Гиперболические функции и их свойства

                                                                           

Введение

Гиперболические функции  были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы. Винсент Риккати (итал. Vincenzo de Riccati; 11 января 1707, Кастель-Франко — 17 января 1775, Тревизо) — итальянский математик, иностранный почётный член Петербургской Академии Наук с 17 января 1760 года. Известен как создатель гиперболических функций. Отец Винсента Якопо Франческо Риккати (в честь которого названо уравнение Риккати) был одним из крупных итальянских математиков того времени. Винсент Риккати унаследовал интересы отца в области дифференциальных уравнений, которые естественно возникали при решении геометрических задач. Это привело его к изучению конических сечений в декартовых координатах и к заинтересованности в изучении гиперболы¹.  
 
Современная математика рассматривает гиперболические функции, как пары экспоненциальной функции, но Риккати исследовал их свойства, используя только геометрические свойства гиперболы х² — y² = 1 или 2xy = 1. Он использовал геометрические методы, хотя он был знаком с работами Эйлера, предшествовавших выходу книги Риккати. 
 
Над гиперболическими функциями Риккати работал вместе с Джироламо Саладини. Риккати не только рассмотрел эти новые функции, но и на основе связанных с ними интегральных формул и с помощью геометрических методов получил интегральную формулу для тригонометрических функций. Его книга «Institutiones» признана как первый обширный трактат по интегральному исчислению. Работы Эйлера и Ламберта изданы позже. Саладини и Риккати также рассматривали другие геометрические проблемы, в том числе трактрису, строфоиду. Риккати применял для гиперболических функций обозначения и в дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. 

 

1. Гиперболические функции.

1.1. Понятие гиперболических функций

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями¹. 
 
Гиперболические функции задаются следующими формулами: 
 
гиперболический синус:  
 
(в зарубежной литературе обозначается sinhx)  
 
гиперболический косинус:  
 
(в зарубежной литературе обозначается coshx)  
 
гиперболический тангенс:  
 
(в зарубежной литературе обозначается tanhx).  
 
гиперболический котангенс:  
 
,  
 
Иногда также определяются гиперболические секанс и косеканс:  
 
,  
 
.  
 
Ввиду соотношения   гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x₂ − y₂ = 1 ( ,  ). При этом аргумент t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом. 
^

1.2. Свойства гиперболических функций

 
 
Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции  от мнимого аргумента¹. 
 
. 
 
. 
 
Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел. 
 
Функция Гудермана, названная в честь Кристофа Гудермана (1798 - 1852), связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел. Она определяется как 

 
При этом 
 
.  
 
Имеют место также следующие тождества: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Обратная функция к функции Гудермана 

 
 
Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана¹: 
 
 
 
 
 
Важные тождества 
 
 
 
Чётность:  
 
 
 
 
 
 
 
Формулы сложения:  
 
 
 
 
 
Формулы двойного угла:  
 
 
 
 
 
 
 
Формулы понижения степени  
 
 
 
 
 
Производные:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Интегралы:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Разложение в степенные ряды. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Графики гиперболических функций даны на рис. 1. 
 
 
 
Рисунок 1. 
 
Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z = iπ(n + 1 / 2), где n — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z = iπn, вычеты его в этих полюсах также равны единице¹. 
^

1.3. Обратные гиперболические функции и их графики

 
 
1. Арксинус y = arshx = ln (x+  ); D(f) = R, E(f) = R.²  
 
Функция нечетная, строго возрастает (рис. 2). 
 
 
 
Рисунок 2 
 
 
2. Арккосинус y = archx = ln (x+  ); D(f) = [1, +  ), E(f) = [0, +  ).  
 
Функция строго возрастает (рис.3). 
 
 
 
Рисунок 3 
 
3. Арктангенс y = arthx =  ; D(f) = (-1, 1), E(f) = R. 
 
Функция нечётная, строго возрастает (рис. 4). 
 
  
 
Рисунок 4 
 
4. Арккотангенс y = arcthx =  ; D(f) = R\[-1, 1], E(f) = R\{0}. 
 
Функция нечётная, строго убывает (рис. 5) на интервалах (-  , -1) и (1, +  ). 
 
 
 
Рисунок 5 
 
2.Применение гиперболических функций. 
 
2.1. Применение гиперболических функций при вычислении интегралов. 
 
Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Если подынтегральное выражение  содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к  интегрированию рациональной функции  с помощью подстановки  .

Пример 1

Вычислить интеграл  .     Решение.     Сделаем подстановку u = 2 + 3sh x, du = 3ch xdx. Тогда  . Следовательно, интеграл равен

Пример 2

Вычислить интеграл  .     Решение.     Поскольку  , и, следовательно,  , интеграл можно переписать в виде                Делая замену u = ch x, du = sh xdx, получаем

Пример 3

Вычислить  .     Решение.     Используем интегрирование по частям:  . Пусть  . Тогда  . В результате находим интеграл

Пример 4

Вычислить интеграл  .     Решение.     Так как  , то интеграл равен

Пример 5

Найти интеграл  .     Решение.     По определению,  . Подставляя это в интеграл, получаем

Пример 6

Найти интеграл  .     Решение.     По определению,  и  . Следовательно,                Сделаем замену u = e x, du = e xdx и вычислим искомый интеграл.

Пример 7

Вычислить интеграл  .     Решение.     Подставив формулы  и  , получаем

Пример 8

Вычислить интеграл  .     Решение.     Интегрируем по частям. Полагаем                Интеграл принимает вид                Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем                Получаем                Решая полученное уравнение относительно  , находим ответ

2.2. Применение гиперболических функций в теории относительности 
 
Матрицы вида  описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы  описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности. 
 
Из «Начал» Евклида к нам пришла геометрическая задача «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». В современной науке эта задача известна как задача о «золотом сечении» геометрического отрезка. Решение этой задачи сводится к решению следующего алгебраического уравнения:

x2 = x + 1.

(1)

 
Квадратное уравнение (1) имеет два  корня. Его положительный корень  называется золотой пропорцией, золотым средним или золотым отношением. 
 
Из (1) вытекает следующее замечательное свойство золотой пропорции:

t n = t n-1 + t n-2 = t ґ t n-1>

(2)

 
где n принимает значение из множества: 0, ± 1, ± 2, ± 3, …. 
 
С золотой пропорцией тесно связаны две числовые последовательности – числа Фибоначчи

Fn = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …},

(3)

 
которые задаются рекуррентным соотношением

Fn = Fn-1 + Fn-2

(4)

 
при начальных условиях:

F1 = F2 = 1,

(5)

 
и числа Люка

Ln = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, …},

(6)

 
которые задаются рекуррентным соотношением

Ln = Ln-1 + Ln-2

(7)

 
при начальных условиях:

L1 = 1; L2 = 3

(8)

 
Числа Фибоначчи и Люка могут  быть расширены в сторону отрицательных  значений индекса n (Табл. 1). 
 
Таблица 1. «Расширенные» числа Фибоначчи и Люка 

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Fn	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55
F-n	0	1	-1	2	-3	5	-8	13	-21	34	-55
Ln	2	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123
L-n	2	-1	3	-4	7	-11	18	-29	47	-76	123

 
Как следует из табл.1, «расширенные»  числа Фибоначчи и Люка обладают рядом интересных математических свойств. В частности, для нечетных n=2k+1 члены  последовательностей F_n и F_-nсовпадают, то есть, F_2k+1 = F_-2k-1, а для четных n=2k они являются противоположными по знаку, то есть, F_2k= -F_-2k. Для чисел Люка L_n – все наоборот, то есть, 
 
L_2k = L_-2k; L_2k+1 = -L_-2k-1. 
 
Пожалуй, наиболее важным результатом «Теории чисел Фибоначчи» являются формулы, выведенные в XIXв. известным французским математиком Бине. Эти формулы, называемые формулами Бине, связывают числа Фибоначчи F_n и числа Люка L_n с золотой пропорцией  . 
 
Формулы Бине для чисел Фибоначчи:

,

(9)

 
Формулы Бине для чисел Люка:

.

(10)

 
где дискретная переменная k принимает  значения из множества: 0, ± 1, ± 2, ± 3, …. 
 
Сравнение формул Бине (9), (10) с классическими гиперболическими функциями

,

(11)

 
 

.

(12)

 
показывает, что формулы Бине по своей структуре подобны гиперболическим функциям (11), (12). Это наблюдение и лежит в основе нового класса гиперболических функций, введенного в [4]. Для этого дискретная переменная k в формулах (9), (10) была заменена непрерывной переменной x, которая принимает значения из множества действительных чисел. В результате были получены следующие непрерывные функции, названные гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка [4]: 
 
Гиперболический синус Фибоначчи

.

(13)

 
Гиперболический косинус Фибоначчи

(14)

 
.  
 
Гиперболический синус Люка

.

(15)

 
Гиперболический косинус Люка

.

(16)

 
Связь между числами Фибоначчи  F_n и числами Люка L_n и гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка (13)-(16) задается следующими соотношениями:

sF(k) = F2k; cF(k) = F2k+1; sL(k) = L2k+1; cL(k) = L2k,

(17)