Дискретное преобразование фурье

r">                                                  

       

       Мы  видим, что сумма (1.11) представляет собой сумму из N гармонических колебаний разной частоты, фазы и амплитуды:

       

           (1.12)

       Далее будем функцию

       

                (1.13)

       называть  k-й гармоникой.

       Амплитуда, фаза, частота и период каждой из гармоник связаны с коэффициентами X_k формулами:

       

                     (1.14)

       Таким образом, физический смысл дискретного преобразования Фурье состоит в том, чтобы представить некоторый дискретный сигнал в виде суммы гармоник. Параметры каждой гармоники вычисляются прямым преобразованием, а сумма гармоник – обратным. А для осуществления данных преобразований используется БПФ. 

       1.2 Зеркальный эффект 

       Предположим, что исходный сигнал состоял из суммы  гармоник. . Пусть мы этот сигнал подвергли дискретизации, выполнили над ним прямое и обратное преобразование Фурье. Представили в виде суммы гармоник , как это описано выше. Спрашивается, эти гармоники - те же самые, что и исходные гармоники или нет? Оказывается, нет, не те. Но кое-какую информацию об исходных гармониках все же можно попытаться восстановить.

       Эта задача имеет практический интерес. Пусть нам дан некий сигнал, который физически получился  как сумма гармонических колебаний (или близких к ним). Простейший пример: кто-то сыграл аккорд, аккорд записан  как звуковое колебание в виде mp3 или wav-файла; и надо восстановить, из каких нот аккорд состоял. Или другой случай. Во время испытаний самолета возник флаттер (разрушительные нарастающие колебания), самолет разбился, но самописцы в черном ящике записали изменение перегрузки (суммарное механическое колебание). Надо посмотреть, из каких гармоник состояло это колебание. Каждой гармонике соответствует некоторая часть конструкции. В результате можно понять, какие части самолета колебались сильнее всего и вызвали флаттер.

       Вернемся  к предыдущей ситуации.

       Дана  функция  отрезке .

       Выполнена ее дискретизация, для чего отрезок разбит на N равных частей в точках и вычислены значения функции в этих точках: .

       Пусть выполнено прямое ДПФ и функция разложена на сумму из N гармоник:

       

       Теперь  предположим, что наша исходная функция  сама представляла собой такую гармонику:

       

.

       Получится ли в результате ее преобразования последовательность {X}, в которой все элементы равны нулю, кроме элемента , который дает как раз эту гармонику?

       

, ,

       Как указывалось ранее – нет. Вместо этой одной гармоники мы получим две:

       

       

       Как видно из формул у них половинные амплитуды, противоположные фазы и частоты, зеркально симметрично расположенными на отрезке [0, N]. Это и есть тот самый зеркальный эффект.

       1.2.1 Неоднозначность представления суммой гармоник

 

       Преобразуем сумму этих гармоник по формуле суммы  косинусов:

       

       Итого:

       

               (1.15)

       А нам требовалось:

       

                   (1.16)

       Однако, формулы (1.15) и (1.16) дают один и тот же результат в точках . В самом деле, подставим сначала в (1.15):

         

       Учитывая, что для целого n выполняется и , получаем:

         (1.17)

       Теперь  подставим в (1.16):

       

               (1.18)

       Формулы (1.17) и (1.18) совпадают, что и требовалось доказать.

       Из  этого примера следует важный вывод. Заданная дискретная последовательность {x_n} может быть разложена в общем случае на разные суммы гармоник . Даже в элементарном случае, когда исходная функция представляла собой одну гармонику, в результате можно получить две. То есть, разложение дискретной последовательности на гармоники неоднозначно.

       Этим  эффектом мы обязаны именно дискретизации. Дело в том, что если вместо ДПФ  использовать его непрерывный аналог - разложение в ряд Фурье непрерывной функции или непрерывное преобразование Фурье f(t), то мы получим единственную правильную гармонику . Если же мы применяем ДПФ, то получим сумму гармоник, которая только в точках дискретизации совпадает с исходной функцией (рис. 1.5).

       

       Рисунок 1.5 - Зеркальный эффект ДПФ функции для и

       На  рисунке 1.5 в точках дискретизации, отмеченных вертикальными штрихами, сумма гармоник и совпадает с гармоникой .

