История математики

Функция ограничена снизу, если весь ее график расположен выше некоторой горизонтальной прямой y=m. Функция ограничена сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=m.

«Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

 

 

Максимум функции

Определение: Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Функция у=f(x) имеет максимум в точке x0, если существует такая b – окрестность точки x0, что при x0–b<х<x0+b выполняется неравенство f(x)<f(x0), т.е. значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех других точках, достаточно близких к x0.

«Пересев хуже недосева», - издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга.

Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить её графиком, где урожай представлен  как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

«Недосол на столе – пересол на спине». Качество пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли – невкусно, много – тоже в рот не возьмёшь. А где-то в промежутке, в золотой середине, когда соли в самый раз, кушанье становится особенно вкусным. В этой точке кулинарная функция достигает максимума. Малейший щепотью соли больше или меньше – и дегустатор с утончённым вкусом скажет, что качество пищи снизилось.

 

Вогнутость и выпуклость функции

«Не круто начинай, круто кончай». Эта пословица заслуживает того, чтобы быть включённой в правила научной организации труда. Тем более что за ней так и видится графическое выражение.

Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы.

«Горяч на почине, да скоро остыл».

Обе функции, представленные на графиках зависящими от времени. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному.

Рост одной  функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции  называется вогнутостью. Парабола вершиной вниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спадает всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряющимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для положительных значений аргумента.

Наклон  другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции  называется выпуклостью. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать; однако искривление его траектории сохраняет прежний характер. Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функцией является и гипербола, построенная для отрицательных значений аргумента.

 

Периодичность функции

Определение: Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f(x+T)=f(x)=f(x–T). Число Т называется периодом функции y=f(x).

«Сказка про белого бычка». Так говорят, когда какое-то дело безнадёжно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату.

Ссылку  на сказку про белого бычка часто  заменяют цитированием первых слов песни  «У попа была собака».

Периодичностью  в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость  может быть более или менее  строгой.

В обыденной  речи утвердилось выражение «период  солнечной активности». Если бы все  явления на Солнце подчинялись строгой  периодичности, их можно было бы предсказывать  на сколь угодный долгий срок. Стала  бы не нужна всемирная служба Солнца с её круглосуточными наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в ближайшее время изменится  количество солнечных пятен, интенсивность  солнечных вспышек и т.п.

 

 

Значение функций

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого  из миллиардов людей, живущих на Земле. Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот. Точно также облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Наблюдая  различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых  событий. Общей оказывается и  математическая модель, построенная  на основе этих закономерностей.

Математические  формулы – лишь удобный язык для  изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать  используя привычные и наглядные  образы из окружающей жизни.

 

Математика  – самая древняя наука, игравшая важнейшую роль в жизни и деятельности человека на всех исторических этапах, т.к. людям всегда нужно было что-либо считать и чертить, измерять и  вычислять, прогнозировать и проектировать, создавать новое.

Сегодня можно говорить, что современная математика – это метанаука, объединяющая комплекс дисциплин: арифметику – теорию чисел, алгебру, геометрию, математический анализ, теорию множеств, теорию вероятностей, математическую статистику, теорию игр и многие, многие другие (насчитывают несколько десятков крупных направлений). На стыках наук появляются разделы: математическая физика, математическая логика, математическая лингвистика, математическая экономика и др. Также математика неразрывно связана с другими (даже с гуманитарными науками) и необходима в обычной жизни

 

 

 

Приложение. Цифры в пословицах и поговорках

Один

Один за всех  и все за одного.

Один в  поле не воин.

В страду одна забота – не стояла бы работа.

От великого до смешного – один шаг.

Одной рукой  и узла не завяжешь.

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Трус умирает  сто раз, герой – один раз.

Один раз  солгал – навек лгуном стал.

 

Два

За двумя  зайцами погонишься, ни одного не поймаешь.

Два сапога – пара.

Одна голова – хорошо, а две – лучше.

Скупой платит дважды, а лентяй дважды работает.

Убить двух зайцев.

 

Три

Бог любит  троицу.

У мужика в  августе три заботы – и косить, и пахать, и сеять.

Не узнавай  друга в три дня – узнавай  в три года.

Из третьих  рук.

Обещанного  три года ждут.

 

Четыре

Изба без  четырех углов не ставится.

Конь о  четырех ногах, и тот спотыкается.

 

Пять

Знать как  свои пять пальцев.

Рассказывать  с пятого на десятое.

Быть как  пятое колесо в телеге.

 

Шесть

Шесть дней лайся, седьмой – кайся.

Беда шестёриком правит.

 

Семь

Семь раз  отмерь, один раз отрежь.

Семеро одного не ждут.

У беспокойной  хозяйки семь пятниц на неделе.

Тайна за семью  печатями.

Семеро с  ложкой – один с сошкой.

На седьмом  небе.

 

Восемь

Весна да осень  – на дню погод восемь.

Восьмое чудо света.

 

Девять

За тридевять  земель, в тридевятом царстве.

 

Десять

Не трусливого десятка.

Рассказывать  с пятого на десятое.

 

 

 

Список  литературы

1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М., 2001

2. Даль В.И. Пословицы русского народа. М., Русская книга. 1993

3. Никитина Н.Н. Математика в пословицах, загадках и стихах. М., Литера, 2007

4. Пухначев Ю.А., Попов Ю.Н. Математика без формул. М., АО «Столетие», 1995