Детерминированный хаос

т. е. элементарный объем  сжимается экспоненциально во времени

        (26)

Если рассматривать траекторию, порождаемую уравнениями модели Лоренца при r = 28, σ = 10, b = 8/3 (рис.4), оказывается, что а) она притягивается к ограниченной области в фазовом пространстве; б) движение ее блуждающее, т. е. траектория делает один виток вправо, затем несколько витков налево, затем направо и т.д.; в) траектория очень чувствительна к малым изменениям начальных условий, т. е. если вместо условий (0; 0,01; 0) взять близкие условия, то новое решение вскоре отклонится от прежнего и число витков будет другим.

Рис. 4. Аттрактор Лоренца, вычисленный на ЭВМ

На рис. 5 представлен график зависимости n-го максимума M_n переменной Z от M_n+1. Результирующее отображение является приблизительно треугольным, что соответствует хаотической последовательности M_n.

Рис. 5. Последовательные максимумы переменной Z аттрактора Лоренца

Подведем итог: траектория чувствительна к изменениям начальных условий; хаотична; притягивается к ограниченной области в фазовом пространстве; объем этой области (согласно 25) стремится к нулю. Это означает что поток трехмерной системы Лоренца порождает множество точек, размерность которого меньше 3, т. е. его объем в трехмерном пространстве равен 0. На первый взгляд можно было бы присвоить ему следующую целую, но меньшую размерность – 2. Однако это противоречит теореме Пуанкаре – Бендикссона, утверждающей, что в ограниченной области двумерного пространства хаотический поток не может существовать. Сошлемся, например, на строгое доказательство этой теоремы в монографии (Hirsch, Smale, 1965). Рис. 6 показывает, что непрерывность линий тока и тот факт, что линия тока делит плоскость на 2 части, ограничивают траекторию так сильно, что единственно возможными аттракторами в ограниченной области являются предельные циклы и неподвижные точки.

Рис. 6. Самозахват линии тока в ограниченной области на плоскости. Экспоненциальное разбегание траекторий противоречит непрерывности (отметим противоположные направления стрелок).

Разрешение этой проблемы заключается в том, что множество  точек, к которому притягивается  траектория в системе Лоренца (так  называемый аттрактор Лоренца), имеет  размерность не целую, а между 2 и 3 (точное значение D = 2,06). Это естественно приводит к понятию странного аттрактора, который появляется в разнообразных физических нелинейных системах.

Странный  аттрактор является основной концепцией теории хаоса и обладает следующими свойствами:

а) он является аттрактором, т. е. занимает ограниченную область фазового пространства {x}, к которой по истечении большого интервала времени притягиваются все достаточно близкие траектории из так называемой области притяжения. Отметим, что область притяжения может иметь очень сложную структуру. Кроме того, сам аттрактор состоит как бы из одной траектории, т. е. траектория с течением времени должна пройти через каждую точку аттрактора. Набор изолированных неподвижных точек не является единым аттрактором;

б) свойство, делающее аттрактор  странным, – чувствительность к  начальным условиям, т. е., несмотря на сжатие в объеме, не происходит сокращения длин во всех направлениях и расстояния между первоначально сколь угодно близкими точками на аттракторе через  достаточно большое время становится конечным. Это приводит к колмагоровской энтропии.

в) чтобы описывать физическую систему, аттрактор должен быть структурно устойчивым и типичным. Другими словами, малые изменения параметров меняют структуру аттрактора непрерывным  образом и множество этих параметров не должно быть множеством меры 0 –  иначе аттрактор не является типичным и физически значимым.

Все обнаруженные к настоящему времени странные аттракторы имеют  дробную хаусдорфову размерность. Так как не существует общепринятого формального определения странного аттрактора, пока не ясно, всегда ли дробность хаусдорфовой размерности следует из свойств «а» – «в» или необходима дополнительно для странного аттрактора.

Обычно странный аттрактор  возникает, когда фазовый поток  сжимает элементарный объем в  одних направлениях и растягивает  его в других. Чтобы оставаться в ограниченной области, элементарный объем одновременно складывается. Этот процесс растяжения и складывания  порождает хаотическое движение траектории на странном аттракторе.

