Дискретное преобразование фурье

       К сожалению, пик не является единственным ненулевым коэффициентом Фурье. Рядом с ним есть множество меньших, но не нулевых величин. Если при целочисленном m можно наблюдать единственную полоску, то при нецелом эта полоска размазывается.

         
Рисунок 1.8 - Пример эффекта размазывания

       На  рисунке 1.8 приведена практическая ситуация. Это - ДПФ для звука, содержащегося в обычном WAV-файле. Черный цвет соответствует |X_k|, а серый - (фазе коэффициента). Исходный сигнал содержал ноту "ля" второй октавы с частотой 440 гц и фазой в 90 градусов. ДПФ было выполнено для N = 1000. Однако частота дискретизации звука в WAV-файле составляла 44100 Гц, так что период дискретизации был равен T = 1000/44100 секунд и , то есть, не целое. В результате ярко выраженный пик окружают дополнительные ненулевые значения.

       Этот  эффект будем называть эффектом размазывания. Он определяет погрешность, с которой можно найти период исходного колебания. Погрешность равна . При достаточно большом отклонении от целого m эффект может быть очень заметен. Например, ниже вы видите ДПФ для сигнала, соответствующего ноте "ля-бемоль":

         
Рисунок 1.9 – Пример эффекта размазывания для сигнала, соответствующего ноте «ля-бемоль»

       Точнее  можно попытаться определить параметры  m, A и φ численными методами.  

       1.3.1 Исправление эффекта размазывания 

       Для поиска φ следует учесть, что изменение A не повлияет на комплексную фазу (аргумент) коэффициентов X_k. В самом деле, мы можем представить коэффициенты в виде:

       

,

где - комплексное число, не зависящее от действительного числа A, но зависящее от m и φ. Фаза коэффициента:

       

как видите, также не зависит от A.

       Не зависит от A и отношение коэффициентов .

       Это значит, что у нас есть две целевые  функции, с помощью которых мы можем найти частоту  и фазу φ. Возьмем X_k, максимальное по модулю. Если соседние отсчеты и равны нулю, то у нас нет эффекта размазывания, и параметры восстанавливаются при помощи алгоритма указанного для устранения зеркального эффекта. На самом деле нам придется сравнивать не с нулем, а с некоторым малым числом, поскольку некоторая погрешность при вычислении ДПФ неизбежна.

       Теперь, когда мы убедились в наличии  эффекта размазывания, попробуем  найти m и φ, после чего восстановим A по формуле:

       

.

       Для нахождения m и φ нужно численно решить задачу поиска минимума функции. Для этого найдем два максимальных отсчета и . Теперь мы знаем, что искомое m лежит на интервале . Отношение сильно зависит от m, гораздо слабее зависит от φ, но не зависит от A. Следовательно, m можно найти методом последовательных приближений, которое дает наилучшее приближение для .

       В свою очередь φ сильно влияет на . Так что φ будем восстанавливать, добиваясь наилучшего приближения для и/или .

       Неплохие  результаты дает метод последовательных приближений путем деления отрезка пополам. При этом попеременно выполняются приближения то для m, то для φ.  
 

       2 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДПФ 

       С развитием информационного общества ДПФ стало использоваться для  увеличения скорости, улучшении качества обработки сигналов, создании аналоговых и цифровых фильтров, оценивания искажений сигналов в ходе их преобразования, например усиления реальными усилителями. В данное время ДПФ применяют в различных областях науки и техники: спектральный анализ, фильтрация и цифровая обработка сигналов, оптика когерентного излучения, прогнозирование динамики курса валют, обработка данных о вегетативной регуляции сердечного ритма и многое другое.

       В данной главе рассмотрено несколько примеров использования ДПФ, так же пример применения ДПФ приведен в Приложении Б. 

       2.1 Использование ДПФ в компьютерной оптике 

       Термин "компьютерная оптика" является относительно новым, и не приобрел еще строгого определения. Разные авторы очень часто вкладывают в него различное содержание. Можно сказать, что в самом широком смысле слова "компьютерная оптика" - это компьютеры в оптике и оптика в компьютерах. Сюда относятся численные решения задач дифракции и фокусировки излучения, автоматизированное проектирование и гибкое автоматизированное производство оптических систем, обработка изображений, оптический вычислительный эксперимент, оптические процессоры и запоминающие устройства, цифровая голография.

       Очень часто формулировка предмета компьютерной оптики как научного направления  сужается и в нее вкладывается более конкретный смысл. При этом считается, что компьютерная оптика - это получение на основе применения ЭВМ оптических элементов, осуществляющих требуемое преобразование волновых полей.

       Компьютерная  оптика возникла на стыке физической оптики и информатики и стала  формироваться как новое научное  направление, объединяющее теорию, методы и технические средства обработки оптических сигналов с использованием ЭВМ, и отражающее тот факт, что современная оптика и оптические приборы становятся все в большей степени цифровыми.

       Какие качественно новые свойства придают  компьютеры оптическим системам? Главных  свойств два. Во-первых, это способность к адаптации и гибкость в перенастройке. Благодаря тому, что компьютер способен перестраивать структуру обработки сигнала без перестройки своей физической структуры, он является идеальным средством адаптивной обработки оптических сигналов и быстрой перестройки ее на решение разных задач. Здесь речь идет, прежде всего, об информационной адаптации.  Заметим, что эта способность ЭВМ к адаптации и перестройке нашла также применение в активной и адаптивной оптике для управления световыми пучками как переносчиками энергии.

       Во-вторых, это простота и естественность получения  и переработки количественной информации, содержащейся в оптических сигналах, соединение оптических систем с другими  информационными системами. Цифровой сигнал, представляющий в компьютере оптический сигнал,- это переносимая оптическим сигналом информация, так сказать, в чистом виде, лишенная своей физической оболочки.

       Благодаря универсальному характеру цифровой сигнал представляет собой идеальное  средство объединения различных информационных систем. Теоретической базой компьютерной оптики являются теории информации, цифровой обработки сигналов, статистических решений, систем и преобразований в оптике.

       В компьютерной оптике можно выделить следующие основные направления [14]:

• цифровая голография;
• решение обратных задач теории дифракции и создание на их основе фокусаторов и корректоров излучения;
• создание оптических элементов для анализа и формирования поперечно-модового состава излучения;
• создание корректоров волновых фронтов и пространственных фильтров для оптических систем обработки информации и оптико-цифровых процессоров;
• цифровая обработка полей в оптических системах.

       Из  вышеуказанных направлений мы охарактеризуем только цифровую голографию, так как именно в ней удачно применяется ДПФ.

        

       2.1.1 Цифровая голография 

       Цифровой  голографией называется метод получения  и восстановления голограмм, при  котором основная роль отводится  компьютеру. Роль компьютера заключается  в расчете распределения коэффициента прозрачности или преломления по полю голограммы, которое затем записывается в оптической запоминающей среде. С помощью компьютера рассчитывается и восстанавливается изображение, которое записано на такой синтезированной голограмме и которое можно было бы получить оптическим путем.

       Имеется ряд веских оснований для такого синтеза голограмм и, в частности, то обстоятельство, что геометрические размеры голографического объекта  в этом случае не ограничиваются такими факторами, как когерентность освещения, вибрация или турбулентность воздуха, и появляется возможность исследовать путем моделирования некоторые голографические эффекты.

       Еще более существенным моментом, стимулирующим  синтезирование голограмм с помощью  компьютеров, является возможность  создать оптический волновой фронт для такого объекта, который физически не существует. Потребность в формировании волнового фронта, соответствующего объекту, определяемому расчетным путем, возникает в любом случае, когда требуется визуально отобразить в трех измерениях результаты того или иного трехмерного исследования, например, при моделировании разрабатываемых конструкций. Иногда волновой фронт от синтезированной голограммы может служить интерференционным эталоном для контроля сложной оптической поверхности в процессе ее обработки. Другая область применения таких голограмм связана с экспериментами по пространственной фильтрации. В некоторых случаях изготовить фильтр с заданной функцией оптическими методами бывает затруднительно, в то же время компьютер решает подобные задачи сравнительно легко.  

       2.1.2 Получение цифровой голограммы Фурье и ее бинаризация 

       Рассмотрим  более подробно процедуру получения  цифровой голограммы. Сделаем это  на примере голограммы Фурье. Как и всякие другие цифровые модели, цифровые модели голограмм воспроизводят процесс лишь приближенно, однако наиболее существенные свойства, подлежащие исследованию, представляются четко выделенными, в явном виде, что часто нельзя сделать в реальном процессе. Одно из основных приближений связано с переходом от непрерывных величин к дискретным, с которыми работает ЭВМ. Этот переход, уменьшая точность результатов, в то же время не вносит принципиальных изменений в процесс, так как с уменьшением шага дискретизации модель все более приближается к непрерывной. Степень такого приближения ограничена лишь возможностями ЭВМ. Кроме того, есть разумный предел плотности дискретизации, определяемый разрешающей способностью оптических элементов и фотоматериалов, участвующих в голографическом процессе. Этот предел для функций с ограниченным спектром определяется теоремой Котельникова (если функция имеет спектр, ограниченный частотой , то она может быть представлена с большой точностью в точках , отстоящих одна от другой на расстоянии  ). Теорема Котельникова легко распространяется на двумерные функции. В этом случае отсчеты берут в узлах прямоугольной сетки с размерами ячеек

        .

       Итак, переходя к цифровому моделированию  голографического процесса, заменим части плоскостей П и Г, ограниченные прямоугольными апертурами, сетками. В узлах этих сеток зададим отсчеты поля. Эти сетки в плоскости предметов обозначим , а в плоскости голограммы - . Для удобства последующих преобразований расположение сеток в плоскостях П и Г выберем таким, как показано на рисунке 2.1. Правомерность такого выбора будет видна из дальнейшего. Чтобы параметры сеток отвечали теореме Котельникова, необходимо выполнение следующих соотношений:  

       

       Рисунок 2.1 – Расположение сеток

       

              (2.1)

       При этом суммарное число узлов сетки равно MN. Перейдем в плоскости П к новым координатам. Приняв размеры сетки , получаем:

       

.      (2.2)

       Следовательно, координаты узлов сетки  выразятся так:

       

                  (2.3)

       Число узлов сетки  выбирают так, чтобы было обеспечено взаимно однозначное соответствие между изображениями, заданными на и его дискретным преобразованием Фурье, заданным на . Это число узлов также оказывается равным MN. Последнее определено тем, что в системе, состоящей из MN точек, полной является система тригонометрических функций с частотами

       

        (2.4)

       Соотношения между размерами сеток  и получим из (2.1) с учетом того, что  и  .

       

      (2.5)

       Выбор сеток в плоскостях П и Г означает, что все непрерывные функции в этих плоскостях могут быть представлены своими дискретными значениями в узлах сетки. Эти значения теперь являются функциями номеров узлов, т.е. m и n в плоскости П, p и q в плоскости Г. Для отличия от непрерывных величин аргументы дискретных величин будем обозначать индексами, например , вместо , вместо . Установим соответствие между основными физическими величинами, рассмотренными ранее, и их цифровыми моделями.

         Поле в плоскости П представим так: