Классическое определение вероятности

Следствие: P_n(½k-np½≤e)=2Ф(e/Önpq)

np-e≤k≤np+e;   x₁=-e/Önpq; x₂=e/Önpq

 

18. Вероятность  отклонения частоты от постоянной  вероятности в независимый испытаниях.

Производная n независимых испытаний в каждом из которых появления события А постоянно равна Р. 0<Р<1. Чтобы найти вероятность отклонения частоты m/n от постоянной Р по абсолютной величине не превышающий e>0. (m/n-Р)<eÞ -e≤m/n-Р≤e; умножаем на Ön/pqÞ -Ön/pq * e≤Ön/pq m/n-Р≤e*Ön/pq; -Ön/pq * e≤ m -nР / Ön/pq ≤e*Ön/pq; -Ön/pq * e=х’; Ön/pq * e=х’’ÞР(х’≤ m -nР / Ön/pq ≤ х’’)»1/Ö2П _х’ò^х’’ е^-z²dz/2Þ1/Ö2П _{-Ön/pq * e}ò^{Ön/pq * e} е^-z²dz/2Þ2/Ö2П ₀ò^{Ön/pq * e} е^-z²dz/2=2Ф(Ön/pq * e)^{-Ön/pq * e}. Равна ф-ции Лапласа.

 

 

 

 

 

 

 

 
 
19. случайная величина

Случайная величина – численная функция, задаваемая на множестве элементарных событий. На одном множестве может быть несколько случайных величин.  

Дискретная  случайная величина (ДСК) – величина, принимающая счетное (конечное или бесконечное) множество значений.

Непрерывная случайная величина (НСВ) – случайная величина, значения которой образуют несчетные множества. (Например, расход бензина на 100 км у автомобиля Жигули в Нижнем Новгороде).

Задать св – значит указать все множество ее значений и соответствующие этим значениям вероятности. Говорят, что задан закон распределения случайной величины.

Случайная величина может быть задана несколькими способами:

1.Табличный.

Х a₁    a₂ … а_n

Р p₁    p₂ … p_n

åp_i=1  Значения случайных величин в таблице указываются в порядке возрастания.

Недостпаток табличного способа в  том, что он пригоден только для случайных  величин, принимающих небольшое  количество значений.

2. Функция распределения F(x) = P(X<x) или интегральный закон распределения. Указывается вероятность того, что случайная величина принимает значение < x.

Х       a₁    a₂ … а_n-1

Р       p₁    p₂ … p_n-1

f(x)  p₁   p₁₊p₂ … p₁₊p_2+…+p_n-1

При увеличении значения случайной  величины, количество ступенек функции  F(х) возрастает, уменьшается их высота и в пределе при получаем гладкую непрерывную функцию F(х).

 

  

20. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДСВ.

Случайная величина называется дискретной,если она принимает случайные изолированные  значения, причем каждое значение этой СВ содержит окрестность, в которой нет других значений СВ. Причем каждое значение СВ определяется с некоторой вероятностью. Соответствие всех значений ДСВ и вероятности этих значений Х(х1,х2…) называется распределением случайной величины P(p1,p2…). ПРИМЕРЫ: 1) схема Бернули – P=e(c.m)(инд.n)p(c.n)q(c.n-m), 2) локальный закон Лапласа: P=φ(x)/√npq`. Эти 2 закона используются при 0,1<p>1 и при nà∞. Если P мало, а n велико, тогда используется феноминальный закон Пуассона:

P(k)=λ(c.k)e(c.-λ)/k!, λ=np, k=0,1,2…n. Зная закон распределения ДСВ мы можем найти функцию распределения ДСВ F(x). функцию распределения СВ – вероятность того, что СВ принимает значения <x, F(x)=P(X<x).

F(x)=∑[k, x(инд.k)<X] P(X=x(инд.k).

21. Математическое  ожидание (МО)

М(х) =åx_ip_i   å p_i=1

свойства МО:

1. М(х) СВ Х ÞХ_min£М(х)£Х_max
2. 2. М(С)=С   МО постоянной величины есть величина постоянная

3. М(Х±У)=М(Х) ±М(У)

4. М(Х×У)=М(х) ×М(у)ÞМ(Сх)=СМ(х) – МО произведения двух независимых СВ

5. М(аХ+вУ)=аМ(Х)+вМ(У)

6. М(Х-m)=0 – МО СВ Х от её  МО.