Теперь поговорим, об уже  упомянутой в свойстве «б» энтропии Колмогорова.

 

 

 

 

 

 

 

Энтропия Колмогорова

Энтропия Колмогорова (Колмогоров, 1954) – важнейшая характеристика хаотического движения в фазовом  пространстве произвольной размерности.

Энтропию Колмогорова К, показывающую, «насколько динамическая система хаотична», можно определить формулой Шеннона, так что К пропорциональная информации о состоянии динамической системы с течением времени.

К можно вычислить следующим образом (Farmer, 1982 а, б). Рассмотрим траекторию x(t) = [x₁(t), …, x_d(t)] динамической системы на странном аттракторе и предположим, что d-мерное фазовое пространство разделено на ячейки размера l^d. Состояние системы будем измерять через интервалы времени τ. Пусть – совместная вероятность того, x(t = 0) находится в ячейке i₀, x(t = τ) – в ячейке i₁, x(t + nτ) – в ячейке i_n. По Шеннону, величина

       (27)

пропорциональная информации, необходимой для определения местоположения системы на заданной траектории i₁^*… i_n^* с точностью l (если априори известны только вероятности ). Поэтому есть дополнительная информация, необходимая для предсказания, в какой ячейке i_n+1^* будет система, если известно, что прежде она находилась в i₁^*… i_n^*. Это означает, что описывает потерю информации о системе на интервале времени от n до n+1.

К-энтропия определяется как средняя скорость потери информации:

    (28)

Предел  (который берется после ) делает величину К независимой от частного вида разбиения.

Регулярное движение
	Первоначально близкие точки  остаются близкими
Хаотическое движение
	Первоначально близкие точки  расходятся экспоненциально
Случайное движение
	Первоначально близкие точки  распределяются с равной вероятностью по всем возможным интервалам

Табл. 1. К-энтропия для (одномерных) регулярного, хаотического и случайного движений

Из табл. 1 видно, что К – действительно пригодная мера хаоса: она равна нулю для регулярного движения, бесконечна для случайных систем, положительна и постоянна для систем с детерминированным хаосом.

 

 

 

 

Сценарии перехода от порядка к  хаосу

К настоящему времени известны по крайней мере три сценария, или пути, в соответствии с которыми нелинейные системы могут стать хаотическими при изменении управляющего параметра. Интересно, что все эти пути могут быть реализованы экспериментально; при этом обнаруживается их удивительное универсальное поведение, напоминающее универсальность, найденную в равновесных фазовых переходах второго рода. Отметим, что переход к хаосу в диссипативных системах (а именно такие системы мы рассматривали) происходит только при внешнем возбуждении, т. е. когда система открыта. В этом смысле универсальность означает, что существуют такие основные свойства системы (например, критические показатели вблизи перехода к хаосу), которые зависят только от глобальных свойств системы (например, от размерности).

Совсем недавно один из таких путей к хаосу был  открыт в работах (Grossmann, Thomae, 1977; Feigenbaum, 1978; Coullet, Tresser, 1978). Рассматривалось простое разностное уравнение, используемое, например, для описания зависимости от времени биологической популяции. Обнаружено, что популяция колеблется между устойчивыми величинами (неподвижными точками), число которых удваивается при определенных значениях внешнего параметра. Это продолжается, пока число неподвижных точек не станет бесконечным при конечном значении параметра, при этом изменение популяции во времени становится нерегулярным. Как показал Фейгенбаум (и это было основным достижением), эти результаты не ограничены данной моделью, а являются действительно универсальными и справедливы для большого числа физических, химических и биологических систем. Это открытие вызвало взрыв теоретической и экспериментальной активности. Универсальные свойства этого перехода можно вычислить, используя метод функциональных ренормгрупп.

