Гиперболические функции и их свойства

 
где k= 0; ±1; ±2; ±3,.... 
 
Сравним теперь гиперболические функции Фибоначчи и Люка (13)–(16) с классическими гиперболическими функциями (11), (12). Легко увидеть, что, в отличие от классических гиперболических функций (11), (12), график косинуса Фибоначчи (14) асимметричен относительно оси y, а график синуса Люка (15) асимметричен относительно начала координат. Это ограничивает область эффективного приложения нового класса гиперболических функций, задаваемых (13)-(16). 
 
Симметричный гиперболический синус Фибоначчи

.

(18)

 
Симметричный гиперболический косинус  Фибоначчи

.

(19)

 
Симметричный гиперболический синус  Люка

.

(20)

 
Симметричный гиперболический косинус  Люка

.

(21)

 
Числа Фибоначчи и Люка связаны  с введенными выше симметричными  гиперболическими функциями Фибоначчи  и Люка следующими соотношениями:

; .

(22)

 
На Рис. 1 и 2 приведены графики  введенных выше функций (18)-(21). 

Рисунок 1. Симметричные гиперболические  функции Фибоначчи	Рисунок 2. Симметричные гиперболические  функции Люка

 
Как следует из рис. 1 и 2, графики  функций (18)-(21) являются симметричными  и подобны графикам классических гиперболических функций (11), (12). Заметим, что в точке x=0 симметричный косинус  Фибоначчи cFs(x) принимает значение  , а симметричный косинус Люка cLs(x) в этой точке принимает значение cLs(0) = 2. Важно подчеркнуть, то числа Фибоначчи F_n с четными индексами (n = 0, ± 2, ± 4, ± 6, …) «вписываются» в симметричный синус Фибоначчи sFs(x) в дискретных точках x = 0, ± 2, ± 4, ± 6, …, а числа Фибоначчи F_n с нечетными индексами (n = ± 1, ± 3, ± 5, …) «вписываются» в симметричный косинус Фибоначчи cFs(x) в дискретных точках x = ± 1, ± 3, ± 5 …. С другой стороны, числа Люка с четными индексами «вписываются» в симметричный косинус Люка cLs(x) в дискретных точках x = 0, ± 2, ± 4, ± 6 …, а числа Люка с нечетными индексами «вписываются» в симметричный синус Люка sLs(x) в дискретных точках x = ± 1, ± 3, ± 5 …. 
 
Введенные выше симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка связаны с классическими гиперболическими функциями (11) и (12) следующими простыми соотношениями: 
 
;  ; 
 
;  . 
 
Симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка связаны между собой следующими соотношениями: 
 
;  . 
 
2.3. Рекуррентные свойства симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка 
 
Симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка (18)-(21) являются «непрерывным» обобщением чисел Фибоначчи и Люка и, следовательно, они обладают рекуррентными свойствами. С другой стороны, они подобны классическим гиперболическим функциям (11) и (12) и, следовательно, они обладают гиперболическими свойствами. 
 
Некоторые из «рекуррентных свойств» функций (18)-(21) приведены в табл. 2. 
 
Таблица 2. Рекуррентные свойства симметричных гиперболических функций Фибоначчи и Люка 

Тождества для чисел Фибоначчи  и Люка	Тождества для симметричных гиперболических  функций Фибоначчи и Люка
Fn+2 = Fn+1+Fn	sFs(x+2) = cFs(x+1) + sFs(x)	cFs(x+2) = sFs(x+1) + cFs(x)
Fn 2 — Fn+1 Fn-1 = (-1)n+1	[sFs(x)]2 — cFs(x+1) сFs(x-1) = -1	[cFs(x)]2 — sFs(x+1) sFs(x-1) = 1
Ln+2 = Ln+1 + Ln	sLs(x+2) = cLs(x+1) + sLs(x)	cLs(x+2) = sLs(x+1) + cLs(x)
Ln2 — 2(-1)n = L2n	[sLs(x)]2 + 2 = cLs(2x)	[cLs(x)]2 — 2 = cLs(2x)
Fn+1 + Fn-1 = Ln	cFs(x+1) + cFs(x-1) = cLs(x)	sFs(x+1) + sFs(x-1) = sLs(x)
Fn + Ln = 2Fn+1	cFs(x) + sLs(x) = 2sFs(x+1)	sFs(x)+ i>cLs(x) = 2cFs(x+1)

 
Например, знаменитая «формула Кассини» 

Fn 2 — Fn+1 Fn-1 = (-1)n+1,

(23)

 
которая представляет собой одно из важнейших тождеств, связывающих  три соседних числа Фибоначчи, в  терминах симметричных гиперболических  функций Фибоначчи представляется в виде двух «непрерывных» тождеств:

[sFs(x)]2 — cFs(x+1) сFs(x-1) = -1

(24)

 
 

[cFs(x)]2 — sFs(x+1) sFs(x-1) = 1,

(25)

 
которые можно рассматривать как  обобщение «формулы Кассини» (23) на непрерывную область. 
 
В 2004 г. опубликована сенсационная статья космологического характера. На основе экспериментальных данных, полученных в 2003 с помощью NASA's Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) в статье выдвинута новая гипотеза о структуре Вселенной. В соответствии с этой гипотезой геометрия Вселенной является гиперболической, а Вселенная по своей форме напоминает горн или трубу с расширяющимся раструбом. 
 
На основе данных полученных немецкими астрофизиками авторы высказывают следующее предположение: 
 
Вселенная имеет «шофароподобную» топологию (Рис.3). 
 
На рис. 3 приведено изображение гиперболического пространства с «шофароподбной» топологией. 

 
Рисунок 3. «Шофароподобная» топология 
 
Золотое сечение, и связанные с ним числа Фибоначчи, отображают гармонию Вселенной, как единение частей в целом. С другой стороны было показано, что рекуррентные последовательности Фибоначчи порождают новый класс гиперболических функций обладающих не только всеми свойствами классических гиперболических функций, но и рекуррентными свойствами. 
 
Этот синтез гармонии, рекурсии и гиперболических функций, авторы назвали золотым гиперболическом подходом. 
 
Из Предположения 1 вытекает актуальность использования золотого гиперболического подхода для современной физики и космологии. 
 
В последние десятилетия «Теория чисел Фибоначчи» дополнилась новыми математическими результатами. Одним из них является теория матрицы специального типа, названной Q-матрицей. Последняя представляет собой простейшую квадратную матрицу размером 2ґ 2 следующего вида:

(26)

 
Заметим, что детерминант Q-матрицы  равен -1, то есть,

Det Q = -1.

(27)

 
Но какое отношение имеет Q-матрица  к числам Фибоначчи? Чтобы отвечать на этот вопрос, необходимо возвести Q-матрицу  в n-ю степень. Тогда мы получим:

(28)

 
где F_n-1, F_n, F_n+1 числа Фибоначчи. 
 
Используя (27), легко доказать, что детерминант матрицы (28) задается выражением:

Det Qn = (-1)n,

(29)

 
где n – целое число. 
 
С другой стороны, детерминант матрицы (28) равен:

Det Qn = Fn-1Fn+1 —  = (-1)n.

(30)

 
Напомним, что тождество (30), задающее связь трех соседних чисел Фибоначчи, было выведено еще в 17-м веке знаменитым астрономом Кассини; поэтому формула (30) называется также «формулой Кассини». Отсюда вытекает, что Q-матрица выражает одно из наиболее важных свойств чисел Фибоначчи, задаваемое (30), а свойство Q-матрицы, задаваемое (29), можно рассматривать как компактную запись «формулы Кассини»! 
 
Можно использовать идею «фибоначчиевой» Q-матрицы (26) для получения обобщенных матриц Фибоначчи. Существует квадратная матрица специального типа, которую названа Q_p-матрицей:

(31)

 
где индекс p принимает следующие  значения: 0, 1, 2, 3, …. 
 
Заметим, что Q_p-матрица представляет собой квадратную (p+1)ґ (p+1)-матрицу. Она содержит единичную pґ p матрицу, ограниченную последней строкой, состоящей из нулей, и первым столбцом, который состоит из нулей, ограниченных единицами. Для случаев p = 0, 1, 2, 3, 4 Q_p-матрицы имеют следующий вид соответственно: 
 
Q₀ = (1);   ;   ; 
 
;   . 
 
Основным результатом является доказательство следующего выражения для Q_p-матрицы, возведенной в степень n:

(32)

 
где р =0, 1, 2, 3, …, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …, а элементами матрицы являются р-числа Фибоначчи, задаваемые рекуррентным соотношением при начальных условиях. 
 
Доказано также, что детерминант матрицы (32) задается следующим выражением:

Det  = (-1)pn,

(33)

 
где p = 0, 1, 2, 3, …; n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …. 
 
Таким образом, разработана теория квадратных матриц, обладающих уникальным свойством: согласно (33) детерминант любой такой матрицы всегда равен по абсолютной величине 1, а знак единицы зависит от произведения двух целых чисел pґ n (р =0, 1, 2, 3, …, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3). Если это произведение является четным, то детерминант матрицы (32) равен +1, в противном случае детерминант равен -1. 
 
Ясно, что матрицы (33), (32) могут быть использованы для расширения «фибоначчиевых» исследований. При этом выражение (33) можно рассматривать как обобщение «формулы Кассини» (30). Например, для случая р=2 обобщенная «формула Кассини» выглядит следующим образом:

Det = F2(n+1)[F2(n-2) F2(n-2)- F2(n-1)F2(n-3)] +     +F2(n)[F2(n)F2(n-3)- F2(n-1)F2(n-2)] +    + F2(n-1)[F2(n-1) F2(n-1)- F2(n)F2(n-2)] = 1.

(34)

 
Подобно «формуле Кассини» (32), задающей связь между тремя соседними числами Фибоначчи, формула (34) связывает пять соседних 2-числа Фибоначчи F₂(n-3), F₂(n-2), F₂(n-1), F₂(n) и F₂(n+1) для любого заданного числа n (n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …). 
 
Подчеркнем еще раз, что обобщенных «формул Кассини», подобных (34) и основанных на (33), теоретически бесконечно, причем их столько же, сколько существует натуральных чисел, поскольку р=1, 2, 3,.... 
 
Введены так называемые «золотые» матрицы. Представим матрицу (28) в виде двух матриц, задаваемых для четных (n=2k) и нечетных (n=2k+1) значений степени n:

(35)

 
 

(36)

 
Мы можем записать матрицы (35), (36) в терминах симметричных гиперболических  функций Фибоначчи (18), (19):

(37)

 
 

(38)

 
где k – дискретная переменная, k=0, ± 1, ± 2, ± 3, …. 
 
Если теперь заменить дискретную переменную k в матрицах (37), (38) непрерывной переменной x, то мы придем к двум необычным матрицам, которые являются функциями от переменной x:

(39)

 
 

(40)

 
Ясно, что матрицы (39), (40) являются обобщением Q-матрицы (28) на непрерывную область. Они имеют ряд необычных математических свойств. Например, для  матрица (39) принимает следующую форму:

(41)

 
Невозможно вообразить, что означает «корень квадратный из Q-матрицы», но именно такая «фибоначчивая фантазия» вытекает из выражения (41). 
 
Для вычисления детерминантов матриц (39), (40) мы можем воспользоваться свойствами симметричных гиперболических функций Фибоначчи, задаваемыми (24), (25). 
 
Если вычислить детерминанты матриц (39), (40), то с учетом (24) и (25), мы придем к весьма необычному математическому тождеству для матриц (38), (39), которое справедливо для любого значения непрерывной переменной x:

Det Q2x = 1

(42)

 
 

Det Q2x+1 = - 1

(43)

 
Вновь обращаясь к «формуле Кассини» мы приходим к неожиданному заключению, что необычные тождества (42), (43) являются ни чем иным, как обобщением «формулы Кассини» на непрерывную область! 

Заключение 
 
Первым важным следствием их введение является осознание того, что классические гиперболические функции (12), (13), которые использовались в математике и теоретической физике не являются единственной математической моделью «гиперболических миров». Параллельно с гиперболической геометрией, основанной на классических гиперболических функциях («гиперболическая геометрия Лобачевского», «четырехмерный мир Минковского» и др.). В природе наблюдается и другая гиперболическая геометрия, основанная на гиперболических функциях Фибоначчи и Люка.  
 
Гиперболические функции Фибоначчи и Люка [4-7], лежащие в основе явления филлотаксиса, не являются «выдумкой» математиков-фибоначчистов, а отражают важнейшую математическую закономерность, лежащую в основе геометрии живой природы. 
 
В заключение хотелось бы обратить внимание на следующее странное обстоятельство. Можно только удивляться тому факту, что в течение многих столетий математики и физики-теоретики не уделяли должного внимания развитию математического аппарата для моделирования «золотого» гиперболического мира, который существует в реальной действительности. Возможно, причиной этого является тот факт, что «золотой» гиперболический мир имеет большее отношение к биологии и ботанике, чем к физике. Однако, к чести определенной группы физиков-теоретиков, в конце 20-го столетия отношение к Золотому Сечению и числам Фибоначчи, лежащие в основе «золотого» гиперболического мира, в современной теоретической физике начинает быстро изменяться. Работы [30-38] являются свидетельством повышенного интереса к Золотому Сечению и числам Фибоначчи со стороны физиков-теоретиков. Работы Бутусова, Шехтмана (Shechtman), Маулдина (Mauldin), Вильяма (William), Ель Нашие (El Naschie), Владимирова и других показывают, что невозможно вообразить дальнейшее развитие физических и космологических исследований без «Золотого Сечения».