Классическое определение вероятности

1

. КЛАССИЧЕСКОЕ  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 

2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

3.Относительная чистота.

4. Теорема сложения вероятностей.

5. ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ 

6.Противоположные события 

7. Произведение событий 

8.Условная вероятность 

9. Теорема умножения вероятностей

10. независимые события

11. Вероятность появления хотябы  одного события.

12.Теорема сложения совместных  событий

13.ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

14.Вероятность гипотез. Формула  Бейеса.

15.Формула бернулли 

16. Локальная теорема Лапласа

17. интегральная теорема Лапласа.

18. Вероятность отклонения частоты  от постоянной вероятности в  независимый испытаниях.

19. случайная величина

20. ЗАКОН  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДСВ.

21. Математическое ожидание (МО)

22. Дисперсия СВ

23. Среднее квадратическое отклонение

24. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины. 25.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

26. Математическое ожидание и  Дисперсия Непрерывные Случайные  Величины

27. Виды законов РАСПРЕДЕЛЕНИЯ  вероятностей непрерывной св

28.Равномерное распределение

29. Нормальное распределение

30. Функция  одной случайного аргумента 31.Функции  от двух случайных аргументов

 

 

 

 

 

 

1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ВЕРОЯТНОСТИ 

Возможный результат (исход) некоторого эксперимента (испытания) при определенных условиях называется событием. Событие, которое обязательно имеет место при испытании называется достоверным событием и обозначается U, событие, которое не может наступить не при каких условиях данного испытания называется невозможным (V). Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого. Совокупность всех возможных ри данном испытании событий включая достоверные и невозможные называется полем событий. Все события обозначаются заглавными латинскими буквами A1,B1,B2. S – поле событий. {w1,w2,w3…}àA. При многократном испытании, те события, которые нас интересуют, называются элементарным исходом. Множество их образует событие. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов в испытании. 0≤P(A)=m/n≤1; m – число благопр. исх., n – общее число испытаний. Комбинаторные формулы (позволяют вычислить число различных комбинаций между цифрами): 1) комбинация элементов из нескольких групп. Имеем несколько групп, n1à{a1,a2…an}, n2à{b1,b2..bn}… …n(инд.r)à{c1,c2…cn}. Сколько комбинаций может быть: N=n1*n2*n3*

*…*n(инд.r), если n1=n2=…=n(инд.r), N=n(c.2). Монеты кидаем 1 по 5 раз: N=2(c.5), 2) число перестановок из n элементов: n;N=n!, 3) число размещения без возврата: n – число элементов размест. по k – элементом с учетом порядка, k<n; A – число размещений из n по k; A(инд.n)(c.k)=

=n(n-1)(n-2)…(n-k+1); A(инд.n)(с.k)=n(c.k) (с возвратом). Пример: A(инд.10)(c.2)=10*9=90 комбинаций (для 10-ти цифр: 1234567890). Например спортлото. 4) число сочетаний из n элементов по k:

C(инд.n)(c.k)=n!/k!(n-k)!, порядок элементов не важен.

 

 

2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ  КОМБИНАТОРИКИ

1) Основное правилокомбинаторики. Пусть есть 2 независимых действия, первое изкоторых можно совершить n спосбами, второе –m. Тогда сложное действие,состоящее из этих 2х можно совершить n*m способами.

2) Перестановка.

n!=n(n-1)(n-2)…1

3) Сочетание. есть выборки объема k. Две выборки будут считаться равными, если они отличаются только составами, а порядок следуования элементов несущественнен. C=n!/k!(n-k)!;

4) Размещение. Та же модель, но 2 выборки разные, если они отличаются либо составом, либо порядком следования элементов. A=C*k!=n!/(n-k)!;

 

3.Относительная  чистота.

Это отношение числа испытаний  которых события появились к общему числу фактически произведение испытаний. W(A)=m/n- Относительная чистота. m-число событий,а n-общее число испытний. Пример: Три не стандартных деталей из 80 случайно отобранных, частота появления не стандартной  детали W(A)=3/80.

