Элементы теории множеств

Министерство образования и  науки  Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

 

 

 

 

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и МПМ

 

 

Курсовая работа  
«Элементы теории множеств»

 

 

 

 

Работу выполнила:

Студентка 622 группы 1 курса  ФМФ

Каланакова Алена Андреевна 

Проверила Работу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Горно-Алтайск, 2013

 

Содержание

 

Введение  3

Глава 1. Исходные понятия теории множеств  5

1.1. Множество как первоначальное неопределяемое понятие  5

1.2. Способы задания множеств  6

1.3. Равенство множеств  7

Глава 2. Основные теоретико-множественные отношения  8

2.1. Подмножества  8

2.2. Операции над множествами и их свойства  8

2.3. Диаграммы Эйлера-Венна  11

2.4. Прямое произведение множеств  13

2.5. Отношения на множестве  14

Глава 3. Теория бесконечных множеств  16

3.1. Мощность множества  16

3.2. Множество натуральных чисел  16

3.3. Конечные и бесконечные множества  17

3.4. Счетные множества и их свойства  17

3.5. Примеры счетных множеств  18

3.6. Несчетные множества. Мощность континуума  19

Глава 4. Аксиоматика теории множеств  20

4.1. Аксиомы теории множеств  20

4.2. Парадоксы теории множеств  21

Заключение 24

Литература 25

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Математическим понятием, отражающим объединение некоторых  объектов, предметов или понятий  в единую совокупность, является понятие  множества. Это понятие в математике является неопределяемым.

Только лишь во второй половине 19 в. стало рассматриваться понятие “множества” в качестве математического, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным “множеством”. При этом общему понятию “множества”, рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде “множество есть многое, мыслимое как единое”, и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не “теорией множеств” (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала  резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится. Тем не менее, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.

В начале 20 в. Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и, связанной с ней, канторовской программы стандартизации математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.

Таким образом, понятие совокупности, или множества, принадлежит к числу фундаментальных понятий, данных нам природой, и предшествует понятию числа. В своем первичном виде оно не дифференцируется на понятие конечного и бесконечного множеств.

Плодотворность теоретико-множественной  концепции заключается в том, что она породила весьма богатый и мощный арсенал широких понятий и универсальных методов.

В связи с этим возникает круг задач, которые разрешимы только средствами теоретико-множественной  концепции.

Множества (соответствия, отношения) относятся к числу неопределенных математических понятий, поэтому для понятия множества дается описательное определение, содержание и смысл которого раскрывается при изучении теории множеств.

 

 

Цели курсовой работы «Элементы теории множеств»:

1. Изучение исходных понятий теории множеств, а также аксиоматики теории множеств.
2. Систематизация теоретико-множественной концепции.

 

Задачи курсовой работы «Элементы теории множеств»:

1. Поиск наиболее полного, содержательного и объективного ответа на вопросы разделов теории множеств.
2. Изучение определений и теорем в соответствии с различными научными подходами.
3. Создание наглядной презентации с целью использования пособия при изучении теории множеств.

 

ГЛАВА 1

ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

 

1.1. Множество как первоначальное неопределяемое понятие в математике

 

В 70-х годах прошлого века немецкий математик Георг Кантор, исследуя тригонометрические ряды и числовые последовательности, встал перед  необходимостью сравнить между собой  бесконечные совокупности чисел. Для  решения возникших проблем Кантор и выдвинул понятие множества. Согласно канторовскому определению, множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Это определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества, что предоставляет нам значительную свободу. В частности, допустимо рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно указать (например, множество простых чисел).

В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность явлений, предметов и объектов реального мира. Сами множества так же могут объединяться во множества. Например, математики говорят о множестве фигур на плоскости, о множестве тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят как множество точек.

Суть понятия “множество” вполне передается словами: “совокупность”, “собрание”, “набор” и т.д. Однако, как абстрактное математическое понятие “множество” неопределимо.

Несмотря на это, определить какое-либо конкретное множество - задача не из трудных. Определить любое конкретное множество - значит определить, какие предметы (явления, объекты) принадлежат данному множеству, а какие не принадлежат. Иначе говоря, всякое множество однозначно определяется своими элементами.

Для того чтобы некоторую  совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы  выполнялись следующие условия:

1. Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности.
2. Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга. (Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).

 

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, ... , M, K, ... . Если множество A состоит из элементов a, b, c, ... , это обозначается с помощью фигурных скобок: A = {a, b, c, ...}. Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: aÎA. Если же a не является элементом множества A , то пишут aÏA. Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Æ. Пустое множество является частью любого множества.

