Формулы сокращенного умножения

Р Е Ф Е  Р А Т

 

на тему:

 

Формулы сокращённого умножения

Содержание

 

 

 

 

1. Введение

Целью реферата является изучение формул сокращённого умножения

(далее ФСУ) и их применения  в решении задач и примеров.

Задачи:

• проанализировать ФСУ, изучаемые по школьной программе;
• познакомиться с ФСУ, не изучаемыми по школьной программе;
• попытаться вывести своё ФСУ;
• проанализировать применение ФСУ.

 

 

Практическая значимость реферата - систематизация моих знаний по теме «ФСУ», знакомство с материалом по этой теме, который не изучается в школе.

Немного теории: вспомним определения некоторых терминов, которые будут встречаться в реферате.

1. Одночлен - это произведение числовых и буквенных множителей.

2. Многочлен - это алгебраическая сумма нескольких одночленов.

3. Разложение многочлена на множители - преобразование многочлена в произведение 2-х или нескольких более простых многочленов.

4. Многочлен вида (а²+ав+в²) называется неполным квадратом суммы.

5. Многочлен вида (а²-ав+в²) называется неполным квадратом разности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Историческая справка

Некоторые правила сокращённого умножения  были известны ещё около 4 тыс. лет  тому назад. Их знали вавилоняне и  другие народы древности. Тогда они  формулировались словесно или геометрически.

У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками  прямых. Они говорили не «a²», а «квадрат на отрезке а», не «ab», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками a и b».

Например, тождество (a+b)²=a²+2ab+b²

Во второй книге «Начал» Евклида (III век до н.э.) формулировалось так:

 

Если прямая линия (имеется  в виду отрезок) как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключённым между отрезками».

 

Доказательство опиралось на геометрические соображения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Некоторые термины такого геометрического  изложения алгебры сохранились  до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом, а третью степень - кубом числа.

 

3. Формулы сокращенного умножения, изучаемые в школе

 

Математиками было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились ФСУ. Несколько формул изучается по школьной программе. Рассмотрим их:

 

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения:.

(a+b)²=a²+2ab+b²

 

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения:

(a-b)²=a²-2ab+b²

 

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность:

a²-b² =(a+b)(a-b)

 

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго выражения:

(a+b) ³ =a³+3a ²b+3ab²+b³

 

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго выражения:

 (a-b) ³ =a³-3a ²b+3ab²-b³

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:

a³ +b³ =(a+b)(a²-ab+b²)

 

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:

a³- b³= (a - b)(a²+ab+b²)

 

Все эти формулы доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Они остаются справедливыми, если в них вместо a и b подставить любые целые выражения.

Например докажем формулу   a³+b³  = ( a  +  b )( a² – ab + b² ). 

Имеем: ( a  +  b )( a² – ab + b² ) = a³ – a²b + ab² + ba²– ab²  –  b³

Приводя подобные слагаемые, мы видим, что 

(a + b)(a² – ab + b²) = a³+b³, что и доказывает нужную формулу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Формулы сокращенного умножения, не изучаемые по школьной программе

4.1. Треугольник Паскаля

    Блез Паскаль (1623— 1662).

     Исаак Ньютон (1643—1727).

 

Из дополнительной литературы я  узнал, что многие ФСУ являются частным  случаем Бинома Ньютона.

 

 

Мы  знаем формулы «квадрата  суммы» (а+b)² и «куба суммы» (а+b)³, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона: 
 

Запомнить такую  формулу непросто.

Видимо, для того чтобы облегчить  запоминание этой формулы, великий  французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов — «треугольник Паскаля». 
 
Строится он следующим образом. В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению (a+b)⁰, поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: (a+b)¹=a+b. Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»: 
                                 a²+2ab+b². 
Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.

 

Построим треугольник Паскаля для (a+b)ⁿ : 

n=0                                                    1

n=1                                                  1    1

n=2                                               1   2    1

n=3                                            1    3   3    1

n=4                                         1  4   6    4   1

n=5                                      1   5  10  10   5   1

n=6                                  1   6    15   20    15   6  1

n=7                             1  7    21   35   35   21   7   1

n=8                         1    8  28   56  70   56   28   8   1

n=9                    1    9   36   84    126    126    84    36    9    1

n=10          1    10    45    120    210    252    210    120    45    10    1

                         .      .      .      .     .     .      .      .       .      .      .

Некоторые историки науки приписывают  Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой  формулы бинома. Они считают, что  Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

4.2. Интересные свойства формул.

                                                               т.е. это формула для чётных степеней,                                                              

                                                               например: (a-b)² = (b-a)² .

                                                              т.е. это формула для нечётных степеней,                

                                                              например: (a-b)³ = (b-a)³ .

 

4.3. Другие полезные ФСУ.

      

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

5. Применение формул сокращённого умножения

5.1. Арифметические расчёты

ФСУ можно применять для упрощения  арифметических вычислений. Например:

99³ = (100 - 1)³ = 1 000 000 - 3х10 000х1+3х100х1-1=

1 000 000-30 000+300-1=970 299

Здесь была применена формула куб разности.

5.2. Упрощение алгебраических выражений

Упростим выражение: (2х³-5z)(2x³+5z).

 

Воспользуемся формулой разности квадратов:

 

(2х³-5z)(2x³+5z) = (2х³)² - (5z)² = 4x⁶ - 25z²

 

5.3. Разложение многочлена на множители

Применение ФСУ (иногда вместе с  другими способами: вынесение общего множителя за скобку и группировки) оказывается очень полезным для  представления многочлена в форме произведения.

Например, дан трёхчлен:

 

              49m² – 42mn + 9n² =(7m)² - 2 x 7m x 3n + (3n)² = (7m – 3n)²

 

Мы убедились, что трёхчлен содержит квадраты одночленов 7m и 3n и удвоенное произведение этих одночленов. Значит это полный квадрат. Причём это квадрат разности.

 

Из дополнительной литературы я узнал, что с ФСУ мы вряд ли когда расстанемся. Мы будем их использовать при решении уравнений, сокращении дробей и различных доказательств. Вот какие они важные и нужные.

 

 

 

 

6. Мои исследования

6.1. Квадрат трёхчлена -a-b-c

 

Доказательство:

(-a-b-c)²=(-a-b-c) x (-a-b-c)=a²+b²+c²+ab+ac+ab+bc+ac+bc=

=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

Таким образом (-a-b-c)²=(a+b+c)²

6.2. Куб трёхчлена -a-b-c

 

 

Доказательство:

(-a-b-c)³ = (-a-b-c)² x (-a-b-c) = (a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc) x

x (-a-b-c) = -a³-ab²-ac²-2a²b-2a²c-2abc-a²b-b³-bc²-2ab²-2abc-

-2b²c-a²c-b²c-c³-2abc-2ac²-2bc² = -a³-b³-c³-3a²b-3ab²-

-3a²c-3ac²-3b²c-3bc²-6abc

Исходя из п.6.1. , можно также записать: (-a-b-c)³=(a+b+c)² x (-a-b-c)

 

 

 

 

 

7. Заключение

Из дополнительной литературы я узнал, что с ФСУ мы вряд ли когда-нибудь расстанемся. Мы будем их использовать при решении уравнений, сокращении дробей и различных доказательств. Вот какие они важные и нужные.

ФСУ позволяют быстро и красиво  решать многие задачи и примеры.

 

           ПОЭТОМУ ИХ НУЖНО ПРОСТО ЗНАТЬ НАИЗУСТЬ!

 

Для лучшего запоминания можно предложить следующие способы:

 

• повесить листок с ФСУ на место, которое попадается нам на глаза чаще всего (на компьютере, на телевизоре, на двери, на потолке над кроватью и т. д.);
• сделать список ФСУ обложкой дневника;
• инсценировать формулы;
• вместо алгебраических символов использовать забавные символы (будет смешно и легко запомнится).

Например:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но работая над рефератом, я  понял, что мало просто знать наизусть формулы сокращенного умножения. Надо еще научиться видеть в конкретном алгебраическом выражении эту формулу.

 

 

 

 

 

 

 

 

8 Список используемой литературы

1. Энциклопедический словарь юного  математика.

    Москва, «Педагогика», 1989г.

 

2. Алгебра, 7 класс.

    Под редакцией С.А.  Телляковского. Москва, «Просвещение», 2009г.

 

3. Статьи интернета. 

    Сайты: Википедия, Общероссийский  образовательный портал «Моя  школа».