 

4. Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий: Р(А+В+С+…) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +…

Следствие. Если события A₁+A₂+…+A_n - полная группа событий, то сумма их вероятностей равна 1. P(A₁+A₂+…+A_n)=1

P(A+Ã) = P(A) + P(Ã) = 1

Вероятность наступления двух совместных событий равна: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)

Теорема. Если АÌВ, то Р(А) £ Р(В).

В=В₁+В₂ (В₁=А)  Р(В)=Р(В₁) + Р(В₂)= Р(А) + Р(В₂)

                                   

5. ПОЛНАЯ ГРУППА  СОБЫТИЙ

 Возможный  результат (исход) некоторого  эксперимента (испытания) при определенных  условиях называется событием. Событие,  которое обязательно имеет место  при испытании называется достоверным  событием и обозначается U, событие, которое не может наступить не при каких условиях данного испытания называется невозможным (V). Два события называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого. Совокупность всех возможных ри данном испытании событий включая достоверные и невозможные называется полем событий. Все события обозначаются заглавными латинскими буквами A1,B1,B2. S – поле событий. {w1,w2,w3…}àA. При многократном испытании, те события, которые нас интересуют, называются элементарным исходом. Множество их образует событие. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов в испытании. 0≤P(A)=m/n≤1; m – число благопр. исх., n – общее число испытаний. Комбинаторные формулы (позволяют вычислить число различных комбинаций между цифрами): 1) комбинация элементов из нескольких групп. Имеем несколько групп, n1à{a1,a2…an}, n2à{b1,b2..bn}… …n(инд.r)à{c1,c2…cn}. Сколько комбинаций может быть: N=n1*n2*n3*

*…*n(инд.r), если n1=n2=…=n(инд.r), N=n(c.2). Монеты кидаем 1 по 5 раз: N=2(c.5), 2) число перестановок из n элементов: n;N=n!, 3) число размещения без возврата: n – число элементов размест. по k – элементом с учетом порядка, k<n; A – число размещений из n по k; A(инд.n)(c.k)=

=n(n-1)(n-2)…(n-k+1); A(инд.n)(с.k)=n(c.k) (с возвратом). Пример: A(инд.10)(c.2)=10*9=90 комбинаций (для 10-ти цифр: 1234567890). Например спортлото. 4) число сочетаний из n элементов по k:

C(инд.n)(c.k)=n!/k!(n-k)!, порядок элементов не важен.          

 

6. Противоположные  события

Противоположным (или дополнительным) к событию А называется событие , состоящее в том, что событие А в результате эксперимента не произошло. Иначе говоря, есть множество, содержащее элементарные исходы, не входящие в А.

                                          

 

 

7. Произведение  событий

 Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ, заключающееся в одновременном проявлении обоих событий. А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.

 

8.Условная вероятность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: условной вероятностью события А при условии, что  В произошло называется число, которое  вычисляется по правилу P(инд.В)(А)=P(A/B)=P(A*B)/P(B). ЗАМЕЧАНИЕ. С помощью условной вероятности можно вычислить вероятность произвольного события P(AB)=P(инд.В)(А)*P(B)=P(A/B)*P(B). Если А и В независимы, получаем более простую формулу P(AB)=P(A)P(B). Покажем, что события А и В независимы тогда и только тогда, когда P(A/B)=P(A) или P(B/A)=P(B)      (1); Пусть А и В независимы => P(A/B)==P(AB)/P(B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A). Пусть выполнены соотношения (1) => P(AB)=P(A/B)*P(B)=P(A)*P(B). ПРИМЕР: 20 вопросов, 25 выучили, 3 вопроса на экзамене. Вероятность ответа на ни? A – ответ на 1 вопрос, B – на 2, С – на 3. P(ABC)-? P(ABC)=P(C/AB)P(AB)=P(C/AB)P(B/A)P(A); P(A)=25/30; P(B/A)=24/29); P(C/AB)=23/28); P(ABC)=115/203≈1/2.

