Классические задачи на построение, не разрешимые с помощью циркуля и линейки

Министерство образования и  науки Российской Федерации 

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

Тульский государственный педагогический университет

имени Л. Н. Толстого

 

кафедра алгебры, математического  анализа и геометрии

 

 

 

 

 

ВЫПУСКНАЯ   КВАЛИФИКАЦИОННАЯ   РАБОТА

 на тему:

 

 

 

КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ, НЕ РАЗРЕШИМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

 

 

Выполнена: студенткой 5 курса

заочной  формы обучения

факультета  математики, физики и

информатики

Антиповой Татьяной Александровной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тула – 2010

 

 

 

Содержание.

Введение.                                                                                                                    3

Глава 1.  Элементы конструктивной геометрии.                                                   6

1. 1. Задача на построение.                                                                                       6

1. 2. Элементарные геометрические  задачи на построение.                                   9

Глава 2.  Алгебраический метод.                                                                             15

2.1. Построение отрезков, заданных  простейшими формулами.                          15

2.2. Построение корней  квадратных уравнений.                                                    18

2.3. Разрешимость алгебраического  уравнения в радикалах.                               20

Глава 3. Классические задачи древности.                                                               30

3.1. Задача об удвоении  куба.                                                                                   30

3.1.1. Решение, приписываемое  Платону.                                                               30

3.1.2. Решения Диокла, Паппа и Спора.                                                                  31

3.1.3. Решение Виета.                                                                                                33

3.1.4. Приближенный способ решения  задачи об удвоении куба.                        34

3.2. Трисекция угла.                                                                                                   34

3.2.1. Решение с помощью «вставок».                                                                     35

3.2.2. Решение Архимеда.                                                                                         35

3.2.3. Решение с помощью квадратрисы  Динострата.                                           36

3.2.4. Приближенные решения  задачи о трисекции угла.                                     39

3.3. Квадратура круга.                                                                                               40

3.3.1. Решение с помощью  квадратрисы Динострата.                                           41

3.3.2. Приближенное решение  задачи с использованием треугольника Бинга.  42

Литература.                                                                                                                 43

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих  математиков ещё вVI – V вв. до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор (VIв. до н. э.) и его ученики, Гиппократ (V в. до н. э.), Евклид, Архимед, Аполлоний (III в. до н. э.), Папп (III в. н. э.) и многие другие.

Математики из школы  Пифагора уже сумели справиться с такой сравнительно сложной задачей, как построение правильного пятиугольника. В V в до н. э. возникли знаменитые классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла. Эти задачи, как оказалось впоследствии, не разрешимы с помощью циркуля и линейки, в течение многих веков вызывали живейший интерес различных исследователей. В IV в. до н. э. греческие мыслители разработали ту общую схему решения геометрической задачи на построение (анализ – построение – доказательство – исследование), которой мы пользуемся и поныне.

Вся история геометрии  и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием  теории геометрических построений. Важнейшие  аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н. э. ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» -- эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическим»  лишь построения, производимые циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Эта традиция до сих пор сказывается в школьном курсе геометрии. С другой стороны, именно греки первые стали привлекать для геометрических построений другие средства, отличные от циркуля и линейки. Так, например, Платон около 400 г. до н. э. решал задачу об удвоении куб с помощью двух прямых углов. Архимед дал решение задачи о трисекции угла с помощью линейки с двумя пометками. Ту же задачу решали с помощью различных кривых Никомед (с помощью конхоиды), Диолекс (с помощью циссоиды), Папп и другие.

Много внимания уделяли  конструктивным задачам творцы современной  математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер Гаусс и др. Так, например, Декарт и Ньютон решали задачу о трисекции угла с помощью конических сечений.

Многовековые неудачные попытки решить классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла навели на мысль, что эти задачи вовсе не разрешимы циркулем и линейкой (такое предположение относительно задачи о квадратуре круга высказал ещё в XV в. Леонардо да Винчи). В связи с этим возникла необходимость выяснить, какие задачи разрешимы циркулем и линейкой. Этот вопрос оказался тесно связанным с алгебраической проблемой разрешимости уравнений в радикалах. Замечательные исследования, проведенные в этой области К. Гауссом (1777 – 1855), позволили ему в 1796 г. полностью решить одну из наиболее трудных проблем конструктивной геометрии: каким должно быть натуральное число п, Чтобы правильный п-угольник можно было построить циркулем и линейкой? Задача о квадратуре круга привела к глубоким исследованиям в области теории чисел, связанным с изучением свойств числа . Эти исследования, которые были закончены лишь во второй половине XIX в., позволили доказать, что задача о квадратуре круга не разрешима циркулем и линейкой.

