Курсовая  работа

Тема. Эйлеровы интегралы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание

Введение

1.Интеграл Эйлера  первого рода (бета-функция Эйлера)

2. Интеграл Эйлера второго рода (гамма-функция Эйлера)

2.1 Определение Эйлерова интеграла второго рода

2.2 Свойства гамма-функции Эйлера

2.2.1 Непрерывность

2.2.2 Основное  функциональное уравнение

2.2.3 Поведение  гамма-функции и ее график

2.2.4 Связь  между функциями бета- и гамма-функциями

2.2.5 Формула  дополнения

2.2.6 Формула  Эйлера

3.Примеры  вычисления интегралов с использованием эйлеровых интегралов

Заключение

Список литературы

 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

               Во многих случаях первообразная  от заданной элементарной функции  не выражается никакими конечными комбинациями основных элементарных функций. О таких функциях говорят, что они не интегрируемы в конечном виде. В ряде случаев, для вычисления используют так называемые эйлеровы интегралы, являющие собой особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра. К эйлеровым интегралам относятся так называемые бета- и гамма-функции Эйлера.

      Гамма-функция  относится к числу самых простых  и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

      Благодаря её введению значительно расширяются  возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула  не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование гамма-функции, хотя бы в промежуточных выкладках.

      Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

     Цель  данной работы – изучить бета- и гамма-функции, их свойства, связь между ними и научиться применять их для вычисления интегралов; показать эквивалентность двух разных определений гамма-функции. 
 
 
 
 

1. Интеграл  Эйлера первого рода

                            (БЕта-функция Эйлера) 

      Бета – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

                                    =                                 (1.1)

      Он  представляет функцию от двух переменных параметров и : функцию B. Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и  

      Интеграл (1.1) сходятся при  .Полагая получим: 

       = - =  

      т.e. и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

      

      по  формуле интегрирования по частям имеем:

      

      Откуда  получаем 

             =                            (1.2)

      При целом b = n последовательно применяя (1.2)  получим: 

                             (1.3)

      при целых  = m, = n, имеем

        

      но B(1,1) = 1,следовательно: 

                                                 (1.4)

      

      Положим в (1.1) . Так как график функции симметричен относительно прямой ,то

      

      и в результате подстановки  , получаем

      

      полагая в(1.1) ,откуда , получим                                                          

                                                           (1.5)

     Положим в формуле (1.5) b = 1 – а, считая, что 0< а < 1, мы найдем:

     B (a, 1 – а) = .

     Полученный  интеграл также связан с именем Эйлера. Вычислим его.

     Разобьем  интеграл на два интеграла: I = = I₁ + I₂, вычислим их порознь.

     Для 0 < х < 1 имеем разложение в ряд ,

этот  ряд сходится равномерно лишь если 0 < у 1– ' < 1. Но частичная сумма имеет интегрируемую в [0, 1] мажоранту 

     0 , 

     следовательно, интеграл от нее сходится равномерно (как при у = 0, так и при у = 1). Интегрируя почленно, получим:

                          I₁ = = . 

     Интеграл  I₂ подстановкой приводим к виду 

                                 

         Применяя полученное выше разложение, найдем: I₂ = .

     Таким образом: 

                 I = I₁ + I₂ = +                    (1.6) 

     Полученное  выражение есть разложение на простые  дроби функции  . Окончательно получаем: = .

     Таким образом, В (а, 1 – а) = (0 < а < 1).                 (1.7)

     Если, в частности, взять а = 1 – а = , то получим: 

                                      В ( ; ) = .                                       (1.8)

          Функция «Бета» очень просто выражается через другую функцию «Гамма», которую мы рассмотрим в следующем разделе. 
 
 
 
 
 
 

2. Интеграл  Эйлера второго рода

                            (гамма-функция Эйлера) 

1. Определение Эйлерова интеграла второго рода

 

     Это название было присвоено Лежандром  замечательному интегралу: 

                                    Г(а) = ,                         (2.1)

который сходится при любом а > 0, так  как особые точки ¥ и 0 (при а < 0). существует лишь при а > 0 (бесконечно малая порядка а – 1 по отношению к ). существует, каково бы ни было а, так как, взяв > 1, имеем:                 = 0 при .

     Следовательно, существует при а > 0. Интеграл

      (а) = определяет функцию Г («Гамма»).

     Функция «Гамма», после элементарных, является одной из важнейших функций для  анализа и его приложений. Глубокое изучение свойств функции «Гамма», исходя из ее интегрального определения (2.1), послужит одновременно и прекрасным примером применения теории интегралов, зависящих от параметра. Положим в формуле (2.1) х = , найдем:

 

      (а) = = =

     = = – = . 

     Как известно, = , причем выражение при возрастании n стремится к своему пределу, возрастая. В таком случае, на основании предельного перехода под знаком интеграла, оправдано равенство: Г (а) = .

     Если  сделать подстановку z = yⁿ, получим: 

     Г (а) = = =

     = = . 

     Но, согласно формуле (1.3):

 

      = В (а) = . 

     Таким образом, мы пришли к знаменитой формуле  Эйлера-Гаусса: 

                     Г (а) = n^a.                (2.2) 

     В дальнейшем свойства функции Г мы будем извлекать из ее интегрального  представления (2.1). 

     2.2 Свойства гамма-функции Эйлера

     2.2.1 Непрерывность

     Функция Г (а) при всех значениях а > 0 непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков. Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл (2.1) под знаком интеграла, получим:

                               = .                           (2.3)

     применение  правила Лейбница оправдано тем, что оба интеграла  и сходятся равномерно относительно а: первый при х = 0 для а а₀ > 0 (мажоранта ), а второй сходится при х = для а А < (мажоранта х^А е^-х).

     Таким же путем можно убедиться и  в существовании второй производной

                                =                          (2.4)

и всех дальнейших.

     2.2.2 Основное функциональное  уравнение

     Из  формулы (2.1) интегрированием по частям получаем:

     a. Г (а) = а = =

     = + = + =

     = = Г (а + 1), то есть Г (а + 1) = а Г (а)             (2.5)

     Эта формула, повторно примененная, дает

                   Г (а+n) = (a+n-1) (a+n-2)… (a+1) a Г(а).             (2.6)

     Таким образом, вычисление Г для сколь  угодно большого значения аргумента  может быть приведено к вычислению Г для аргумента меньше 1.

     Если  в формуле (2.6) взять а = 1 и принять во внимание, что

                                    Г(1)= =1,                                    (2.7)

     то  окажется, что

                                         Г (n + 1) = n!.                                (2.8)

     Функция «Гамма» является естественным распространением – на область любых положительных  значений аргумента – факториала n!, определенного лишь для натуральных значений n.

     2.2.3 Поведение гамма-функции и ее график

     Теперь  мы можем составить общее представление  о поведении функции Г (а) при  возрастании а от 0 до .

     Из  формул (2.7) и (2.8) имеем: Г(1) = Г(2) = 1, так что по теореме Ролля, между 1 и 2 должен лежать корень а₀ производной Г'(а). Эта производная постоянно возрастает, ибо вторая производная Г''(а), как видно из ее выражения (2.4), всегда положительна. Следовательно, при 0 < а < а₀ производная Г'(а) < 0, и функция Г(а) убывает, а при а₀ < а < будет Г'(а) > 0, так что Г(а) возрастает; при а = а₀ налицо минимум, вычисление которого дает: а₀ = 1,4616…, min Г (а) = Г (а₀) = 0,8856.