Классическое определение вероятности

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Разработка  урока по теории вероятности

 

     Тема: Классическое определение вероятности 

     Цель:

     Создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации.

     Задачи:

     - Способствовать запоминанию основной терминологии, умению устанавливать события вероятности;

     - формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;

     - развитие навыков учащихся в вычислении классической вероятности;

     формирование  вероятностного мышления;

     - способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни.

     Оборудование  к уроку: доска, компьютер с проектором, игральные кубики, монеты.

     Ход урока:

     Урок  сопровождается компьютерной презентацией.

     1. Организационный момент.

     Сообщить  тему урока и сформулировать его цели.

     2. Вступительное слово учителя.

     Случай, случайность – с ними мы встречаемся  повседневно: случайная встреча, случайная  поломка, случайная находки, случайная  ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет  места для математики – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

     Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.

     Слово “азарт”, под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего “случай”, “риск”. Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности.

     Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных – алгебраиста Джероламо Кардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 – 1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 – 1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости.

     Азартные  игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Было замечено. что при многократном бросании однородного кубика, все шесть граней которой отмечены соответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 число очков от 1 до 6 выпадают в среднем одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадение определённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6 (т.е. отношению числа случаев, благоприятствующих событию к общему числу всех случаев). Аналогично вероятность появления на верхней грани кости чётного числи очков равна 3/6 ,так как из шести равновозможных случаев чётное число появляется только в трёх.

     Решение порой довольно сложных задач, с  которыми обращались заинтересованные лица к Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей, в том числе и правил действия над ними. Отсюда не следует, конечно, заключать, что основоположники теории вероятностей рассматривали азартные игры как единственный или главный предмет разрабатывавшейся ими новой отрасли науки.

     На  развитие теории вероятностей оказали  влияние более серьёзные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах ещё в 16в. В 16-17вв. учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространились во многих европейских странах.

     Азартные  игры были для ученых только удобной  моделью для решения задач  и анализа понятий теории вероятности. Об этом заметил ещё Гюйгенс в  своей книге “О расчётах в азартной игре” (1657), которая была первой книгой в мире по теории вероятностей. Он писал: “...при - внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы глубокой и весьма интересной”. Гюйгенс впервые ввёл важное для теории вероятностей понятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие а трудах Даниила Бернулли, Даламбера и др. Понятие математического ожидания находит немало применений а разных других областях человеческой деятельности.

     Таким образом, в 60-е годы 17в. были выработаны первые понятия и некоторые элементы теории вероятностей. В последующие два века учёные столкнулись с множеством новых задач, связанных с исследованием случайных явлений.

     Во  второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

     Классическое  определение теории вероятности

     Вероятностью  события является сумма вероятностей исходов, благоприятствующих этому событию.

     Ну  а если же вероятное пространство построено из равно возможных  исходов - то класическая теорема  примет вид:

     Вероятностью  события называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу равновозможных исходов.

     Другими словами если мы кидаем одну игральную  кость, то шанс выпада четверки будет 1/6.

     Где 1 - число благоприятствующих событий (четверка ведь в кости одна), а  6 - общее число исходов (всего 6 сторон у игральной кости).

     Так же вероятность представляется в  виде:

1. Простой дроби: 1/6
2. Десятичной дроби: 0.1666666(6)
3. Процентах 16.66%

     А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы.

     Этим  занимается раздел математики, который  называется «теорией вероятностей».

     Возьмите  в руки кубики.

     При бросании кубика сколько различных  элементарных событий может произойти? (6)

     Сколько событий благоприятных событию  «выпадет 4»? (1)

     Сформулируем  правило:

1. Число всех возможных исходов –n
2. Все исходы равновозможны
3. Количество благоприятных исходов – m
4. P(A) – вероятность события А

 

     P(A) =

     учащийся  навык классический вероятность

     Слово вероятность по-французски - probabilite, по-английски – probability.

     Учащимся  предлагается по учебнику прочитать  правило вычисления вероятностей.

     Первичное закрепление изученного.

     Событием  называется результаты опытов, испытаний или наблюдений.

     Задача: исследовать виды событий. Для этого:

     1. Приведите примеры событий.

     Пользуясь образцом: играется шахматная партия – испытание. Выигрыш, ничья, проигрыш его возможные исходы события.

     У больного определили 1-ую группу крови. Проверка группы крови – испытание, 1-я группа крови событие.

     2. Какие бывают события?

     Достоверное – если оно обязательно произойдет, например, в ящике 10 белых шаров, то событие извлеченный шар –  белый – достоверное.

     Невозможное - если оно заведомо не может произойти в данном испытании, например, в ящике 10 белых шаров, то событие вытащить черный шар - невозможное.

     Случайное событие – которое в данном испытании может произойти, а  может и не произойти, например, если при бросании монеты событие –  выпал герб - случайное. Попробуйте придумать свои примеры и оформить все, что вы узнали в виде схемы.

     Справка: Событие называют случайным, если оно  может произойти, а может и  не произойти.

     Выполните следующие испытания:

     1) Подбросьте монету 50 раз. Посчитайте сколько раз

     а) выпадет орел.

     б) Подбросьте монету 20 раз. Посчитайте сколько  раз выпал орел.

     в) Как сравнить результаты?

     Может вы приведете свои примеры?

     На  учениях по стрельбе из винтовки стрелок  попадал 8 раз из 10 выстрелов.

     Какова  частота поражения цели у этого спортсмена и сколько попаданий в цель можно ожидать от него на соревнованиях, если каждый участник будет стрелять 30 раз?

     Возможные исходы испытаний можно найти  путем правдоподобных рассуждений основанных на практическом опыте и здравом смысле.

     Пример: Возьмем игральный кубик, то при  бросании этого кубика каковы шансы выпадения на его верхней грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков (одинаковы, т.к. нет оснований считать, что выпадение одного из очков, например 6 более вероятно, чем 2).

     Говорят, что вероятность выпадения на верхней грани кубика одного числа очков, например 3 равна 1/6.

     А события, имеющие одинаковую вероятность  называются равновозможными.

     Так что такое вероятность события?

     От  какого слова произошло это понятие?

     Задача  Даламбера – французский математик (1717-1783). Найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут цифры.

     После выполнения заданий в группах  переходим к отчету групп и  подведению итогов.

     Теперь  давайте ответим на вопросы:

     1. Какие события вы узнали? И что такое событие?

     2. Что такое относительная частота  события? 

     3. Какова вероятность невозможного  события?

     4. Какова вероятность достоверного  события?

     5. В каких пределах находится  вероятность?

     6. Как называются 2 события, имеющие  одинаковую вероятность?

     II этап.

     А теперь попытаемся выполнить работу.

     1. В каждое из приведенных ниже  предложении впиши наиболее подходящее по смыслу слово, выбрав его из слов возможно, невозможно, наверняка, маловероятно.

     1) Завтра солнце ... взойдет на востоке.