МОСКОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ)

САМООРГАНИЗУЮЩИИЕСЯ СИСТЕМЫ 
 

Курсовая  работа на тему

<<wavelеts>> 
 
 
 
 

Титов Вячеслав

Группа КС-72-08 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание.

1.Идея и возможности вейвлет-преобразования………………...3

2.Свойства  вейвлетов............................................................................4

3.Дискретное  вейвлет преобразование…………………………….11

4.Применения дискретного вейвлет преобразования.........14

  Заключение…………………………………………………………………………16

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  1.  Идея и возможности вейвлет-преобразования

  Вейвлет-технологии начали серьёзно развиваться в 80–90 годы прошлого века, хотя первый тип  вейвлета был описан ещё в 1909 году учёным Хааром. Многие типы и семейства вейвлетов были названы именами учёных, которые внесли большой вклад в разработку теоретических основ вейвлетов: Мейер, Добеши, Маллат.

  Вейвлет анализ предлагает следующий логический шаг: метод выбора окна переменного  размера. Вейвлет анализ позволяет  использовать большие временные  интервалы, где нам нужна более  точная информация о низкой частоте, и более короткие области, когда  нам нужна информация о высокой  частоте.

  Ряд Фурье использует в качестве базиса синусоиды, которые предельно локализованы в частотной области (вырождаются  на спектрограмме в вертикальную линию), и вообще не локализованы во временной области.

  Противоположный пример – импульсная базисная дельта-функция d(t).Она чётко локализована во временной области и потому идеально подходит для представления разрывов сигнала. Но она не несёт информации о частоте сигнала и потому плохо приспособлена для представления сигналов на заданном отрезке времени.

  Вейвлеты  занимают промежуточное положение  между синусоидой и дельта-функцией и образуют набор функций, удовлетворяющих  определённым условиям (рассмотрим дальше).

  Вейвлеты  характеризуются своим временным  и частотным образом.

  Совокупность  вейвлетов, напоминающих модулированную синусоиду, способна отражать локальные  изменения сигналов.

       

  Сравнение представления сигналов в различных  областях 
 

 
 
 

Одним главным преимуществом, которое предоставляет вейвлет, является возможность представлять локальный анализ, т.е. анализировать  локализованную область в большом  сигнале. 

График коэффициентов  Фурье (например, полученный с помощью  команды fft) этого сигнала не показывает ничего особенно интересного: плоский  спектр с двумя пиками, представляющими  одну частоту. Однако график вейвлет  коэффициентов ясно показывает точное расположение во времени рассмотренного выше разрыва.

 

Вейвлет анализ способен выявить следующие особенности  данных, которые упускают другие методы анализа сигналов: точки разрыва, резкие нелинейности в высших гармониках и самоподобие.

  2.  Свойства вейвлетов

  Вейвлет («короткая волна», «всплеск») –  это волновая форма сигнала эффективно ограниченной длительности, которая  имеет среднее значение ноль.

  

Сравним вейвлет  с синусоидальной волной, которая  является основой анализа Фурье. Синусоиды не имеют ограниченной длительности – они продолжаются от минус до плюс бесконечности. И  где синусоиды гладкие и предсказуемые, вейвлеты стремятся быть неровными  и асимметричными. 
 
 

 
 

  Анализ  Фурье состоит из разложения сигнала  на синусоидальные волны различных  частот. Аналогично, вейвлет анализ это разложение сигнала на сдвинутые  и масштабируемые версии первоначального (или материнского) вейвлета.

  Можно интуитивно увидеть, что сигналы  с резкими изменениями должны анализироваться лучше с помощью  неравномерного вейвлета, чем с помощью  гладкой синусоиды, а также отдельные  черты сигналов могут быть описаны  лучше с помощью вейвлетов, которые  имеют локальную протяженность.

  Математически процесс анализа Фурье представлен преобразованием Фурье: 

 

  которое является суммой по всему времени  сигнала f(t) умноженного на комплексную экспоненту.

  Результатами  этого преобразования являются коэффициенты Фурье F(w), умножение которых на синусоиду соответствующей частоты даст синусную компоненту исходного сигнала. Графически этот процесс выглядит так: 
 

 

Аналогично, непрерывное  прямое Wavelet-преобразование определяется как сумма по всему времени сигнала, умноженного на масштабируемые, сдвинутые версии вейвлет функции: 

 

Где ψ(t) – Wavelet-функция, f(t) – сигнал.

Результатом НВП  будет вейвлет коэффициенты N(τ, a), которые являются функцией позиции τ и масштаба a. 
 

  Преобразование исходного сигнала 

  Амплитудно-временное  представление нестационарного сигнала и его результатнепрерывного вейвлет преобразования

  Масштабирование вейвлета просто означает его растяжение (или сжатие).

  Вводится  понятие – масштабный коэффициент, который обозначают буквой а. Если речь идет, например, о синусоидах, то эффект от масштабного коэффициента очень легко увидеть:

 
 

  Чем больше частота, тем более сжатая синусоида.