 

1.2. Способы задания множеств

 

Для того, чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему  принадлежат (или могут принадлежать). Это можно сделать различными способами:

• перечислением элементов: M = {m₁ ,m₂ , ... , m_n};
• характеристическим условием (свойством): M = {x | P(x)};
• порождающим правилом: M = {x | x = f(t)};

 

Первый способ полностью описывает  множество. Однако он применим только для конечных (а, вообще говоря, для  конечно обозримых множеств). При  задании множеств перечислением  обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. В этом случае считается несущественным порядок перечисляемых элементов.

Пример.

Задание множества первых пяти нечетных натуральных чисел перечислением  элементов: M = {1, 3, 5, 7, 9}.

 

Второй способ позволяет определить принадлежность элемента x множеству M и, поэтому, пригоден для описания не только конечных, но и бесконечных множеств. Характеристическое условие обычно задается в форме логического утверждения, которое может выражаться словами, математическими уравнениями, неравенствами. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае  не принадлежит. Характеристическое условие может состоять из нескольких условий: в таком случае в записи могут использоваться следующие знаки:

● L - равносильно “и”;

● V – равносильно “или”;

● " - квантор всеобщности;

● $ - квантор существования.

Задание множеств их характеристическим свойством иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т. е. всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно.

Пример.

Элемент x множества М есть целое число, квадрат которого меньше нуля.

M = {x | xÎZ L x² < 0}.

 

Третий способ задания множества сводится к построению конкретных представителей как конечных, так и бесконечных множеств. Порождающее правило описывает способ построения объектов, которые являются элементами определяемого множества.

Пример.

Зададим два множества перечислением: M₁ := {1,2}; M₂ := {1}.

Зададим множество M₃ правилом построения его элементов:

                            M₃ := {x | x = (x₁,x₂), x₁ÎM₁, x₂ÎM₂}.

Правило читается следующим образом: Для того, чтобы построить элемент  множества M₃, надо взять один объект из множества M₁, второй объект из множества M₂ и составить из них упорядоченную пару. Руководствуясь этим правилом, можно построить каждый элемент множества M₃: (1,1), (2,1).

 

1.3. Равенство множеств

 

Определение равенства  множеств. Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из xÎA следует xÎB и обратно, из xÎB следует xÎA.

Формально равенство  двух множеств записывается следующим образом:

А=В ó "x | xÎA ó xÎB.

Равенство множеств А и В записывают в виде А=В.

Чтобы доказать равенство двух множеств, необходимо доказать, что:

1. "x | xÎA Þ xÎB;
2. "x | xÎ B Þ xÎ A.

Пример.

1. Равенство всех пустых множеств (A=Æ, B=Æ Þ A=B).
2. А – множество корней уравнения (x-1)(x-2)=0. B – множество, состоящее из элементов 1 и 2: B={1,2}. A=B.

 

 

ГЛАВА 2

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ  ОТНОШЕНИЯ

 

2.1. Подмножества

 

Определение подмножества. Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент, принадлежащий множеству А, принадлежит множеству В.

Формальная запись: A ÍB ó "x | xÎA Þ xÎB.

Если A является подмножеством B, то B называется надмножеством A.

Если среди данных множеств одно из них является подмножеством  другого, это обозначает, что они связаны отношением включения.

Отношение нестрогого включения обозначается “Í”.

Отношение строгого включения обозначается “Ì”.

AÍB обозначает, что множество A содержится в B, при чем А может быть равным множеству B. Строгое включение исключает такое равенство.

Если AÌB, A¹Æ , то A – собственное подмножество множества В.

Свойства отношения включения.

1. "A выполняется AÍA (рефлексивность).
2. "A, B выполняется AÍB L BÍA Þ A=B (антисимметричность).
3. "A, B, C выполняется AÍB L BÍC Þ AÍC (транзитивность).

Пример.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество {2, 4, 6, ... , 2n, ...} является собственным подмножеством множества натуральных чисел {1, 2, 3, 4…}.

 

2.2. Операции над множествами и их свойства

 

Основными операциями над множествами  являются объединение, пересечение и разность.

Определение объединения множеств. Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В. AÈB={x | xÎA V xÎB}.

Пример.

A={1, 3, 5},  B={2, 4, 6}. AÈB={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

 

Определение пересечения  множеств. Произведением, или пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. AÇB = {x | xÎA L xÎB}.

Если множества заданы характеристическими  свойствами своих элементов, то из определения  пересечения следует, что характеристическое свойство множества АÇВ составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза “и”.

Пример.

A={1, 3, 5},  B={1, 3, 7, 9}. AÈB={1, 3}.

 

Определение разности множеств. Разностью между множеством A и множеством B называется множество всех элементов из A, не являющихся элементами множества B. A\B = {x | xÎA L xÏB}.

Если множества А и  В заданы характеристическими свойствами их элементов, то из определения объединения следует, что характеристическое свойство элементов множества А U В составляется из характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза “или”.