 

 

9. Теорема  умножения вероятностей

Опыт повторяется n раз, m_B раз наступает событие В, m_АВ раз наряду с событием В наступает событие А. n(B) = m_B/n ; n(AB) = m_AB/n

Рассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уже наступило: n(A/B)=m_AB/m_B=m_AB/n¸m_AB/n= n(AB)/n(B)

P(A/B)=P(AB)/P(B)- условная вероятность события А по событию В – вероятность события А, когда событие В уже наступило.

 

10. независимые  события

События А и В называются независимыми, если появление или непоявление одного из них не сказывается на появлении другого.P(A/B)=P(A); P(A/B)=P(B)- критерий независимости событий

События А и В называются независимыми тогда, когда Р(АВ) = Р(А)*Р(В)

Пример. В урне есть 4 белых и 6 черных шаров. Половина из них имеют фирменную маркировку. Пусть среди шаров с маркировкой: а) 2 белых; в) 3 белых шара. Наугад вынимают шар. Выяснить независимость событий.

Рассматриваем события: А{белый шар} и В{шар с маркировкой}. Независимость выясняем по критерию:

Р(А)=4/10=0,4 Р(В)=10/2=0,5 Р(А)*Р(В) = 0,2

а) Р(АВ) = 2/10 = 0,2 в) Р(АВ) = 3/10 = 0,3

Ответ: в случае а) события независимы, т.к. признаки распределены равномерно среди всей совокупности (т.к. доля шаров  с маркировкой = половине всех шаров и доля белых шаров с маркировкой = половине всех белых).

Свойства независимых  событий.Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и I, А и Ī, Ā и I, Ā и Ī

Если события Н₁, Н₂, …Н_n независимы, то заменяя любые из них на противоположные, вновь получаем независимые события.

11. Вероятность  появления хотябы одного события.

Пусть в результате испытания могут  появиться n события испытаний не  зависимых совокупностей. Чтобы найти вероятность когда наступит хотя бы одно из этих событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности = разности м/д 1 и произведение вероятностей противоположных событий. А1, А2…Аn-появление хотя бы одного события; Ā1,Ā2…Ān; Р=1-q₁q₂…q_n. Р(А)+Р(Ā1,Ā2…Ān)=1; Р(А)-Р(Ā1,Ā2…Ān)-1. Р(Ā1,Ā2…Ān)= Р(Ā1)Р(Ā2)…Р(Ān); Р(Ā1)=q₁ Р(Ā2)=q₂ Р(Ān)= q_n;Þ Р(А)=q₁q₂…q_n.

Пример: Вероятность попадания в цель при стрельбе из 2-х орудий: Р1=0,8 и Р2=0,7. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе. Решение: q₁=1-р₁=1-0,8=0,2;q₂=1-р₂=1-0,7=0,3;Þ Р(А)= 1-q₁q₂=1-0,2*0,3=0,94….

12.Теорема  сложения совместных событий

Вероятность наступления двух совместных событий равна: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)

Теорема. Если АÌВ, то Р(А) £ Р(В).

В=В₁+В₂ (В₁=А)  Р(В)=Р(В₁) + Р(В₂)= Р(А) + Р(В₂)

13.ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Теорема. Пусть А1…Аn – полная группа событий, В – любое событие. Тогда P(B)=P(B/A1)P(A1)+…P(B/An)P(An); Док-во: заметим, что B=BΩ; Ω=A1+…+An, поэтому B=B(A1+…+An)=BA1+…+Ban. A1…An – несовместные между собой согласно 2му условию, т.к. BA1…Ban – часть события A1…An, то они тоже несовм. => P(B)=P(BA1+…+Ban)=

=P(BA1)+…+P(Ban)=(воспользуемся формулой для произведения)=

=P(B/A1)P(A1)+…+P(B/An)P(An). СЛЕДСТВИЕ (формула Байеса):

пусть А1…Аn – полная группа и В, P(B)>0, P(A(инд.k)/B)-?