Большой практический интерес  представляют приближенные способы  решения геометрических задач на построение. Часто оказывается, что  приближенный способ решения с точки зрения чертежной практики значительнее выгоднее и проще теоретически точного способа построения. В течение многовековой истории конструктивной геометрии были даны многие интересные способы решения знаменитых классических задач, а также и многих других задач. Еще Архимед дал приближенный способ построения правильного семиугольника; из его исследований можно вывести приближенный способ решения задачи о квадратуре круга. Приближенные методы геометрических построений составляют в настоящее время важную часть теории геометрических построений.

В настоящее время  теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

Изложение многих геометрических вопросов опирается на геометрические построения. Это особенно характерно для «доказательств существования»: существование центра окружности, вписанной в треугольник, существование подобных треугольников, существование параллельных прямых и др. доказывается с помощью построений.

Основные этапы решения  геометрической задачи на построение характерны для плана решения любой содержательной математической задачи: анализ, синтез доказательство и исследование являются его необходимыми элементами.

Теория геометрических построений составляет теоретическую  основу практической графики: многие чертежные приемы опираются на решения геометрических задач на построение.

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса  геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Глава 1. Элементы конструктивной геометрии.

1. 1. Задача  на построение.

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперёд указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая  условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение – значит, свести её к  конечному числу основных построений, т. е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения, которых искомая фигура будет  уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений, а, следовательно, и ход решения задачи, существенно зависит от того, какие именно инструменты употребляются для построений.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу: построить середину отрезка, заданного своими концами A и B.

Найдем решение этой задачи с помощью различных инструментов.

1. Циркулем и линейкой (рис. 1).

Строим последовательно:

1. прямую AB;
2. окружность ω₁ (A, AB);
3. окружность ω₂ (B, BA);
4. общие точки M и N окружностей ω₁ и ω_2;
5. прямую MN.

2. Циркулем (рис. 2)

                             

 

Рис. 1.                                                                            Рис.2.

1. окружность ω (B, BA);
2. окружность ω₁ (A, AB);
3. общую точку C окружностей ω₁ и ω;
4. окружность ω₂ (C, CA);
5. общую точку D окружностей ω и ω₂, отличную от точки A;
6. окружность ω₃ (D, DB);
7. общую точку E окружностей ω и ω₃, отличную от C.

Заметим, что точки A, B и E расположены на одной прямой, причём AE=2AB. Строим далее:

8. окружность ω₄ (E, EA);
9. общие точки М и N окружностей ω₁ и ω₄;
10. окружность ω₅ (M, MA);
11. окружность ω₆ (N, NA);
12. общую точку X окружностей ω₅ и ω₆, отличную от A.

Нетрудно усмотреть, что  точка X расположена на прямой AB.

Кроме того, треугольник AMX подобен треугольнику AEM, так как они равнобедренные и имеют общий угол MAE при основаниях. Поэтому AX:AM=AM:AE или AX:AB=AB:2AB, так что AX=1/2AB и, значит, точка X искомая.

1. Двусторонней линейкой (рис. 3).

Строим последовательно:

1. прямую AB;
2. прямую a, параллельную AB и проходящую на расстоянии h от неё (h – ширина линейки);
3. прямую b, параллельную a, отстоящую от неё на расстоянии h и отличную от прямой AB;
4. точку C на прямой b;
5. прямые AC и BC;
6. точки DºaÇAC и EºaÇBC;
7. прямые AE и BD;
8. точку PºAEÇBD;
9. прямую CP;
10. точку XºCPÇAB.

                 

   Рис.3.                                                              Рис. 4.

Так как DE – средняя линия треугольника ACB, то AE и BD – его медианы, а, следовательно, и CP – медиана, так что точка X искомая.

2. Прямым углом (рис. 4).