Евклідові кільця

Приклади:

1. Будь-яке кільце головних ідеалів, зокрема Евклідове кільце є факторіальним кільцем. Зокрема таким прикладом є кільце цілих чисел.
2. Довільне поле є, очевидно, факторіальним кільцем, оскільки в ньому немає необоротних елементів.
3. Кільце всіх комплексних чисел виду , де a і b — цілі числа не є факторіальним. Наприклад : . Числа 2, 3, , і не є асоційовані і є незвідними.

Означення 2.8. Нехай R — деяке кільце, що не має дільників нуля. Дане кільце називається факторіальним, якщо довільний необоротний елемент a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p₁.p_n (n≥1) причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p₁·...·p_n=q₁·...·q_m, то m=n і після перенумерації маємо, що фактор-кільця R / p_iR і R / q_iR є ізоморфними. [6].

 

2.3. Евклідові кільця. Властивості. Приклади. Взаємозв’язок евклідових кілець з кільцем головних ідеалів та факторіальними кільцями. Алгоритм Евкліда

Означення 2.9. Область цілісності R з одиницею називається евклідовим кільцем, якщо існує відображення φ : R\{0} N, яке задовольняє наступні вимоги:

1) a, bÎR\{0}, ab Þ Nr(a) Nr(b);

2) a, bÎR\{0}, $ q, rÎR: a = bq+r, де Nr(r)< Nr(b)

j(a) – називається евклідовою нормою елемента а.

Властивості норми

1. Якщо a b, то Nr(a) = Nr(b)

Доведення. Нехай a b, тоді a = be, де e – дільник одиниці.

Nr (a) = Nr (be) = Nr (b) · Nr (e)

Оскільки e – дільник одиниці, то Nr (e) = 1 і Nr (a) = Nr (b). Доведено.

2. Nr (a) = Nr (1) тоді і тільки тоді, коли 1 ~ a

Доведення. Þ Нехай 1 ~ a, тоді a = 1·e, де e – дільник одиниці.

Nr (a) = Nr (1·e) = Nr (1) · Nr (e) = Nr (1) · 1 = Nr (1).

Ü Нехай Nr (a) = Nr (1). Тоді Nr (a) = Nr (1) · 1 = Nr (1) · Nr (e) = Nr (1·e),        a = 1· e, тобто 1 ~ a. Доведено.

3. Nr (b) < Nr (a), якщо b – власний дільник а

Доведення. Нехай b – власний дільник а, тоді a = bq.

Nr (a) = Nr (bq) = Nr (b) · Nr (q).

Оскільки Nr (q) ≥ 0, то Nr (b) < Nr (a). Доведено.

Приклад. 1. Покажемо, що кільце (Z;+;·) – евклідове

Справді, покладемо Nr (a) = |a|, aÎZ. Перевіримо умови 1) та 2):

1. Нехай a, bÎZ\{0}, ab, тоді $ qÎZ : a=bq

Nr (a) = |a| = |bq| =|b| |q| = Nr (b) |q| Nr (b);

2. Нехай  a, bÎZ\{0}, тоді $ q, rÎZ: a = bq+r ,  |r|<|b| або r=0,

Nr (r)< Nr (b) або r=0

Отже, умови 1) та 2) виконуються  і нормою буде Nr (a) = |a|.

 

2. Покажемо, що кільце (R [x]; +; ·) – евклідове

Покладемо Nr (f(x)) = deg f(x). Перевіримо умови 1) та 2):

1. Нехай f(x), g(x) – многочлени : f(x) g(x),  deg f(x) deg g(x)
2. Розділимо f(x) на g(x) з остачею f(x) = g(x)q(x) + r(x),                              де deg r(x)< deg g(x) або r(x) = 0

 Nr (r(x)) < Nr (g(x)) або r(x) = 0. Отже, Nr - евклідова норма.

3. Покажемо, що кільце (Z [i];+;·) - евклідове

Кільце Z [i] є областю цілісності. Покажемо, що евклідовою нормою є норма комплексного числа: якщо α = a+bi, то Nr (α)= Nr (a+bi) = a² + b². При цьому  Nr(α) ≥ 0, Nr (α· β)= Nr (α) · Nr (β).

Для перевірки виконання  другої частини означення евклідового  кільця покажемо, що для будь – якого  комплексного числа γ існує таке ціле гауссове число α, що Nr (α – γ) < 1. Справді, цілі гауссові числа на комплексній площині – це точки з цілочисловими координатами. Вони утворюють вузли покриття комплексної площини сіткою квадратів з довжиною сторони 1. Довільному комплексному числу відповідає точка площини, яка попадає в деякий квадрат цієї сітки. Але відстань довільної точки квадрата від найближчої вершини менше 1. Тому для числа γ знайдеться таке число       αÎ Z[i], що | α – γ|< 1. Тоді Nr (α – γ)= | α – γ |²< 1, що й треба було показати.

Нехай α, βÎ Z[i] і β ≠0. Для числа за доведеним існує число δÎ Z[i]таке, що Nr(–δ)< 1. Покладемо ρ = α – β γ. Тоді ρÎ Z[i] і Nr(ρ)= Nr ( α – β γ)= = Nr ( β( – δ)= Nr (β)· Nr ( – δ)< Nr (β).

Отже, α = β· δ + ρ і Nr ( ρ)< Nr (β). Це означає, що кільце Z [i] евклідове.

Приклад 1. Довести, що:

а) будь – яке просте ціле гауссове число є дільником одного і тільки одного простого натурального числа.

Доведення. Нехай z – просте ціле гауссове число, тоді N (z) z, бо N (z) = |z|² = z · . За основною теоремою арифметики натуральних чисел N (z) розкладається в добуток простих натуральних чисел і хоча б одне з них ділиться на z.

Покажемо, що просте гауссове число не може ділити  два різних простих натуральних. Дійсно, нехай  p₁ та p₂ різні прості натуральні числа, що діляться на z. Оскільки (p₁, p₂) = 1, то за теоремою про представлення НСД : α,β Î Z, αp₁ + βp₂ = 1. Отже, p₁ z, p₂ z, αp₁ + βp₂ z і  1 z, що суперечить простоті z, бо z не є дільником 1. Доведено.

б)  норма простого цілого гауссового числа є або простим натуральним числом, квадратом простого натурального числа.

Доведення. Нехай z – просте ціле гауссове число. За вище доведеним воно є дільником простого натурального числа р, тобто р z і р = zq.

Nr (p) = Nr (zq) = Nr (z) · Nr (q)

Оскільки Nr (p) = p² і Nr (z) ≠ 1, бо z – просте і не є дільником одиниці, то Nr (z) · Nr (q) = p² і можливі варіант Nr (z) = Nr (q) = p або Nr (z) = p²,      Nr (q) = 1.

Отже, Nr (z) = p або Nr (z) = p². Доведено.

Приклад 2. Довести, що дані кільця є евклідовими:

а) кільце Z [] з нормою Nr (a + b) = |a² – 2b²|, a, b Î Z

Доведення. Нехай α = a + b, β = c + d, β ≠ 0, α, β Î Z[].

Тоді  = r + s, r, s Î Q. Виберемо m, n Î Z такі, що | r – m| ≤  , | s– n| ≤  . Нехай γ = m +n γÎZ [] і Nr ( – γ) = |( r – m)² – 2(s– n)²| ≤  +2 · = .

Нехай δ = α – βγ, δÎ Z [] і або δ = 0, або Nr (δ) = Nr (β( – γ)) =                  =Nr (β) · Nr ( – γ) ≤ Nr (β) < Nr (β).

Отже, кільце Z [] – евклідове. Доведено.

б) кільце Z [] з нормою Nr (a + b) = |a² – 3b²|, a, b Î Z

Доведення. Нехай α = a + b, β = c + d, β ≠ 0, α, β Î Z[].

Тоді  = r + s, r, s Î Q. Виберемо m, n Î Z такі, що | r – m| ≤  , | s – n| ≤  . Нехай γ = m +n, γÎZ [] і Nr ( – γ) = |( r – m)² – 2(s– n)²| ≤  +3 · =1.