       Заметим также, что тот же результат преобразования получился бы, если бы мы в качестве исходной функции  взяли или . Это следует из того, что в результате дискретизации была бы получена та же последовательность {x_n} и результаты ДПФ, естественно, дали бы то же самое.  

       Итак, мы имеем правило:

       Разложение  на гармоники, когда исходные данные представлены дискретным набором точек {x_n} является принципиально неоднозначным. Функции

       

,

       

,

       

         дают после дискретизации одни и те же исходные данные и те же результаты ДПФ.

             На основе доказательства зеркального эффекта (Приложение А) получим формулу для X_k (k – того элемента последовательности ):

       Для и для :

       

       Для :

       

       Для :

       

       Для остальных k:

       

    (1.19) 

       Вывод:

       Зеркальный  эффект всегда проявляется  так, что гармонические  колебания:

       

,  
и  

       в процессе дискретного  преобразования Фурье  представляются как  сумма колебаний 

       

.

       При этом все коэффициенты ДПФ равны нулю за исключением 

       

       и

       

       кроме частных случаев  и , в которых единственный ненулевой коэффициент:

       

       В этом последнем частном случае зеркальный эффект выглядит несколько иначе: у  исходного гармонического колебания  теряется фаза и искажается амплитуда. Лишь частота сохраняется прежней.

       1.2.2 Исправление зеркального эффекта

 

       Зеркальный эффект в подавляющем большинстве случаев искажает исходную картину, поскольку в действительности очень редко на вход подается сумма двух гармонических сигналов именно с таким соотношением частот: и . В результате исходный спектр (графическое изображение сигнала) искажается, словно отражаясь в зеркале:

       

       Рисунок 1.6 - Зеркальный эффект

       На  рисунке 1.6 сверху показан ожидаемый спектр сигнала, полученный с помощью непрерывного преобразования Фурье, а снизу - полученный на компьютере с помощью дискретного преобразования Фурье. Нижний спектр искажен зеркальным эффектом.

       Пусть мы обнаружили ненулевой коэффициент  X_m. Выдвинем гипотезу, что этот коэффициент соответствует исходному гармоническому колебанию. Восстановим его амплитуду, фазу и частоту.

       

       

.

       Частота восстанавливается проще всего: ν = m/T, где m - индекс найденного ненулевого элемента X_m. Амплитуда и фаза восстанавливаются по формуле (1.14):

       

       Известно  свойство преобразований Фурье: они  линейны. То есть, чтобы получить преобразование для суммы функций, можно сделать  преобразование для каждой функции  и потом их сложить. Проще говоря, сложения и вычитание исходной функции соответствует сложению и вычитанию результатов прямого ДПФ, и сложению и вычитанию результатов обратного ДПФ.

       Поэтому, не теряя полезной информации, мы можем  вычесть из ДПФ коэффициенты, соответствующие  найденной гармонике: и   . Для этого мы обнуляем X_m, а над коэффициентом X_{N - m} выполняем действия:

         

         

       Полученный  ДПФ можно подвергнуть дальнейшему  анализу. В результате таких действий будет выделен набор гармоник, причем при таком выборе гармоники низкой частоты считаются более предпочтительными. 
 
 
 

       1.3 Эффект размазывания 

       Выше мы рассматривали ситуацию, когда период колебания равнялся целому числу m от периода дискретизации . Теперь рассмотрим ситуацию, когда это не так. Положим, что частота равна не m, а , где . Воспользуемся формулой помеченной словами «для остальных k»  в приложении  А, поскольку условия , , , для нецелого не выполняются:

       

        Подставим в  эту формулу  вместо m и выполним упрощения, воспользовавшись формулой (А.1) и введя обозначение .  

       Итого:

       

             (1.19)

        Теперь построим график функции, чтобы понять, как она себя ведет. На рисунке 1.7 показана трехмерная поверхность. По горизонтальной оси отложено k, по вертикальной |X_k| и по оси, уходящей вглубь плоскости, отложено q от 0.01 до 0.99.

       Рисунок 1.7 – Эффект размазывания    

       На  рисунке 1.7 видно два ярко выраженных ребра. Первое из них всегда приходится на и . Второе ребро получается в результате зеркального эффекта. Высота пика наименьшая в окрестности . А наибольшая в окрестности и , то есть при целочисленном m.