Интерполирование функций. Формула Лагранжа и Эрмита

то выражение для  многочлена, принимающего при соответствующих  значениях абсцисс численные  значения, выписанные в одной из строк, будет аналогично рассмотренному, т.е.

     

  (7.5)

Общее решение является суперпозицией (суммой) частных решений (7.5)

                   

       

         (7.6)

Это и есть интерполяционный многочлен  Лагранжа. По наборам исходных пар (7.1) формула (7.6) позволяет достаточно просто составить «внешний вид» многочлена.

Используя обозначение

              

,     (7.7)

формуле Лагранжа  можно  придать более сжатый вид. Продифференцируем  по

;

при имеем:

             .    (7.8) 

Формула Лагранжа с учетом (7.7) и (7.8) примет вид:

или                                           (7.9)

В рассмотренном случае предполагалось, что точки  расположены на отрезке произвольно. Рассмотрим формулу Лагранжа, для равноотстоящих значений абсцисс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерполяционный  многочлен Лагранжа для равностоящих узлов

Пусть на отрезке  задана система равноотстоящих узлов которыми отрезок делится на равных частей

 где 

В этом случае интерполяционный многочлен Лагранжа строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный  вид.

Обозначим , где . Отсюда:

..................................................

Т.е. в общем случае:

            (7.10)

Используя (7.10) и принятое обозначение  получим:

             (7.11)

Учитывая, что  найдем:

            (7.12)

Заметим, что в (7.12) ровно  строк ( -я строка отсутствует); причем численные значения первых строк положительны, а остальные — отрицательны. Используя (7.12), получим:

т.е.

                 (7.13)

             

С учетом (7.11) и (7.13) формула Лагранжа для равноотстоящих

узлов примет вид:

            

  (7.14)

 

 

 Погрешность многочленной интерполяции

 

1. Оценочная формула погрешности метода интерполирования по формуле Лагранжа записывается следующим образом:

                     (7.16)

где — максимальное значение производной от интерполирующей функции на отрезке (считаем, что функция дифференцируема на отрезке   раз).

 

 

 

 

Приближенное  представление функций.

Основные направления исследования: разрешимость задачи интерполирования, простейших интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных и численных методов решения различных задач математики и ее приложений.

Приближенное представление функций. Интерполяционные функции на отрезке по значениям ее в узлах сетка - означает построение другой функции такой, что В более общей постановке задача интерполирования функции состоит в построении не только из условий совпадения значений функций и на стеке , но и совпадения в отдельных узлах производных до какого-то порядка или некоторых других соотношений, связанных и .

Обычно  строится в виде

,

где - некоторая заранее выбранная система линейно независимых функций. Такое интерполирование называется линейным относительно системы , а интерполяционным многочленом по системе .

Выбор системы  определяется свойством класса функций, для приближения которого предназначаются интерполяционные формулы. Например, для приближения - периодической функции на   за  естественно взять тригонометрическую систему функций, для приближения на полу оси ограниченных или возрастающих функции- систему рациональных или показательных функций, учитывающих поведение приближаемых функций на бесконечности и т.д.

Чаще всего используя  а л г е б р а и ч  е с к о е  интерполирование: . Существует ряд явных представлений алгебраических интерполяционных многочленов. Например интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:

 

 

В задаче приближения функции и на всём отрезке алгебраическое интерполирование высокого порядка выполняется сравнительно редко. Алгебраический интерполяционный процесс не является сходящимся в классе непрерывных на функций. Обычно ограничиваются линейным интерполированием по узлам и на каждом отрезке или квадратичным по трем узлам , , на отрезке .

Эффективным аппаратом  приближения функции являются интерполяционные сплайны, но их построение в ряде частных случаях требует значительных вычислительных затрат.

На практике чаще всего  используются параболические  или  кубические полиноминальные сплайны. Интерполяция кубическим сплайном дефекта 1 для функции относительно сетки называет функцию , являющуюся многочленом 3-й степени на каждом из отрезков , принадлежащую классу дважды непрерывно дифференцируемых функции и удовлетворяющую условиям

.

При таком определении  кубического сплайна, он имеет еще свободных параметра, для нахождения которых на сплайн налагаются дополнительные краевые условия. Например  или и , или некоторые другие.

Полиномиальный интерполяционный  сплайн произвольной степени m дефекта r определяется как функция , удовлетворяющая, кроме условий и , еще дополнительно условиям совпадения в узлах сетки значений функции и интерполированной функции и их производных до некоторого порядка.

Часто при обработке  эмпирических данных коэффициенты в определяют исходя из требования минимизации суммы

- заданные числа,  .

Такое построение функции  называют интерполированием по методу наименьших квадратов.

Интерполирование  функций  многих переменных имеет ряд принципиальных и алгебраических трудностей. Например в случае алгебраической интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря, не существует для произвольной схемы различных узлов интерполяции. В частности для функций двух переменных такой многочлен суммарной степени не выше n может быть построен по узлам лишь при условии, что эти узлы не лежат на алгебраической кривой порядка n.

Другой поход к интерполированию функции многих переменных стоит в том, что сначала интерполируется функция по переменной при фиксированных потом по следующей переменной при фиксированных и т.д. интерполяционные сплайны для функций многих переменных определяются по многомерной сетке при соответствующих изменениях по аналогии с одномерным случаем.

Интерполирование функций и численные методы. Интерполирование функции используется:

1. для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще
2. для приближенного восстановления функции на всей области задания по значениям её в отдельных точках или по другим известным величинам
3. для получения сглаживающих функций
4. для приближенного нахождения предельных значений функции
5. в задачах ускорения сходимости последовательностей и рядов и в других вопросах.

 

Общие идеи построения интерполяционных методов решения уравнения  =0 и систем уравнения , одни и те же. Трудности задачи интерполирования функций многих преременных особенно  сказывается при исследовании и практическом использовании такого рода методов для большого числа уравнений. В основу получении интерполяционных методов решения уравнения =0 положена замена функции ее интерполяционным многочленом и последующим решением уравнения =0 берутся за приближенные решении уравнения =0 интерполяционный многочлен используется так же при построении итерационных методов решения уравнения =0.

Например взяв за корень линейного интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям и в узле  или по значениям и в узлах и , приходят соответственно к методу Ньютона и метода секущих

,

где - разделенная разность функций для узлов и .

Другой подход к построению численных методов решения уравнения  =0 основан на интерполировании обратной функции . Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции взят интерполяционный алгебраический многочлен Лагранжа , построенный по узлам Тогда за следующее приближению к корню уравнения =0 берется величина .

 

При численном решении интегральных уравнений, известная функция заменяется в интегральном уравнении  каким-либо интерполяционным приближением (интерполяционным алгебраическим многочленом, интерполяционным сплайном и т.д.) с узлами интерполирования , а приближенные значения для находятся из системы, полученной после подстановке вместо независимости переменной x узлов интерполирования . В случае нелинейных интегральных уравнений приближенные значения находятся соответственно из нелинейной системы.

Интерполяционная формула- для приближенного вычисления значений функции  , основанного вычисления на замене приближаемой функции более простой в каком- то смысле функцией

наперед заданного класса, причем параметры  выбираются так чтобы значения совпадали с известными заранее значениями для данного множества попарно различных значений аргумента:

такой способ приближенного  представления функций называется интерполированием, а точки  , для которых должны выполняться условия , - узлами интерполяции.

В ряде случаев (например, при интерполировании алгебраическими  многочленами) параметры  могут быть явно выражены из системы , и тогда непосредственно используется для приближенного вычисления значений функции .

Интерполяционный  процесс- процесс получения последовательности  интерполирующих функций при неограниченном возрастании числа n узлов интерполирования. Если интерполирующие функции представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда называется интерполяционным рядом. Целью построения интерполяционного полинома чаще всего является, по крайней мере в простейших первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком- то смысле по средствам интерполирующих функций , о которой или имеется неполная информация, или форма которой слишком сложна для непосредственного использования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Удалось построить интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного значения аргумента. В программе предусмотрена возможность ввода любого числа значений функции для чего организованно хранение ее значения при помощи линейного списка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Архангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах. М.: МАИ, 1976.
2. Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. М.: Финансы и статистика, 1999.
3. Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей математике.
4. Фильчаков П.Ф., Численные методы.
5. Большая математическая энциклопедия. М.: Олма-Пресс, 2004
6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.
7. Тихонов А.Н., Вводные лекции по прикладной математике.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы.
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс диф и инт исчисления. М.: Наука,1970.