Исследование функции с помощью производной

Примеры применения производной к исследованию функций.

Из пунктов  Четные и нечетные функции,Построение графиков четных и нечетных функций и Периодические функции, что построение графика функции лучше начинать с ее исследования, которое состоит в том, что для данной функции:

1) находят ее  область определения;

2) выясняют, является  ли функция f четной или нечетной, является ли периодической.

 Далее находят: 3) точки пересечения графика с  осями координат; 

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки  возрастания и убывания;

6) точки экстремума и значения f в этих точках

7) исследуют  поведение функции в окрестности  «особых» точек и при больших по модулю х.

На основании  такого исследования строится график функции.

Исследование  функции на возрастание (убывание) и  на экстремум удобно проводить с  помощью производной. Для этого  сначала находят производную  функции f и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них  являются точками экстремума. 

Выбрав тему реферата «Исследование функции  с помощью производной» я поставила  следующие задачи:

- систематизировать  свои знания о функции, как  важнейшей математической модели;

- усовершенствовать  свое умение в применении дифференциального  исчисления для исследования  элементарных функций.

Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные  представления о непрерывности  и разрывах функций, узнать о непрерывности  любой элементарной функции на области  ее применения, научиться строить  их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Работа над  содержанием темы «Исследование  функций с помощью производной» повысит уровень моей математической подготовки, позволит решать задачи более  высокой сложности по сравнению  с обязательным курсом. 

Глава I. Развитие понятия функции.

Принципиально новая часть курса алгебры  посвящена изучению начал анализа. Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков и сыграл громадную  роль в развитии естествознания –  появился мощный, достаточно универсальный  метод исследования функций, возникающих  при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями  и методами анализа – одна из важнейших целей курса.

Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло  и поныне играет большую роль в  познании реального мира.

Необходимые предпосылки  к возникновению понятия функции  были созданы, когда возникла аналитическая  геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению  геометрических задач.

Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в  первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.

Однако явное  и вполне сознательное применение понятия  функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет  свое начало в XVII веке в связи с  проникновением в математику идеи переменных.

Четкого представления  понятия функции в XVII веке еще  не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Явное определение  функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли : «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер  во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И.Бернулли, несколько уточняя  его. Правда, он не всегда придерживался  вышеуказанного определения. Эйлер  придает более широкий смысл  функции, понимая ее как кривую, начертанную  «свободным влечением руки».

В «Дифференциальном  исчислении», вышедшим в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение  функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних  и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Большой вклад  в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые  привел примеры функций, которые  заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Во второй половине XIX века понятие функции формулируется  следующим образом: если каждому  элементу х множества А поставлен  в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.

Общее понятие  функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к  другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.

Это общее определение  функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже  с самого начала XX века это определение  стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков.

Дирак ввел так  называемую дельта-функцию, которая  выходила далеко за рамки классического  определения функции.

Сергей Львович  Соболев первым рассмотрел частный  случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную  теорию к решению ряда задач математической физики.

Важный вклад  в развитие теории обобщенных функций  внесли ученики и последователи  Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов  и другие.

Краткий обзор  развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда  не закончится и эволюция математики в целом. 

Глава II. Основные свойства функции.

2.1. Определение  функции и графика функции.  Область определения и область  значений функции. Нули функции.

Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно  для успешного усвоения курса  высшей математики.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в  соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая  переменная у, называется областью изменения  функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу  х, называют значением функции f в  точке х и обозначают f(x).

Функцию можно  задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.

Аналитический – с помощью формул.

Табличный –  с помощью таблиц, где можно  указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить  свойства функции.

Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а  х «пробегает» всю область  определения функции f.

Пример 1. Найти  область определения функции y=lg (2x-3)

y=lg(2x-3)

D(y): 2x-3>0

2x>3

x>1,5

Ответ: D(y)=(1,5; +∞ ).

Одним из понятий  для исследования функции является нули функции.

Нули функции  – это точки, в которых функция  принимает значение нуля.

Пример 2. Найти  нули функции y=x2-5x.

y=x2-5x

D(y)=R

По определению :

y=0, тогда

x2-5x=0

x(x-5)=0

x=0 или x=5

Ответ: нулями функции  являются точки x=0 и х=5.

Пример 3. Найти  нули функции y=4x-8

y=4x-8

D(y)=R

По определению:

у=0, тогда

4х-8=0

4x=8

x=2

Ответ: нулями этой функции является точка х=2. 

2.2. Виды функций  (четные, нечетные, общего вида, периодические  функции).

Рассмотрим функции, области определения которых  симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области  определения число (-х) также принадлежит  области определения. Среди таких  функций выделяют четные и нечетные.

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример 4. Определить вид функции y=2cos2x.

y=2cos2x, D(y)=R

y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – четная.

Пример 5. Определить вид функции y=x4-2x2+2.

y=x4-2x2+2, D(y)=R.

y(-x)=(-x)4-2(-x)2+2=x4-2x2+2=y(x) – четная.

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x.

y=2sin2x, D(y)=R

y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – нечетная.

Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x.

y=3x+1/3x

y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – нечетная. 

Пример 4. Пример 5. 

Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т≠ 0, если для любого х из области  определения значения этой функции  в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T).

Пример 8. Определить период функции y=cos2x.

cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где 2T=2π, т.е. Т=π.

Для построения графика периодической функции  с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и  затем полученный график параллельно  перенести на расстояния nT вправо и  влево вдоль оси Ох.

Пример 9. Построить  график периодической функции f(x)=sin2x.

f(x)=sin2x,

sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π. 

2.3. Возрастание  и убывание функций. Экстремумы.

Также к свойствам  функции относятся возрастание  и убывание функции, экстремумы.

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых  х1 и х2 из множества Р, таких, что  х2>х1 , выполнено неравенство f(x2)>f(x1).

Функция f убывает  на множестве Р, если для любых  х1 и х2 из множества Р, таких, что  х2>х1 , выполнено неравенство f(x2)<f(x1).

Иными словами, функция f называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества  соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей  на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее  значение функции.

При построении графиков конкретных функций полезно  предварительно найти точки минимума (xmin) и максимума (xmax).

Точка х0 называется точкой максимума функции f , если для  всех х из некоторой окрестности  х0 выполнено неравенство f(x) ≤f(x0).

Точка х0 называется точкой минимума функции f , если для  всех х из некоторой окрестности  х0 выполнено неравенство f(x)≥ f(x0).

Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума.

Пример 10. Найти  точки экстремума, экстремумы функции y=x2+2x, и указать промежутки возрастания  и убывания функции.

y=x2+2x, D(y)=R

y'=(x2+2x)'=2x+2

y'=0, т.е. 2х+2=0

2х=-2

х=-1

Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки. 

- + 

-1

min 

<