной Х₁) Y уменьшается в среднем на 0,93

 

ЗАДАНИЕ 5.

    Динамика  выпуска продукции (млн. руб.) на производственном объединении в 1996 – 2000 гг. характеризуется следующими данными:

 

    1) Определить базисные и цепные показатели ряда: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение 1% прироста; средние уровни; средние показатели уровней.

    2) Составить уравнение линейной трендовой модели методом избранных точек и методом наименьших квадратов.

 

РЕШЕНИЕ:

1. а) Определяем базисные и цепные показатели (∆_i)

         Цепные показатели                                     Базисные показатели

    ∆^ц_i = y_i – y_i-1      i = 0,1,2,3,4              ∆^б_i = y_i – y₀        i = 0,1,2,3,4

    ∆^ц₁ = y₁ – y₀ = 22,4 – 21,2 = 1,2                  ∆^б₁ = y₁ – y₀ = 22,4 – 21,2 = 1,2

    ∆^ц₂ = y₂ – y₁ = 24,9 – 22,4 = 2,5                  ∆^б₂ = y₂ – y₀ = 24,9 – 21,2 = 3,7

    ∆^ц₃ = y₃ – y₂ = 28,6 – 24,9 = 3,7                  ∆^б₃ = y₃ – y₀ = 28,6 – 21,2 = 7,4

    ∆^ц₄ = y₄ – y₃ = 31,6 – 28,6 = 3                     ∆^б₄ = y₄ – y₀ = 31,6 – 21,2 = 10,4

 

    б) Коэффициент роста цепных и базисных показателей (Кр)

           Цепные показатели                                     Базисные показатели

    Кр^ц_i = y_i / y_i-1                                                  Kр^б_i = y_i / y₀

    Кр^ц₁ = y₁ / y₀ = 22,4 / 21,2 = 1,057                Кр^б₁ = y₁ / y₀ = 22,4 / 21,2 = 1,057

    Кр^ц₂ = y₂ / y₁ = 24,9 / 22,4 = 1,111                Кр^б₂ = y₂ / y₀ = 24,9 / 21,2 = 1,174

    Кр^ц₃ = y₃ / y₂ = 28,6 / 24,9 = 1,148                Кр^б₃ = y₃ / y₀ = 28,6 / 21,2 = 1,349

    Кр^ц₄ = y₄ / y₃ = 31,6 / 28,6 = 1,105                Кр^б₄ = y₄ / y₀ = 31,6 / 21,2 = 1,49

 

    в) Темп роста (Тр) 

    Выразив коэффициент роста в процентах, получим темп роста:

           Цепные показатели                                            Базисные показатели

    Тр_i^ц = Кр^ц_i * 100%                                              Тр_i^б = Кр^б_i * 100%                              

    Тр₁ =Кр^ц₁ *100%=1,057*100=105,7          Тр₁ =Кр^б₁ *100%=1,057*100=105,7          

    Тр₂ =Кр^ц₂ *100%=1,111*100=111,1          Тр₂ =Кр^б₂ *100%=1,174*100=117,4

    Тр₃ =Кр^ц₃ *100%=1,148*100=114,8          Тр₃ =Кр^б₃ *100%=1,349*100=134,9

    Тр₄ =Кр^ц₄ *100%=1,105*100=110,5          Тр₄ =Кр^б₄*100%=1,49*100=149

    г) Темп прироста (Тп)

             Цепные показатели                             Базисные показатели

    Тп_i^ц= (∆^ц_i / y_i-1) * 100%                            Тп_i^б = (у_i – y₀ / y₀) * 100%

    Тп₁ = 1,2 / 21,2 * 100 = 5,7                        Тп₁ = 1,2 / 21,2 * 100 = 5,7

    Тп₂ = 2,5 / 22,4 * 100 = 11,1                      Тп₂ = 3,7 / 21,2 * 100 = 17,4

    Тп₃ = 3,7 / 24,9 * 100 = 14,8                      Тп₃ = 7,4 / 21,2 * 100 = 34,9

    Тп₄ = 3 / 28,6 * 100 = 10,5                         Тп₄ = 10,4 / 21,2 * 100 = 49

 
 

    д) Абсолютное значение 1% прироста (A_i)

A_i = ∆^ц / Тп^ц = y_i-1 / 100 = 0,01 y_i-1

    А₁ = 0,01 * 21,2 = 0,212

    А₂ = 0,01 * 22,4 = 0,224

    А₃ = 0,01 * 24,9 = 0,249

    А₄ = 0,01 * 28,6 = 0,286

    ж) Средние показатели уровней

    Средняя временного ряда

    y_i = ∑y / 5 = 128,7 / 5 = 25,74

    Средние цепных и базисных показателей

    ∆^ц = ∑∆_i / n = ∑ ∆_1,2,3,4 / 5 = 10,4 / 5 = 2,6

    ∆^б = ∑∆_i / n = ∑ ∆_1,2,3,4 / 5 = 22,7 / 5 = 4,54