Дискретные Случайные  Величины

1. Биноминальные СВ  МО(Х)=np

2. Пуассоновские СВ  МО(Х)=l

3. Бернуллиевы СВ  МО(Х)=р

4. Равномерно распред. СВ M(x)= (a_{1 +}   a_{2 +}…+а_n)/n

Пример. Случайная величина Х, заданна функцией распределения F(x)=x².Найти МО. РЕШЕНИЕ: f(x)=2xÞM(x)=₀ò^¥x*f(x)dx=₀ò^¥x*2x= 2 ₀ò^¥ x²=2*(2x ₀½^¥)

22. Дисперсия  СВ

D(X)=å (x_i-m)2p_i;  åp_i =1

свойства дисперсии:

1. Для любой СВ Х: D(X)³0. При Х=const D(X)º0.

2. D(X)=M(X²)-M²(X)=M(X²-2mX-m²)

3. D(cX)=c²D(X)

4. D(X+c)=D(X)

5. D(X+Y)=D(X)+D(Y), D(X-Y)=D(X)+D(Y)

6. Независимые СВ: D(XY)=D(X)D(Y)+M²(X)D(Y)+M²(Y)D(X)

Дисперсия СВ

1. Биноминальные D(X)=npq

2. Пуассоновские D(X)=l

3. Бернуллиевы D(X)=pq

Пример: Найти D(X) числа отказов элемента некоторого устройства в 10 независимых опытах, если p=0,9 Решение: n=10; p=0,9; q=0,1Þ D(X)=n*p*q=10*0,9*0,1=0,9

 

23. Среднее  квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение являются характеристикой степени рассеянности случайной величины относительно ее центра симметрии, т.е. мат. ожид. Пусть  ε – случайная величине, тогда  ее дисперсией называется число D(ε)=E(ε-E(инд.ε))(с.2). Средним квадратическим отклонением случайной величины назвается число τ(ε)=√D(ε)`

 

24. Функция  распределения вероятностей непрерывной  случайной величины.

F(x)=P(X<х). Случайная величина непрерывна в том случае если ее ф-ия распределена и если она непрерывна с непрерывной производной. Св-ва: 1)Значение ф-ии распределения Î отрезку [0,1]; 0≤F(X)≤1;  2)F(X)-неубывающая ф-ия P(a≤x≤b)=F(b)-F(a); 3)x≤a; F(X)=1ÞLim F(X)_x®¥=0; Lim F(X)_x®¥=1.

 

25.Плотность  распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Это ф-ия f(x) производная от ф-ии распределения F(X)=f(x). Св-ва: Плотность распределения не отрицательная ф-я f(x)≥0. 1) График Плотности распределения называется кривой распределения. 2) Не собстенный интеграл от Плотности распределения в (-¥;¥) =1 _-¥ò ^¥f(x)dx=1.

 

26. Математическое  ожидание и Дисперсия Непрерывные  Случайные Величины

M(x)=_-¥ò^¥xf(x)dx

Св-ва

1. Равномерно распределенная СВ MO(X)=b+a/2  

2. Нормально распределенная СВ MO(X)=m

3. Экспоненциально распределенная СВ MO(X)=1/l 

D(X)=_-¥ò^¥(x-m)²f(x)dx

СВ-ва

1. Равномерно распределенные  D(X)=(b-a)²/12

2. Нормально распределенные  D(X)= s²

3. Экспоненциально распределенные  D(X)=1/l²

Пример: Случайная величина Х в (0;5) задана дифференциальной ф-ий: 2/25*х  вне этого интервала f(x)=0. Найти D(X). РЕШЕНИЕ: D(X)=_aò^bx²f(x)dx-(M(x)) ²ÞМ(х)=0(кривая распределена симметрично относительно прямой х=0) Þ D(X)=2/25₀ò⁵x³dx=2/25(x⁴/4₀½⁵)=2/25*5⁴/4=25/2

27. Виды  законов РАСПРЕДЕЛЕНИЯ вероятностей  непрерывной св

Случайная величина называется дискретной,если она принимает случайные изолированные значения, причем каждое значение этой СВ содержит окрестность, в которой нет других значений СВ. Причем каждое значение СВ определяется с некоторой вероятностью. Соответствие всех значений ДСВ и вероятности этих значений Х(х1,х2…) называется распределением случайной величины P(p1,p2…). ПРИМЕРЫ: 1) схема Бернули – P=e(c.m)(инд.n)p(c.n)q(c.n-m), 2) локальный закон Лапласа: P=φ(x)/√npq`. Эти 2 закона используются при 0,1<p>1 и при nà∞. Если P мало, а n велико, тогда используется феноминальный закон Пуассона:

P(k)=λ(c.k)e(c.-λ)/k!, λ=np, k=0,1,2…n. Зная закон распределения ДСВ мы можем найти функцию распределения ДСВ F(x). ФРСВ – вероятность того, что СВ принимает значения <x, F(x)=P(X<x).

F(x)=∑[k, x(инд.k)<X] P(X=x(инд.k).

28.Равномерное  распределение

Это распределение нам уже знакомо. Говорят, что ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], и пишут ξ Î U_a,b если

в точках a и b функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.

29. Нормальное распределение

ξ имеет нормальное распределение с параметрами а и σ² , где а Î R, σ>0, и пишут ξÎ если ξ имеет следующую плотность распределения: f_ξ(x)= λ^(x-a)²/2s²/sÖ2П для любого x Î R

Убедимся, что f_ξ(x)действительно является плотностью распределения. Так как f_ξ(x) > 0 для всех x Î R, то свойство (f1) выполнено. Проверим выполнение (f2). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона) _-¥ò^¥ λ^-x²/2dx=Ö2П

Нормальное играет исключительно  важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.

Свойства нормального распределения

1. Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности  распределения. Связано это с  тем, что нельзя выписать первообразную  от функции λ^x² иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде: F_ξ (x)=Ф_a,s²(x)= _-¥ò^x λ^{-(t-a)²/2s²dt}/sÖ2П

2. Для любого x Î R справедливо соотношение

Ф_a,s²(x)= Ф_0,1(x-a/s)

Следствие  Если ξ ÎN_a,s² то h= ξ-a/sÎN_0,1

Свойство  Ф_0,1(0) = 0,5; Ф_0,1(-х) = 1 - Ф_0,1(х); Если ξ Î N_0,1, то P(ξ <x)=1-2 Ф_0,1(-х)=2 Ф_0,1(х) - 1

Следствие. Если ξ Î N_0,1, то η = σξ+а Î N_a,s²

Если η Î , то ξ = (η –а)/ σ Î N_0,1.

Если ξ Î Е_α, то η = αξÎ Е₁

 

 

9. Теорема  умножения вероятностей

Опыт повторяется n раз, m_B раз наступает событие В, m_АВ раз наряду с событием В наступает событие А. n(B) = m_B/n ; n(AB) = m_AB/n

Рассмотрим относительную частоту  наступления события А, когда  событие В уже наступило: n(A/B)=m_AB/m_B=m_AB/n¸m_AB/n= n(AB)/n(B)

P(A/B)=P(AB)/P(B)- условная вероятность события А по событию В – вероятность события А, когда событие В уже наступило.

10. независимые  события

События А и В называются независимыми, если появление или непоявление одного из них не сказывается на появлении другого.P(A/B)=P(A); P(A/B)=P(B)- критерий независимости событий

События А и В называются независимыми тогда, когда Р(АВ) = Р(А)*Р(В)

Пример. В урне есть 4 белых и 6 черных шаров. Половина из них имеют фирменную маркировку. Пусть среди шаров с маркировкой: а) 2 белых; в) 3 белых шара. Наугад вынимают шар. Выяснить независимость событий.

Рассматриваем события: А{белый шар} и В{шар с маркировкой}. Независимость  выясняем по критерию:

Р(А)=4/10=0,4 Р(В)=10/2=0,5 Р(А)*Р(В) = 0,2

а) Р(АВ) = 2/10 = 0,2 в) Р(АВ) = 3/10 = 0,3

Ответ: в случае а) события независимы, т.к. признаки распределены равномерно среди всей совокупности (т.к. доля шаров  с маркировкой = половине всех шаров  и доля белых шаров с маркировкой = половине всех белых).

Свойства независимых  событий.Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и I, А и Ī, Ā и I, Ā и Ī

Если события Н₁, Н₂, …Н_n независимы, то заменяя любые из них на противоположные, вновь получаем независимые события.