Идея и возможности вейвлет-преобразования

Сигнал 1, изображенный на рисунке 1 (а), может быть представлен  так:

где -  некоторые базисные функции, а   – координаты сигнала 1 в этом базисе. Очевидно, что если мы выберем в качестве   единичную ступеньку, изображенную на рисунке 1.2 (а), то, сдвигая   необходимое число раз, мы сможем представить сигнал 1 с помощью суммы таких единичных ступенек. Таким образом, мы ввели базис, в котором мы можем представить сигнал 1. Отметим, что поскольку функции , изображенные на рисунке 1.2, не пересекаются между собой, то построенный нами базис является ортогональным. Функции   называются масштабирующими функциями.

Рисунок 1 – Усреднение дискретизированного сигнала 

Рисунок 1.2 
 
 
 
 

  Теперь  необходимо ввести некоторый базис  для представления детализирующих коэффициентов. Такой базис был  введен Хааром и его базисные функции, названные вейвлетами, изображены на рисунке 1.2 (б).

  Рассмотрим  теперь процедуру усреднения сигнала, проиллюстрированную на рисунке 1, с  точки зрения только что введенных  базисов. Рассмотрим конкретный сигнал, заданный следующим вектором значений – [9 7 3 5]. С помощью масштабирующей функции Хаара мы можем представить  сигнал так, как это изображено на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 – Представление  исходного сигнала в базисе Хаара

Проведем процедуру  декомпозиции сигнала на две части  – усредненный сигнал с двое уменьшенным  разрешением и детализирующие коэффициенты. Получим следующий вектор  = [8 4 | 1 –1], представление которого в базисе Хаара с помощью масштабирующей функции и вейвлетов изображено на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 – Представление  усредненного сигнала в базисе Хаара

Выделим в векторе [8 4 | 1 –1] часть, представляющую усредненный  сигнал (первая половина вектора), и  проведем относительно неё повторное  усреднение и нахождение детализирующих коэффициентов. Получим следующий  вектор – [6 | 2 1 –1] представление которого в базисе Хаара с помощью масштабирующей функции и вейвлетов изображено на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 – Представление  дважды усредненного сигнала в базисе Хаара

Таким образом, мы представили  исходный сигнал с помощью его  усредненной части (среднего по сигналу) и детализирующих коэффициентов. Отметим, что размерность исходного и  преобразованного векторов совпадают, это говорит о том, что при  преобразовании не было потерь информации и, следовательно, возможно полное восстановление исходного вектора. Шаги описанной  процедуры ещё раз проиллюстрированы  на рисунке 1.6. 

  Рисунок 1.6 – Представление сигнала в  базисе Хаара

  Отметим, что если мы будем восстанавливать  сигнал после его разложения в  базисе Хаара, то мы можем остановить процесс восстановления «на полпути» и получить представление сигнала  с заданным разрешением. Другими  словами нами получен математический инструмент изменения разрешения сигнала 

4.  Применения дискретного вейвлет преобразования.

Сжатие  изображений. JPEG 2000

  Основная  идея, используемая при сжатии сигналов с помощью вейвлет преобразования, заключается в том, чтобы отбрасывать  детализирующие коэффициенты, значения которых близки к нулю. В 1999 году был разработан новый стандарт сжатия изображений, названный JPEG 2000 и призванный заменить стандартный алгоритм сжатия JPEG. Одним из основных отличий JPEG 2000 от JPEG является изменение основной процедуры преобразования изображения. В то время как в JPEG использовалось преобразование Фурье и в JPEG 2000 используется вейвлет преобразование, что позволило  не только улучшить визуальное качество изображения, но и добавить некоторую  интересную функциональность, принципиально  не достижимую в JPEG.

  Одной из таких дополнительных функции  является ROI (Region of Interest). ROI позволяет  динамически в пространстве и  во времени повышать разрешение изображения. Под динамическим повышением разрешения изображения в пространстве понимается то, что мы можем повысить разрешение только выделенной области изображения. Под динамическим повышением разрешения изображения во времени понимается то, что мы можем повышать разрешение выделенной области изображения  постепенно, шаг за шагом.

  Существует  несколько алгоритмов реализации ROI, в частности мы можем, как бы добавлять  детализирующие коэффициенты в заданную пользователем область. Для более  детального описания данного алгоритма  требуется понимание особенностей кодирования информации в JPEG 2000, описание которых выходит за рамки данной работы. 
 

Поиск изображений по образцу 
 

  Другим  применением дискретного вейвлет  преобразования является поиск изображений  по образцу. Рассмотрим в начале работу такой поисковой системы с точки зрения пользователя. Пусть существует некоторая база данных, в которой хранятся изображения. Задачи поиска изображений по образцу возникают либо когда у пользователя есть изображение плохого качества (например, отсканированное изображение с низким разрешением) и пользователь хочет найти это же изображение, но с более высоким разрешением или без дефектов, либо когда пользователь просто хочет найти изображение и способен нарисовать от руки его примерный эскиз.

  Очевидно, для решения подобной задачи необходимо ввести некоторую метрику, которая  позволяла бы осуществлять поиск  изображения в базе данных по образцу. То есть метрику, которая была бы мерой  сходства образца и изображений  в базе данных.

  Основная  идея метода заключается в описании каждого изображения с помощью 20 наибольших детализирующих коэффициентов  его вейвлет разложения. Эти двадцать коэффициентов называются ярлыком  изображения («ключевыми словами» изображения  в базисе вейвлетов) и именно по ним  ведется поиск в базе данных. 
 

Многомасштабное редактирование

  Как уже неоднократно подчеркивалось, основу различных применений вейлетов составляет возможность простого и быстрого изменения разрешения сигнала, преобразованного с помощью DWT. Но эта черта вейвлетов  негде так не очевидна как при  многомасштабном редактировании изображений  и трехмерных моделей. Дело в том, что при многомасштабном редактировании изменение разрешения редактируемого объекта происходит интерактивно, что особенно хорошо выявляет описанные преимущества вейвлетов. . 
 
 
 

На рисунке представлена трехмерная модель головы человека, при этом модель представлена в трех разных разрешениях, переход между этими разрешениями, как нетрудно догадаться, осуществляется с помощью добавления детализирующих, вейвлет коэффициентов. При этом само редактирование происходит по-разному при разных разрешениях. По сути дела с уменьшением разрешения модели увеличивается радиус (масштаб) влияния редактора. 
 
 

Заключение

  Список приложений вейвлетов чрезвычайно широк, причем области их применения не ограничиваются цифровой обработкой сигналов, но охватывают также физическое моделирование, численные  методы и другие области науки.

  На мой взгляд, такой интерес к вейвлетам  вызван двумя факторами, во-первых, они сделали то, что долгое время  не удавалось никому – предоставить альтернативу спектральному анализу  и предоставить качественный инструмент анализа нестационарных сигналов, во-вторых, они представляют сигнал в пространственно-временной  области, что существенно проще  для понимания человеком. 

  Список  литературы  

  1.  И.М. Дремин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло. Вейвлеты и их использование. – Успехи физических наук, 2001

  2.  Wavelet Digest – www.wavelet.org

  3.  Br. Vidakovic, P. Mueller. Wavelets for kids – Duke University.

  4.  А. Переберин. Многомасшабные методы синтеза и анализа изображений – Москва, 2001.

5.  А. Петров. Вейвлеты и их приложения – Рыбинск, РГАТА 2007