Евклідові кільця

 

Міністерство освіти і  науки, молоді та спорту України

Сумський державний педагогічний університет ім. А.С. Макаренка

Кафедра математики

 

КУРСОВА РОБОТА

з алгебри і теоріі чисел

на тему: Евклідові кільця

 

 

 

 

Студентки  III курсу 432 групи

напрямку підготовки 0402

фізико-математичні науки

спеціальність 6.040201 Математика*

Бамбенкової Ю.О.

керівник – кандидат фізико - математичних наук,

доцент Лукашова Т.Д.

 

Національна шкала__________________

Кількість балів______Оцінка:ECTS____

                                      

 Члени комісії    ________________________________________

                                                                     ^{(підпис)                                   (прізвище та ініціали)}

                                                                __________________________________

                                                                     ^{(підпис)                                   (прізвище та ініціали)}

                                                                __________________________________

                                                                     ^{(підпис)                                   (прізвище та ініціали)}

 

 

 

 

 

 

 

 

м. Суми – 2011 р.

ЗМІСТ

ВСТУП3

РОЗДІЛ I. КІЛЬЦЯ5

1. Означення кільця і підкільця. Приклади5
2. Ідеали кілець. Властивості ідеалів. Головні ідеали...7

РОЗДІЛ II. Кільця головних ідеалів та евклідові кільця...................................11

2.1. Подільність в області цілісності11

2.2.Кільце головних ідеалів. Факторіальні кільця..............................…............13

2.3. Евклідові кільця. Властивості.  Приклади. Взаємозв’язок евклідових кілець з кільцями головних ідеалів та факторіальними кільцями. Алгоритм Евкліда…………………………………………....................................................19

ВИСНОВКИ...........................................................................................................26

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ.............................................................27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Актуальність дослідження. Завдання алгебри є вивчення алгебраїчних структур. Безперечно, алгебра вивчає далеко не всі алгебраїчні структури. Можна побудувати чимало прикладів алгебраїчних структур, але в переважній більшості вони не матимуть ніяких застосувань ні в теорії, ні в практиці, а «теорія» таких структур складатиметься з означень і тривіальних наслідків з них. Такі структури, очевидно, не можуть бути об'єктом вивчення.

У процесі розвитку математики виділилася й стала докладно вивчатися  невелика кількість основних типів  алгебраїчних структур, алгебраїчні  операції в яких за своїми властивостями  більш-менш близькі до операцій додавання  і множення чисел. Найважливішими серед  різних алгебраїчних структур є група, кільце, поле, лінійний простір, лінійна  алгебра. Вивчення властивостей саме цих  алгебраїчних структур, опис їх будови і зв'язків між ними й іншими основними математичними об'єктами є одним з найважливіших завдань  алгебри на сучасному етапі її розвитку.

У даній роботі буде детально розглянуто властивості та особливості таких алгебраїчних структур, як кільця. А саме, розглядатимуться кільця, які є евклідовими, тобто кільця, що є областю цілісності з одиницею.

Об’єкт дослідження. Евклідові кільця.

Предмет дослідження. Властивості евклідових кілець, їх взаємозв’язок з кільцями головних ідеалів та факторіальними кільцями.

Мета дослідження. Розглянути кільця, ідеали кілець та евклідові кільця, їх властивості.

Структура роботи. Робота складається з вступу, двох розділів та висновку. У вступі обґрунтовується актуальність, мета та практичне застосування евклідових кілець. У I розділі розглядаються кільця, ідеали кілець та їх властивості. У II розділі розглянуто подільність в області цілісності, евклідові кільця та їх взаємозв’язок з кільцями головних ідеалів та факторіальними кільцями. У висновку зроблено підсумок до курсової роботи.

Практичне значення. Робота буде корисна студентам фізико – математичного факультету, викладачам – у підготовці різних математичних завдань.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 1. Кільця

1. Означення кільця та підкільця. Приклади

Означення 1.1. Непорожня множина K на якій визначено дві бінарні алгебраїчні операції «+» і «·» називається кільцем, якщо виконуються умови:

1. "a, bÎK [a+b=b+a];
2. "a, b, cÎK [(a+b)+c=a+(b+c)];
3. "aÎK $θÎK [a+θ=a];
4. "aÎK $ãÎK [a+ã=θ];
5. "a, b, cÎK [(ab)c=a(bc)];
6. "a, b, cÎK [(a+b) c=ac+bc];
7. "a, b, cÎK [c (a+c)=ca+cb].

Якщо  операція множення комутативна, то кільце називають комутативним. Перші чотири аксіоми означають, що відносно операції додавання кільце утворює адитивну абелеву групу.

Приклади  кілець, що наводяться нижче свідчать про те, що система аксіом кільця несуперечлива.

1. Множина цілих чисел Z є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

Справді, множина Z є абелева група по додаванню, операція множення чисел, як відомо, асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

2) Множина парних чисел утворює комутативне кільце відносно операцій додавання і множення чисел.

Справді, ця множина є абелева група по додаванню, в ній визначена операція множення: добуток парних чисел є парне число, причому операція множення асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

3) Множина R всіх дійсних чисел також є кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

4) Множина K всіх чисел виду , де a і b – будь-які раціональні числа, є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

Справді, які б ми не взяли числа a₁+b₁ і a₂+b₂ з множини K, їх сума (a₁+b₁ )+(a₂+b₂ )=(a₁+a₂)+(b₁+b₂) , добуток (a₁+b₁ ) (a₂+b₂ )= =(a₁a₂+2b₁b₂)+(a₁b₂+b₁a₂) і різниця (a₁+b₁ ) – (a₂+b₂ )=(a₁–a₂)+(b₁–b₂) є числа виду , тобто належать до множини K.

Отже, в множині K визначені операції додавання та множення і здійсненна обернена додаванню операція віднімання. Оскільки операції додавання і множення дійсних чисел асоціативні й комутативні, а елементи множини K є дійсні числа, то операції додавання і множення елементів множини K також асоціативні й комутативні. Отже, множина є комутативне кільце.

Означення 1.2. Підмножина K´ кільця K називається його підкільцем, якщо вона сама утворює кільце відносно визначених в K операцій. [5]

Теорема 1.1. (критерій підкільця). K´ – підкільце кільця K тоді і тільки тоді, коли K´ÌK і "a, bÎK´Þ((a±b)ÎK´ Ù abÎK´).  [5]

Означення 1.3. Характеристикою кільця K з одиницею називають найменше натуральне число n, для якого справджується рівність:

ne=0

Якщо такого натурального n не існує, то говорять, що кільце K має нульову характеристику. [5]

Теорема 1.2. Якщо кільце K має характеристику n, то для будь–якого aÎK справджується рівність: na=0.

Доведення

За умовою ne=0, тоді na = n(ea) = (ne)a=0·a=0. Теорему доведено.

Означення 1.4. Комутативне кільце з одиницею e, в якому немає дільників нуля називається областю цілісності.

 

2. Ідеали кілець. Властивості  ідеалів. Головні ідеали

Нехай К – комутативне кільце з одиницею.

Означення 1.5.. Підкільце I цього кільця називається ідеалом, якщо: "аÎI, "rÎK виконується a·rÎI. [5]

Приклади:

1. Кожне кільце містить підкільце {0}, яке теж буде ідеалом кільця К. Цей ідеал називається нульовим.
2. Z [x] – множина многочленів з цілими коефіцієнтами.

Z [x] не є ідеал кільця R[x].

3. К – ідеал самого себе. Цей ідеал називається одиничним.

Теорема 1.3. (критерій ідеалу). [5]

Непорожня підмножина I комутативного кільця К є ідеалом цього кільця тоді і тільки тоді, коли:

1. "a, bÎ I: (a-b)ÎI;
2. "aÎI, "rÎK: r·aÎI.

Доведення Необхідність умов випливає з означення ідеалу.

Достатність. Нехай виконуються умови 1) та 2) критерію, тоді з умови 2) слідує, що "aÎI, "rÎK: a·rÎI, тобто за критерієм підкільця I – підкільце К.

Умова замкненості елементів з  I на елементи з К закладена в критерії. Отже, I- ідеал К. Доведено.

Зауваження. Якщо кільце К не комутативне, розрізняють:

1. Непорожня підмножина I кільця K називається лівим ідеалом цього кільця, якщо виконуються умови:
1. (a ± b) ÎI, де a, bÎI;
2. aÎI, kÎ K : k·aÎI.
2. Непорожня підмножина I кільця K називається правим ідеалом цього кільця, якщо виконуються умови:

1. (a ± b) ÎI, де a, bÎI;

2. aÎI, kÎ K : a·kÎI.
3. Підмножина I кільця K, яка одночасно є лівим і правим ідеалом, називається двостороннім ідеалом. [3]

Означення 1.6. Перетином ідеалів та кільця К, називається ідеал I = , що складається з елементів, які належать та одночасно. [3].

Означення 1.7. Сумою ідеалів I₁, I₂ кільця K називається множина I₁+I₂, яка визначається рівністю

I = I₁+I₂ = {a+bï aÎI₁, bÎI₂}. [3].

Означення 1.8. Добутком ідеалів I₁, I₂ кільця K називається множина I₁·I₂, яка визначається рівністю

I = I₁·I₂ = {a·bï aÎI₁, bÎI₂}. [3].

Теорема 1.4.Перетин, сума та добуток ідеалів – ідеал кільця. Об’єднання ідеалів в загальному випадку ідеалом не є. [3].

Доведення  1) Нехай aÎ, bÎ Þ a·bÎ та a·bÎ.

Так, як I₁ та I₂ – ідеали, то (a–b)ÎI₁, (a–b)ÎI₂ Þ (a–b)ÎI₁ÇI₂.

aÎI₁ÇI₂ Þ aÎI₁, aÎI₂.

rÎK Þ r·aÎI₁, r·aÎI₂, r·aÎI₁ÇI₂.

Отже, I₁ÇI₂ÎK.

2) Нехай (a₁+b₁) ÎI₂  , (a₂+b₂ ) ÎI₂     Þ    (a₁+b₁) + (a₂+b₂ ) = (a₁+ a₂) + +(b₁+ b₂) ÎI₂

a₁+ a₂Î,  b₁+ b₂ÎI₂, і елемент (a+b) = (–a) + (–b), протилежний довільно вибраному елементу (a+b) ÎI₂, також належить до I₂, бо (–a) Î,   (–b) ÎI₂.

Отже, I₂ ) є підгрупа адитивної групи кільця К. Крім того, для будь – яких елементів a+bÎ(I₂) і хÎK: x(a+b)=xa+xbÎI₂ і                  (a+b) x=ax+bxÎa+b.

3. Нехай a_ib_iÎ (I₂), a_jb_jÎ (I₂).

Справді, сума + будь-яких двох елементів множини (I₂) є, очевидно елемент цієї самої множини, і елемент , протилежний довільно вибраному елементу       Î (I₂), належить до (I₂). Крім того, для будь-яких    

Î(I₂) і xÎK Î (I₂) та Î (I₂). Теорему доведено.

Теорема 1.5. Об’єднання зростаючого ланцюга ідеалів I₁ÌI₂Ì…ÌI_nÌ… кільця К є ідеалом цього кільця. [5].

 Доведення. Позначимо   = I. Тоді для будь – яких елементів x,y ÎI можна вказати такий номер m, що x,y ÎI_m. Тому (x – y) ÎI_m і (ax) ÎI_m для будь – якого елемента aÎК. Звідси (x – y) Î I, (ax) Î I. Теорему доведено.

Означення 1.9. Ідеал I=(a)={r·a|rÎK} називається головним ідеалом кільця К. Всі його елементи є «кратними» твірного елемента а. [5].

Позначається (а)=аК=Ка

Приклади: 1) в Z:

(3) = {3r|rÎZ} = 3z;

(0) = {0r|rÎZ} = {0}

2) в Z [x] – многочленів з цілимими коефіцієнтами

(2) = {2f(x)|f(x) ÎZ [x]} – множина многочленів з парними коефіцієнтами

Означення 1.10. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо кожен з них є дільником іншого: a b і b a,  тобто

а = bс, b= аd. (1)

З рівностей (1) випливає, що а = а (сd). Звідси, скоротивши обидві частини  рівності на а≠0, дістаємо сd = 1. Отже, с  і d є дільники одиниці. Таким чином, якщо а і b – асоційовані елементи, то b = аε, де ε – деякий дільник одиниці. З другого боку, який би ми не взяли дільник одиниці ε, елементи а і аε асоційовані між собою, оскільки а = (аε) ε^-1.

Теорема 1.6. Якщо а і b – асоційовані елементи, тобто а = bс і b = аd, то (I₁) Í (I₂) і (I₂) Í (I₁) і, отже, (I₁) = (I₂).

Таким чином, два асоційовані  елементи а і b породжують той самий  головний ідеал.

Доведення. Необхідність. Нехай ідеали збігаються (I₁) = (I₂), тоді aÎ(I₂),    bÎ( I₁). Оскільки ідеал I₂ складений з елемента b = {b·r| rÎK}Þ a=b·r, rÎK тоді і тільки тоді, коли а b.