Интерполирование функций. Формула Лагранжа и Эрмита

Государственное образовательное  учереждение высшего профессионального  образования «Арзамасский государственный  педагогический институт имени А.П.Гайдара»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К У Р С О В А  Я  РАБОТА     

 

 

Тема:”Интерполирование функций. Формула Лагранжа и Эрмита”

 

 

 

 

 

 

   

 

                                                                      Выполнил: Игрушкин С.Ю., студент 4 курса,41группы

 физико-математического  факультета 

 

 

 

 

                                                                         Проверил: научный руководитель

Алексеенко С.Н

     

 

 

 

 

 

 

 

Арзамас

2007

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………..3
2. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа…………..4
3. Дополнительный член формулы Лагранжа……………………………..5
4. Интерполирование с квадратными узлами. Формула Эрмита…………7
5. Постановка задачи………………………………………………………..9
6. Интерполяционный многочлен Лагранжа для произвольных узлов….11
7. Интерполяционный многочлен Лагранжа для равностоящих узлов….14
8. Приближенное представление функций………………………………...16
9. Заключение………………………………………………………………..22
10. Список литературы………………………………………………………23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Интерполирование, интерполяция,- приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным  значениям или других величин, связанных  с ней. В первоначальном понимании восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям или значениям ее производных в заданных отрезках.

Основное применение интерполяции - это вычисление значении табулированной функции для неузловых (промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между строками».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшая  задача интерполировании. Формула Лаграижа.

Представим себе, что  для некоторой функции f(x), определенной в промежутке [а, Ь], вычислены m+ 1 ее значений в точках х₀, х₁, ..., х_т промежутка:

                                  (1)

 

и требуется  по этим значениям вычислить 'значение f(x) при каком-либо новом значении х.

В этом и состоит простейшая задача интерполupования. Конечно, в такой постановке вопроса содержится много неопределенного. Обычно задачу понимают гак: ищется целый многочлен L(x) наинизшей степени, который в заданных точках (i=0,1,….,m) , называемых узлами интерполирования, принимает те же значения f что и функция f(x), и приближенно полагают для любого х из [a,b]:

f(x)=L(x) (2)

Подобное  приближенное равенство называется интерполяционной формулой. Итак, надлежит прежде всего найти интерполяционную формулу, а затем - при определенных предположениях относительно функции f(х) - оценить погрешность приближенной формулы (2). Для разыскания многочлена L(x), удовлетворяющего условиям

                                                     (i=0,1,…..,m)             (3)

удобно ввести многочлены m-й степени.           

                                              (k=0,1,….m)

которые, соответственно значку, принимают значение 1 при х = х_и и обращаются в 0 при x = если i . Теперь ясно, что многочлен

                                                                                      (4)

 

удовлетворяет всем условиям (3). Степень этого многочлена не выше m и стало быть условиями (3) он определяется однозначно, его называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а приближенное равенство (2) – интерполяционной формулой Лагранжа.

 

 

 

 

 

 

Дополнительный  член формулы Лагранжа.

 

Обратимся теперь к оценке разности f(x) - L(x), где х есть любое фиксированное значение в

 промежутке [а,b], отличное от узлов интерполирования.

 Предположим, что функция f(z) в этом промежутке имеет производные всех порядков до (т+1)-го включительно.

 

Какова, бы ни была постоянная К, функция

 

тоже имеет т+1 производных и к тому же обращается в 0 в узлах   (i=0,1,…,m). Мы выберем теперь постоянную К так, чтобы и при z=x было , т. е. положим  

                                   (5)

(так как  ,, то . По теореме Ролля  в т+1 промежутках

между т+2 корнями х,х_о,х,, ...,х_т функции найдется m+1

 различных корней ее производной . Применяя снова теорему Ролля к

 функции  и к m промежуткам между ее m + 1 корнями, установим

 существование т различных корней второй производной и т.д

. Продолжая  это рассуждение, на (m+1)-м его шаге придем к

 существованию  корня  (т + 1)-й производной , так что

 

              (6)

 

Но  , ибо степень многочлена L(z) не выше т, a Учитывая определение вспомогательной функции (z), имеем

, так что из (6) получается, что

Окончательно, из (5) находим:

       (7)

Это — интерполяционная формула Лагранжа с дополнительным членом. В отличие от (2), она является т о ч н о й!

Замечание.  Если в промежутке [а,b]

то, так как в этом промежутке получаем такую оценку для погрешности формулы (2)

Правая часть при  стремится к нулю лишь для очень узкого класса функций f(x); например, это будет иметь место для таких функций, которые в [а,b] дифференцируемы любое число раз, причем все их производные ограничены одной постоянной М. В этом случае по мере возрастания числа узлов интерполирования и независимо от закона, по которому выбираются эти узлы, погрешность формулы (2) будет равномерно стремиться к нулю. Как доказал Марцинкевич (J. Marcinkiewicz), для каждой отдельно взятой непрерывной функции можно достигнуть такого же эффекта путем надлежащего выбора последовательных систем узлов. Но — по теореме Фаберa (G. Faber) - не существует такого закона выбора узлов, который годился бы в этом смысле для всех непрерывных функций одновременно. В подробности относительно этих и им подобных вопросов мы здесь входить не имеем возможности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерполирование  с кратными узлами. Формула Эрмита.

Можно поставить  более общую задачу интерполирования, задав в узлах х_о,х₁, ..., х_т, кроме значений самой функции f(х), также и значения последовательных ее производных:

где - неотрицательные целые числа. Общее число этих условий равно

.

Задачу вычисление значения функции f(x) при любом отличном от узлов значении x из [a,b] - с использованием всех данных (8) — мы, подобно простейшему случаю, будем понимать так. Ищется целый многочлен H(x) наинизшей степени, который в каждом узле , вместе со своими производными до порядка ,- включительно, принимает те же значения, что и сама функция f(x) и се соответствующие производные, а затем приближенно полагают

f(x)=H(x). (9)

Узлы  называют узлами интерполирования, сответственно кратности

Можно долазать существование и единственность многочлена.H(x) степени не выше N-1, удовлетворяющего всем поставленным условиям. Его называли интерполяционным многочленом Эрмита, а формулу (9) - интерполяционной формулой Эрмита (Ch. Hernrite).

Если все  положить равными нулю, то мы вернемся к формуле Лагранжа (2). Мы встречались и с другим частным случаем формулы Эрмита: возьмем один лишь узел х₀, но кратности п+ 1, т. е. от многочлена не выше n-й степени, Т(х), потребуем, чтобы в точке его значения и значения п его производных совпадали, соответственно, со значениями самой функции f(x) и ее производных. Мы знаем, что этим требованиям: удовлетворяет многочлен Тейлора.

Таким образом  приближенная формула    f(x)=T(x)

также является частным  случаем интерполяционной формулы Эрмита.

Дополнительный член формулы (9), восстанавливающий ее точность, выводится с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в предыдущем номере. Рассмотрим многочлен N-й степени

и положим для 

       где  K=const.

Если предположить, что  функция f(z) в промежутке [а,b] имеет N последовательных производных, то это будет справедливо и для Ф(z).

 

Фиксируя значение z=x, отличное от узлов, мы выберем постоянную К так:

        (10)

при таком выборе функция Ф(z) обращается в 0 и при z = x. Всего она будет иметь N+ 1 корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность*). Применяя последовательно теорему Ролля как и выше (с тем лишь усложнением, что каждый кратный корень функции Ф(z) еще в течение нескольких шагов будет (фигурировать и как корень ее последовательных производных), окончательно придем к утверждению, что в некоторой точке обратится в 0 производная . Отсюда

и ввиду (10)

 (11)

Это и есть интерполяционная формула Эрмита с дополнительным членом.

Формула Лагранжа с дополнительным членом [(7)] является ее частным случаем. Точно так же, взяв единственный узел х₀ кратности n+1, мы как частный случай формулы (11) получим формулу Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа.

 

 

 

 

 

Постановка  задачи

Предположим, что задано различных точек плоскости:

                         (7.1)

Требуется найти функцию  , значения которой при данных значениях абсциссы в точности равны соответствующим ординатам заданных точек:

Т.е. нужно найти линию, описываемую уравнением , проходящую через данную точку (рис.7.1).

Рис.7.1    

 

Заметим, что здесь  приходится различать два случая:

1. интерполяцию (от лат. interpolar — подновлять) — восстановление промежуточных значений функции внутри интервала по ряду известных ее значений;
2. экстраполяцию (лат. приставка extra означает «вне») — когда не вошедшее в исследование значение лежит вне интервала .

Очевидно, интерполяция более надежна, чем экстраполяция.

Вообще говоря, существует бесконечное число линий, проходящих через  заданную точку. Потребуем, чтобы искомая линия была простейшей, т.е. значения функции, задающие эту линию, должны находиться при помощи простейших операций (сложения, умножения). Этому требованию отвечают многочлены (полиномы), т.е. выражения вида:

                    (7.2)

Зная численные значения коэффициентов многочлена, мы можем найти его ординату при любом значении переменной . Наконец, из двух многочленов условимся считать простейшим тот, степень которого ниже.

Итак, приходим к задаче о полиномиальной интерполяции: пусть даны различных чисел и соответствующих им чисел , требуется найти многочлен наименьшей возможной степени, удовлетворяющий условиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерполяционный  многочлен Лагранжа для произвольных узлов

 

Для решения предложенной задачи зафиксируем  одну ординату , а остальные будем считать равными нулю (рис.7.2), т.е. заданным значениям абсцисс ставятся в соответствие значения ординат

Из свойств многочленов следует, что многочлен, обращающийся в нуль в  разных точках, т.е. имеющий различных корней, должен

делиться на каждую из разностей:

 

                     

                           

                  Рис.7.2

 

а следовательно, и на произведение этих разностей, т.е. его  степень не может быть ниже . В таком случае многочлен должен иметь вид

           

                    (7.3)

Из условия  определим значение const

,

таким образом находим

                       (7.4)

В полученном выражении никакого особого  преимущества не имеет, мы можем приписать эту особую роль любому , т.е. если абсциссам поставить в соответствие значения , указанные в любой из следующих строк: