Элементы теории игр

Поскольку второй игрок стремится найти такие  значения y_j и, следовательно, q_j, чтобы цена игры u была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений q_j, , при которых

,  .                     

Формулы (3) и (4) выражают двойственные друг другу задачи линейного  программирования (ЛП).

Решив эти задачи, получим значения p_i , q_j и u.Тогда смешанные стратегии, т.е. x_i и y_j получаются по формулам :

Пример. Найти решение игры, определяемой матрицей.

Решение. При решении этой игры к каждому элементу матрицы А прибавим 1 и получим следующую матрицу

Составим теперь пару взаимно-двойственных задач:

Решим вторую из них 
 

Из оптимальной  симплекс-таблицы следует, что

(q₁, q₂, q₃) = (0; ; 1),

а из соотношений  двойственности следует, что 

( p₁, p₂, p₃) = ( ; 1; 0).

Следовательно, цена игры с платёжной матрицей А₁ равна

.     ,

а игры с платёжной  матрицей А :

.

При этом оптимальные  стратегии игроков имеют вид:

Х = (х₁, х₂, х₃) = (uр₁; uр₂; uр₃) = =

Y = (y₁, y₂, y₃) = (uq₁; uq₂; uq₃) = = . 

Теория  Нэша. 

   Джон Нэш послал свою докторскую диссертацию "некооперативные игры" на математический факультет Принстона в мае 1950 г., как раз за месяц до своего двадцать второго дня рождения. Работа на 27 страниц в области теории игр представляла концепцию равновесия Нэша для некооперативных игр. Равновесие Нэша стало основным инструментом экономического анализа и прогноза, и спустя более 40 лет привело к присуждению Нэшу Нобелевской премии.

   Данная работа вводит понятие некооперативной игры и развивает методы математического анализа таких игр. Рассматриваемые игры являются играми n игроков, представленных посредством их чистых стратегий и функций выигрыша, определяемых для комбинаций чистых стратегий. Различие между кооперативными и некооперативными играми математическим описанием определяется не через чистые стратегии и функции выигрыша от игры. Скорее оно зависит от наличия или отсутствия возможности коалиций, коммуникации или побочных платежей. Понятия точки равновесия, решения, строгого решения, частного решения и значений вводятся путем математических определений.

   Главный математический результат заключается в доказательстве существования в любой игре, по меньшей мере, одной точки равновесия. Другие выводы касаются геометрической структуры набора равновесных точек игры с решением, геометрии вспомогательных решений и существования точки симметричного равновесия в симметричной игре. В качестве иллюстрации возможностей приложения этого подхода приводится простая модель покера для трех человек.

   В теории игр равновесием Нэша называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша.

Концепция равновесия Нэша (РН) не совсем точно  придумана Нэшем, Антуан Августин Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации Некооперативные игры (1950), что равновесия Нэша должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргернштерном (1947).

Допустим, — игра, где — набор чистых стратегий, а — набор выигрышей. Когда каждый игрок выбирает стратегию в профиле стратегий , игрок получает выигрыш . Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком i, но и от чужих стратегий. Профиль стратегий является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии не выгодно ни одному игроку, то есть для любого

Игра  может иметь равновесие Нэша в  чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре для n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша. 
 
 
 
 

Заключение. 

   В ходе выполнения данной курсовой работы я изучил элементы теории игр. Эта наука позволяет в зависимости от условий внешней среды и степени информативности лица, принимающего решение, составить удобную математическую систему, которая позволит максимально увеличить желаемую прибыль и минимизировать нежелательные затраты. Такие системы находят своё применение во всех отраслях экономики, в особенности при работе с биржами валюты и ценных бумаг. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы: 

Методы анализа, планирования и управления \ А.С.Пелих, Л.Л.Терехов, А.Н.Кизилов\1997 

American Experience. Перевод А. С. Скоробогатова.