= P(BAk)/P(B)=P(B/Ak)P(Ak)/P(B/A1)P(A1)+…+P(B/An)P(An).

Т.о. получили формулу  Байеса: P(Ak/B)=P(B/Ak)P(Ak)/P(B) – формула полной вероятности.

ЗАМЕЧАНИЕ: В формулах полной вероятности и Байеса событие А1…Аn принято называть ГИПОТЕЗАМИ. Последнее связано с тем, что эти формулы используются в случайях, когда эксперимент носит двухступенчатый характер.

14.Вероятность  гипотез. Формула Бейеса.

Теорема 9 (Формула Байеса).

Пусть Н₁, Н₂ …— полная группа событий и A — некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Н_k, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

P(Н_k/A)=(P(Н_k)P(A/Н_k))/åP(Н_i)P(A/ Н_i)

Пример 17. Вернемся к примеру 15. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: Н_i = {изделие изготовлено i-м заводом }, i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий даны: P(Н₁) = 0,25, P(Н₂) = 0,35, P(Н₃) = 0,4 . Пусть A = {изделие оказалось бракованным }. Даны также условные вероятности P(A\Н₁) = 0,05, P(A\Н₂) = 0,03, P(A\Н₃) = 0,04

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.Формула  бернулли

Схема последовательных испытаний  Бернулли.

Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойти событие А, с вероятностью q=1-р событие Ā.Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов других испытаний.Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называется схемой последовательных испытаний Бернулли.Пусть при n испытаниях событие А наступило k раз, (n-k) раз событие Ā. C_n^k=n!/k!(n-k)!- число различных комбинаций события А

Вероятность каждой отдельной комбинации: p^kq^k-1

Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А, вероятность которого равна р, появится k раз: P_n(k)= C_n^k p^kq^k-1; å P_n(k)= 1- условие нормировки.

Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали равна р=0,25, q=0.75. Построить многоугольник распределения вероятностей числа нестандартных деталей среди 8 изготовленных.

N=8; p=0.25;q=0.75; P₈(k)=C₈^k*0,25^k*0,75^8-k

Если k₀ – наивероятнейшее число, то оно находится в пределах:

np-q £ k₀ £ np+q; Если число (np+q) нецелое, то k₀ – единственное; Если число (np+q) целое, то существует 2 числа k₀.

P_n(k)/P_n(k-1)=p/q=n-k+1/k

 

16. Локальная  теорема Лапласа 

Пусть x_n=m-np/Önpq.Предположим, что m®µ,n®µ и величины x_n являются ограниченными. Тогда Önpq*P_n(m)»l^-xn²/2/Ö2П

В частности, если x_n® x, то Önpq*P_n(m) ®l^-xn²/2/Ö2П

Доказательство:

В силу ограниченности величин  x_n разность n -m®µ, вместе с n и m Воспользуемся формулой Стирлинга

k!»Ö2Пk*(k/e)^k

Önpq*P_n(m)=Önpq*C^m_np^mq^n-m=(n! Önpq * p^mq^n-m)/(m!(n-m)!)»1/Ö2П*(np/m) ^m (nq/n-m) ^n-m*Önp/m*Ö nq/n-m

В силу определения x_n: m=np+ x_nÖnpq

n-m=n-np- x_nÖnpq=nq- x_nÖnpq

m/np=1+ x_nÖ q /Ö np »1

n-m/nq=1- x_nÖp/Önq»1

 

17. интегральная теорема Лапласа.

В условиях предыдущей теоремы вероятность  того, что событие А в серии  из n испытаний наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз: P_n(k₁≤k≤k₂)=Ф(x₂)-Ф(x₁)

Ф(x)=1/2П₀∫^xe^-t²/2dt- функция Лапласа

x₁= k₁-np/Önpq; x₂= k₂-np/Önpq