  Масштабный  коэффициент действует и на вейвлеты. Чем меньше масштаб, тем более  «сжатым» будет вейвлет. 

  Из  диаграмм видно, что для синусоиды sin(wt) масштаб а обратно пропорционален частотеw. Аналогично, с вейвлет-анализом, масштаб обратно пропорционален частоте сигнала.

  Сдвиг вейвлета просто означает задержку или ускорение его фронта. Математически задержка функции на k представляется в виде:

Вейвлет функция                           Сдвинутая вейвлет функция  
 
 

  Семейства вейвлет-функций

  Можно привести несколько ярких представителей семейств вейвлет-функций

Haar

 
 

Daubechies

Morlet-преобразование

Mexican Hat-преобразование

 
 
 
 
 
 
 

  Непрерывное прямое вейвлет-преобразование

  Для создания НВП необходимо выполнить  следующих пять шагов:

  1.  Взять вейвлет и установить его на начальный интервал исходного сигнала.

  2.  Вычислить коэффициент С, который показывает как тесно коррелированны вейвлет и сигнал на этом интервале. Высокое значение С означает большую схожесть. Заметьте, что результаты будут зависеть от формы вейвлета, выбранного Вами. 

3.  Сдвинуть вейвлет вправо и повторять шаг 1 и 2 до тех пор, пока Вы не исследуете весь сигнал.

4.  Масштабировать (растянуть) вейвлет и повторить шаги 1 – 3.

5.  Повторить шаги 1 – 4 для всех масштабов.

  После выполнения данной последовательности, будут рассчитаны коэффициенты С, полученные для разных масштабов и разных интервалов сигнала.

  Можно построить график, на котором ось  абсцисс представляет позицию вдоль  сигнала (время), ось ординат представляет масштаб, а цвет точек графика  представляет значение вейвлет –  коэффициентов С. Ниже представлены графики коэффициентов, выполненные с помощью графического инструментария.

  Это график коэффициентов непрерывного вейвлет преобразования сигнала  во временной области. Этот вид информации о сигнале отличается от частотно-временного вида (Фурье), но они связаны.

  Из  графиков видно, что чем выше масштаб, тем «протяженнее» вейвлет. Чем  протяженнее вейвлет, тем длиннее  часть сигнала, с которой он сравнивается, и более крупные черты сигнала  будут измерены вейвлет коэффициентами.

  Таким образом, есть связь между масштабом  вейвлет и частотой, как показано вейвлет анализом:

  Малый масштаб а Þ Сжатый вейвлет Þ быстро изменяющиеся составляющие Þ высокая частотаw.

  Большой масштаб а Þ Растянутый вейвлет Þ медленно изменяющиеся, крупные черты Þ низкая частота w.

  Непрерывное обратное вейвлет-преобразование

  Обратное  непрерывное вейвлет-преобразование осуществляется по формуле реконструкции  во временной области. Одна из форм может быть представлена 

где f(t) – восстановленный сигнал, ψ(t) – вейвлет-функция, С(t, a) – вейвлет коэффициенты, которые являются функцией позиции t и масштаба a, Kψ – коэффициент, зависящий от выбора вейвлет-функции, R – область ограничения сигнала.

3.  Дискретное вейвлет преобразование.

Дискретное  вейвлет преобразование одномерного  сигнала

  Цифровая  обработка сигнала требует его  дискретизации. Как и в случае преобразования Фурье существует дискретная форма вейвлет преобразования. Выше было отмечена определенная степень  свободы в выборе базиса вейвлет  преобразования. В данном разделе  нами будет использоваться один из самых простых вейлвет базисов  – базис Хаара.

  Рассмотрим  дискретизированный и квантованный сигнал (сигнал 1) – рисунок 1 (а). Будем  постепенно усреднять данный сигнал, усредняя попарно его отсчеты. Таким  образом, каждый шаг усреднения будет  сокращать разрешение сигнала в 2 раза (т.е. для его представления  будет требоваться в два раза меньшее число отсчетов). Однако при таком усреднении мы теряем часть  информации о сигнале, для того чтобы  восстановить сигнал после усреднения нам потребуется дополнительная информация. Будем сохранять разности между усредненным отсчетом и  отсчетами, из которых усредненный  отсчет состоит при более высоком  разрешении. Данные разности показывают детали сигнала – его флуктуации вокруг среднего при данном уровне разрешения. На рисунке 1 детализирующее коэффициенты показаны в правой части  рисунков 1 (б, в, г, д). Теперь воспользовавшись детализирующими коэффициентами мы сможем восстановить прежнею форму  сигнала.

  Таким образом, для того чтобы перейти  от одного, более низкого уровня разрешения к более детализированному  уровню нам требуется знать усредненные  отсчеты сигнала и детализирующие коэффициенты.