Нехай δ = α – βγ, δÎ Z [] і або δ = 0, або Nr (δ) = Nr (β( – γ)) =                  =Nr (β) · Nr ( – γ) < Nr (β).

Отже, кільце Z [] – евклідове. Доведено.

Приклад 3. Нехай К = a, bÎ Z, a, b однакової парності. Довести, що К – евклідове кільце з нормою Nr (z) = |z|², z Î K.

Доведення. Nr (z) = |z|² = z · = = .

Нехай α = , β = , β ≠ 0, α, β Î K, тоді = , r, s Î Q.

Виберемо m, n Î Z такі, що  | r – m| ≤  , | s – n| ≤  . Нехай γ = .

Тоді γ Î К і Nr ( – γ ) =   ≤  = < 1.

Нехай  δ = α – βγ, δÎ К і або δ = 0, або Nr (δ) = Nr (β( – γ)) =                        = Nr (β) · Nr ( – γ) ≤ Nr (β) < Nr (β).

Отже, кільце К – евклідове. Доведено.

 

 

Теорема 2.9. Кожне евклідове кільце R є кільцем головних ідеалів. [5].

Доведення. Нехай U – довільний ідеал евклідового кільця R. Якщо U – нульовий ідеал, то U= (0). Припустимо, що ідеал U – відмінний від нульового. Тоді в U є елементи, відмінні від нуля. Серед відмінних від нуля елементів ідеалу U, очевидно, є такий елемент a₀, що φ(a₀) φ(a) для будь-якого ненульового елемента аÎU. За означенням евклідового кільця, для будь-якого елемента аÎU в кільці R існують такі елементи q і r, що a=a₀q+r, причому, якщо r¹ 0, то φ(r)<φ(a₀). Але оскільки r=a-a₀qÎU, то можливість r¹0 виключається і тому r=0. Таким чином, a=a₀q і, отже, U є головний ідеал, породжений елементом а₀. Доведено.

Наслідок 1. Будь – яке евклідове кільце факторіальне.

Наслідок 2. Кільця Z, R[x], Z[i] є факторіальними.

В евклідових  кільцях найбільший спільний дільник  можна відшукати за допомогою алгоритму Евкліда. Справді, нехай a₀ і a₁ будь-які відмінні від нуля елементи евклідового кільця R і нехай φ(а₀) ³ φ(а₁). Тоді, за означенням евклідового кільця, в R існують такі елементи q_1, a₂, що а₀ = а₁q₁+а₂, причому або а₂ = 0, або φ(а₁) > φ(а₂). Якщо а₂¹ 0, то в R існують такі елементи q₂ і a₃, що a₁ = a₂q₂ +a₃ причому або а₃ = 0, або φ(а₂)>φ(а₃). Якщо а₃ ¹ 0, то в R існують такі елементи q₃ i a₄, що а₂ =а₃q₃+a₄ і т.д.

Оскільки φ(а₁) > φ(а₂) > φ(а₃) >… > φ(а_s-1) >φ(а_s)>…, то цей процес послідовного ділення не може продовжуватись нескінченно: в противному разі множина цілих невід'ємних чисел φ(а₁) > φ(а₂)>… > φ(а_s) >… не мала б найменшого числа. Отже, через кілька кроків ми дійдемо до ділення з остачею нуль: a_m-1= а_mq_m. Таким чином, ми матимемо рівності

 

Остання рівність означає, що а_m є дільником a_m-1. Оскільки кожен з доданків правої частини передостанньої рівності ділиться на а_m, то і її ліва частина ділиться на а_m, тобто а_m є дільником a_m-2. Аналогічними міркуваннями ми доведемо, що а_m є дільником a_m-3, a_m-4,…, a₄, а₃, a₂, a₁, а₀. Отже, а_m є спільним дільником елементів а_о і а₁.

Покажемо тепер, що а_m ділиться на будь-який спільний дільник елементів а_о і а₁. Нехай b – довільно вибраний спільний дільник a_о і a₁. Тоді з рівності а_о = a₁q₁+q₂ випливає, що a₂ ділиться на b, з рівності а₁ = a₂q₂ + а₃ випливає, що а₃ ділиться на b і т.д. З рівності а_т–2 = a_т–1q_т–1 + a_m випливає, що a_m ділиться на b. Таким чином, елемент а_m є спільним дільником елементів a₀ і a₁ і ділиться на будь-який спільний дільник цих елементів, тобто а_m є найбільшим спільним дільником елементів a₀ i a₁.

 

Приклад.  Знайти НСД та НСК таких цілих гауссових  чисел:

1. 4 + 3i та 3 + i

Знайдемо найбільший спільний дільник цих чисел.

Оскільки  Nr (4 + 3i) > Nr (3 + i), то потрібно виділити цілу частину так, щоб у дробу, який залишається, норма чисельника була строго менша норми знаменника. Отримаємо

=

Nr (1+2i) <  Nr (3+i), то   4 + 3i = (3 + i) · 1 + (1+2i). 

Отже,  1+2i -  перша остача.

Nr (3+i) > Nr (1+2i), маємо :

= = 1– i

Отже, 3+i = (1+2i)(1- i) + 0, тобто друга остача дорівнює нулю.

Згідно з алгоритмом Евкліда, найбільший спільний дільник чисел         4 + 3i та 3 + i дорівнює останній відмінній від нуля остачі в алгоритмі послідовного ділення з остачею, тобто

(4 + 3i, 3 + i) ~ 1+2i

Знайдемо найменше спільне  кратне цих чисел за формулою

[a, b] ~

= = = 7 – i

[4 + 3i, 3 + i] ~ 7 – i

Відповідь: (4 + 3i, 3 + i) ~ 1+2i ;  [4 + 3i, 3 + i] ~ 7 – i.

2. 7 + 3i та 5 + 2i

 Знайдемо найбільший спільний дільник цих чисел.

Nr (7+3i) > Nr (5+2i)

= 1+ , Nr (2+i) < Nr (5+2i), 7+3i = (5+2i) · 1 + (2+i)

Отже, 2+i - перша остача.

Nr (5+2i) > Nr (2+i)

= 2 +, Nr (1) < Nr (2+i)

5+2i = (2+i) · 2 + 1. Отже, 1 – друга остача.

Nr (2+i) > Nr (1),     = 2+i. Отже, третя остача дорівнює нулю.

(7 + 3i, 5 + 2i) ~ 1

Знайдемо найменше спільне  кратне цих чисел за формулою

[a, b] ~

= 29 + 29i

[7 + 3i, 5 + 2i] ~ 29 + 29i

Відповідь : (7 + 3i, 5 + 2i) ~ 1; [7 + 3i, 5 + 2i] ~ 29 + 29i.

 

 

Висновки

Найважливішим типом алгебраїчних структур є кільця. Це поняття володіє  надзвичайно широкою областю  застосувань та слугує предметом  великої самостійної науки –  теорії кілець. Вивчення властивостей саме цієї алгебраїчної структури, опис їх будови і зв’язків з іншими основними математичними об’єктами є одним з найважливіших завдань алгебри на сучасному етапі її розвитку. Важливий клас кілець становлять евклідові кільця.

У даному дослідженні ми вивчили властивості евклідових кілець та їх взаємозв’язок з кільцями головних ідеалів та факторіальними кільцями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаних джерел

1. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. – М.: Высшая школа, 1979: - 562 с.
2. Б.Л. Ван дер Варден Алгебра: Учеб. пособие для педагогических институтов. – Мир, 1976: - 649 с.
3. Завало С. Т. Курс алгебри: Учеб. пособие для студентов, обучающихся по специальности «Математика». – К.: Высшая школа, 1985: - 503 с.
4. Завало  С.Т., Левищенко С.С., Пылаев В.В., Рокицкий И.А. Алгебра і теорія чисел. Практикум. Частина 2. – К.:Высшая школа, 1986. – 264 с.
5. Лиман. Ф. М. Елементи теорії груп, кілець і полів: Навчальний посібник для студентів фізико – математичних факультетів. – Суми: СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2005. – 107с.
6. http://uk.wikipedia.org/wiki/Факторіальне_кільце