Классы фиттинга конечных групп

Департамент образования  города Москвы

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

города Москвы

"Московский городской педагогический университет"

Математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания

Дипломная работа

По теме: "Классы Фиттинга конечных групп"

 

По специальности 050201.65 "Математика" с дополнительной

специальностью Информатика"

 Студента

 5 курса очной

 формы обучения

 Троицкого К.Д.

 Научный руководитель:

 д.ф-м.н. профессор

 Ведерников В.А.

 Допущена к защите

 «___»_________2010 г.

 _________________

 / Ведерников В.А. /

 

 

 

 

 

Москва, 2010

Оглавление

 

Введение

Глава 1. Используемые обозначения, определения и известные результаты

§1. Группы и их подгруппы. Централизаторы и нормализаторы

§2. Разрешимые, сверхразрешимые, нильпотентные и холловы группы

§3. Прямое, полупрямое произведения и сплетение групп

Глава 2. Классы Фиттинга и их свойства

§1. Простейшие свойства классов Фиттинга

§2. F-радикалы и F-инъекторы. Нормальные классы Фиттинга

1. F-радикалы и F-инъекторы

2. Нормальные классы Фиттинга

§3. Произведение классов Фиттинга

§4. Практические примеры

Заключение

Библиография

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Абстрактная алгебра  изучает множества с заданными на них алгебраическими операциями и отношениями. С древнейших времён математики имели дело с конкретными множествами (числа, векторы, матрицы и т.д.) не изучая глубоко абстрактные множества и их свойства.

Возникновение понятия группы стало  новым витком в алгебре и началом  абстрактной алгебры как таковой. Истоки понятия группы обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых – теория решений алгебраических уравнений в радикалах. В 1771 г. французские математики Ж. Лагранж и А. Вандермонд впервые для нужд этой теории применили подстановки. Затем, в ряде работ итальянского математика П. Руффини (1799 г. и позднее), посвященных доказательству неразрешимости уравнения пятой степени в радикалах, систематически используется замкнутость множества подстановок относительно их композиции и по существу описаны подгруппы группы всех подстановок пяти символов. Глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны норвежским математиком Н. Абелем (1824) и французским математиком Э. Галуа (1830). Галуа принадлежат и конкретные достижения в теории групп: открытие роли нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных групп степени n³5 и др.; он же ввёл термин "группа", хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории групп сыграл трактат французского математика К. Жордана о группе подстановок (1870).

 Идея группы независимо возникла и в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные "геометрии" и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешёл на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким "изучением геометрического родства" много занимался немецкий математик А. Мёбиус. Заключительным этапом на этом пути явилась "Эрлангенская программа" немецкого математика Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие группы преобразований: каждая геометрия определена некоторой группой преобразований пространства, и только те свойства фигур принадлежат к данной геометрии, которые инвариантны относительно преобразований соответствующей группы.

Третий источник понятия группа – теория чисел. Уже Л. Эйлер, изучая "вычеты, остающиеся при делении степеней", по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение группы на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в "Арифметических исследованиях" (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая "композицию двоичных квадратичных форм", Гаусс по существу доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу. Развивая эти идеи, немецкий математик Л. Кронекер (1870) вплотную подошёл к основной теореме о конечных абелевых группах, хотя и не сформулировал её явно.

 Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых форм мышления, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия группы. Уже в 1895 г. Ли определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции, удовлетворяющей некоторым условиям. Изучение групп без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта "Абстрактная теория групп" (1916).

Во второй половине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп.

Новым витком развития алгебры стало изучения классов групп, т.е. множеств, элементами которых являлись уже не отдельные элементы, а группы.

Абстрактная алгебра довольно долго использовала в теории конечных групп такие классы групп как формации. В 1963 г. работа Гашюца дала сильный толчок в направлении изучения формаций. Возникла отдельная теория формаций. Значительные результаты были получены уже в первые годы использования этой теории.

Классы Фиттинга впервые упоминаются в статье Fischer B. Klassen konjugirter Untergruppen in endlichen auflosbaren Gruppen, Habilitationsschrift, Universitat Frankfurt am Main в 1966 году. В статье Fischer, B., Gaschutz, W. und Hartly, B. Injektoren endlicher auflosbarer Gruppen (Math. Z. 102, 1967 год) впервые рассматриваются классы Фиттинга конечных групп.

В первой статье (1966) классы Фиттинга были введены двойственным образом к формациям, классам групп, замкнутым относительно фактор-групп и относительно подпрямого произведения. Классы Фиттинга замкнуты относительно нормальных подгрупп и прямого произведения нормальных X-подгрупп.

Двойственность заключалась  в том, что определение классов Фиттинга получалось из определения формаций заменой фактор-групп на нормальные подгруппы. В силу двойственности формацию называют корадикальным классом (класс Фиттинга – радикальный класс). Двойственность наблюдается и в теории F-проекторов (формации) и F-инъекторов (классы Фиттинга).

В настоящий момент теория классов Фиттинга насчитывает всего 44 года, за которые были получены довольно значительные результаты. Данная теория является «молодой», актуальной для современных алгебраистов и хранит в себе ещё много нераскрытых фактов и неизученных вопросов.

Цель данной работы в  том, чтобы привести последовательное и доступное изложение основной теории по классам Фиттинга и рассмотреть некоторые практические примеры. Работа может быть полезной для студентов математических факультетов при написании курсовых и дипломных работ, учителям математики при разработке факультативных занятий и элективных курсов.

Глава 1. Используемые обозначения, определения и известные результаты

 

X – класс групп

A – класс всех абелевых групп

N – класс всех нильпотентных групп

S – класс всех разрешимых групп

U – класс всех сверхразрешимых групп

G – класс всех конечных групп

{α | β} – множество всех α, для которых выполняется β.

G – группа

|G| – порядок группы G

e – единичный элемент группы G

E – единичная подгруппа, единичная группа

π(n) – множество всех простых делителей натурального числа n

π(G) – множество всех простых делителей порядка группы G

Z(G) – центр группы G

F(G) – подгруппа Фиттинга группы G

Ф(G) – подгруппа Фраттини группы G

G’ – коммутант группы G

Soc G – цоколь группы G

C_G(H) – централизатор подгруппы H в группе G

N_G(H) – нормализатор подгруппы H в группе G

Aut G– группа всех автоморфизмов группы G

H ≤ G – H является подгруппой группы G

H < G – H является собственной подгруппой группы G

M <· G – M является максимальной подгруппой группы G

H G – H является нормальной подгруппой группы G

H G – H является субнормальной подгруппой группы G

H G – H является минимальной нормальной подгруппой группы G

G/N – факторгруппа группы G по подгруппе H

|G:H| – индекс подгруппы H в группе G

A×B– прямое произведение подгрупп A и B

A B– полупрямое произведение нормальной подгруппы A и подгруппы B

 – подгруппа, порожденная некоторым множеством элементов

[x, y] = x^-1y^-1xy – коммутатор элементов x, y G

A B – группы A и B изоморфны

X≀_φY – φ-сплетение групп X и Y

X≀Y – регулярное сплетение групп X и Y

S_n– симметрическая группа степени n

A_n– знакопеременная группа степени n

 – множество всех простых  чисел

□ – начало доказательства

■ – конец доказательства

О.1.1. – первое определение в первой главе

§1. Группы и их подгруппы. Централизаторы и нормализаторы

Для того, чтобы ввести определение группы, введём определения декартового произведения множеств и бинарной алгебраической операции.

О.1.1. Декартовым произведением множеств A и B называется множество

C = {(a, b) | a A b B}, и обозначается A×B = C. То есть, С представляет собой множество всех пар, в которых первый элемент принадлежит множеству A, а второй – множеству B.

О.1.2. Декартовым квадратом множества A называется декартово произведение самого множества A на себя, то есть A×A = {(a₁, a₂) | a₁, a₂ A}.

О.1.3. Бинарной алгебраической операцией (сокращённо б.а.о.) на множестве Х называют отображение декартова квадрата X×X в X. Если φ: X×X→X – бинарная алгебраическая операция на множестве X, то каждой упорядоченной паре (a, b) элементов из X соответствует однозначно определённый элемент c = φ(a, b) из X.

Бинарную алгебраическую операцию на множестве X обозначают одним из следующих значков: +, *, ×, ∙, ◦, , , и т.д.

Чаще всего используют две формы записи операций: аддитивную и мультипликативную. При аддитивной форме записи операцию называют сложением  и вместо c = a◦b пишут c = a+b. При мультипликативной форме записи операцию называют умножением и вместо c = a◦b пишут с = a∙b или проще c = ab.

В дальнейшем, в данной работе мы будем пользоваться мультипликативной  формой записи операции.

Теперь введём определение группы.

О.1.4. Множество G с заданной на нём бинарной алгебраической операцией (умножением) называется группой, если выполняются следующие условия:

1. заданная операция полностью определена на G, т.е. ab G для любых для любых a, b G;
2. операция ассоциативна, т.е. a(bc) = (ab)c для любых a, b, c G;
3. в G существует единичный элемент, т.е. такой элемент e G, что ea = ae = a для любых a G;
4. для каждого элемента из G существует обратный элемент из G, т.е. для любого a G существует такой элемент a^-1 G, что aa^-1 = a^-1a = e.

Если операция коммутативна, т.е. ab = ba для любых a, b G, то группа называется коммутативной или абелевой.

О.1.4. Порядком группы G называется число элементов в группе и обозначается |G|=n, если группа имеет конечное число элементов и |G|=∞, если группа имеет бесконечное число элементов.

В дальнейшем, в данной работе мы будем  рассматривать конечные группы, т.е. группы с конечным порядком. Простейшим примером конечной мультипликативной  группы может служить группа {-1, 1} с алгебраической операцией умножения. Порядок такой группы будет равен двум.

О.1.5. Подмножество H группы G называется подгруппой G, если H является группой относительно той же операции, что и группа G, и обозначается H ≤ G (H подгруппа G). Так же, используется обозначение H < G – H собственная подгруппа в G, т.е. H ≤ G и H ≠ G.

При выявлении подгрупп важную роль играет следующая теорема:

Теорема 1.1. (Критерий подгруппы).

Непустое подмножество H группы G является подгруппой в том, и только в том случае, когда h₁h₂ H и h₁^-1 H для любых h₁, h₂ H.

О.1.6. Две группы G и G₁ являются изоморфными, если существует биекция (взаимно однозначное отображение) f: G → G₁ такая, что f(ab) = f(a)f(b) для любых a, b G. Запись G G₁ означает, что группа G изоморфна группе G₁.

О.1.7. Пусть G – группа, H – подгруппа в G и g G. Тогда множество

Hg = {hg | h H} называется правым смежным классом группы G по подгруппе H.

Аналогично определяется левый смежные класс gH = {gh | h H}.

Приведём некоторые  свойства смежных классов, полагая, что G – группа, а H – её подгруппа:

Теорема 1.2.

1. H = He;
2. g Hg для любого g G;
3. если a H, то Ha = H; если b Ha, то Hb = Ha;
4. Ha = Hb тогда и только тогда, когда ab^-1 H;
5. Два смежных класса либо совпадают, либо из пересечение пусто;
6. Если H – конечная подгруппа, то |Hg| = |H| для любого g G

О.1.8. Число различных правых смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы H в G и обозначается |G : H|.

Теорема 1.3. (Лагранжа).

Если H – подгруппа конечной группы G, то |G| = |H||G : H|. В частности, порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы.

О.1.9. Подгруппа H группы G называется нормальной подгруппой группы G, если xH = Hx для любых x G, и обозначается H G (H – нормальная подгруппа группы G).

В каждой группе G тривиальные подгруппы являются нормальными подгруппами.

О.1.10. Группа G называется простой, если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп.

Единичную группу Е считают непростой.