Другой переход к хаосу, так называемая перемежаемость, был открыт в работе (Mannevile, Pomeau, 1979). Перемежаемость означает, что сигнал, развивающийся во времени регулярно (или ламинарно), прерывается статически распределенными промежутками нерегулярного движения (перемежающимися всплесками). При измерении внешнего управляющего параметра среднее число этих всплесков нарастает до тех пор, пока движение не становится хаотическим. Этот переход также обладает универсальными свойствами и является универсальным механизмом генерации фликкер-шума в нелинейных системах.

Третья возможность была открыта в работах (Ruelle, Takens, 1971; Newhouse et al., 1978). В 70-х годах они предложили модель перехода к турбулентному движению, отличающуюся от предложенной много ранее модели (Ландау, 1944, 1986). Ландау рассматривал турбулентность как предел бесконечной последовательности неустойчивостей (бифуркаций Хопфа), каждая из которых порождает новую основную частоту. Однако Рюэль. Такенс и Ньюхауз показали, что уже после двух неустойчивостей на третьем шаге траектория начинает притягиваться к ограниченной области фазового пространства, в которой первоначально близкие траектории экспоненциально расходятся, так что движение становится хаотическим. Эти особые области, как мы уже говорили, называются странными аттракторами.

По Фейгенбауму	По Манневилю – Помо	По Рюэлю – Такенсу – Нюхаузу
Бифуркация удвоения	Касательная бифуркация	Бифуркация Хопфа
Бифуркационные диаграммы (s – устойч., u – неустойч)
Основные явления
Бесконечный каскад удвоений периода с универсальным скейлингом	Переход к хаосу через  перемежаемость. Длительность ламинарной фазы (r – rc)-1/2	После трех бифуркаций «возможно» появление странного аттрактора
Эскпериментальные наблюдения
Эксперимент Бенара Эксперимент Тейлора Нелинейный осцилятор с возбуждением Химические реакции Неустойчивость в оптике	Эксперимент Бенара Контакт Джозефсона Химические реакции Лазеры	Эксперимент Бенара Эксперимент Тейлора Нелинейные проводники

 

Табл. 2. Перечень основных путей  перехода к хаосу

В табл. 2 объединены три различных  перехода к хаосу, которые мы до сих  пор обсуждали. Однако эту таблицу  можно считать лишь первым приближением к истинному разнообразию сценариев  перехода.

В заключении поговорим о  применении теории хаоса на практике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложения теории хаоса

К экологии и биологии

Хаос имеет место также  в биологии и экологии. В конце 19 в. было установлено, что популяции  животных редко бывают стабильными; им свойственны нерегулярно чередующиеся периоды быстрого роста и почти  полного вымирания. Теория хаоса  показывает, что простые законы изменения  численности популяций могут  объяснить эти флуктуации без  введения случайных внешних воздействий. Теория хаоса также объясняет  динамику эпидемий, т.е. флуктуирующих  популяций микроорганизмов в  организмах людей.

К анализу турбулентности

Теория хаоса находит  приложения в широком спектре  наук. Одним из самых ранних стало  ее применение к анализу турбулентности в жидкости. Движение жидкости бывает либо ламинарным (гладким и регулярным), либо турбулентным (сложным и нерегулярным). До появления теории хаоса существовали две конкурирующие теории турбулентности. Первая из них представляла турбулентность как накопление все новых и  новых периодических движений; вторая объясняла неприменимость стандартной  физической модели невозможностью описания жидкости как сплошной среды в  молекулярных масштабах. В 1970 математики Д.Рюэль и Ф.Такенс предложили третью версию: турбулентность – это хаос в жидкости. Их предположение поначалу считалось весьма спорным, но с тех пор оно было подтверждено для нескольких случаев, в частности, для ранних стадий развития турбулентности в течении между двумя вращающимися цилиндрами. Развитая турбулентность по-прежнему остается загадочным явлением, но хаоса вряд ли удается избежать в любом возможном ее объяснении.

К предсказаниям поведения Солнечной системы

Движение в Солнечной  системе тоже, как известно, хаотично, но здесь требуются десятки миллионов  лет, прежде чем какое-то изменение  станет непредсказуемым. Хаос проявляет  себя многообразными способами. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически кувыркается, изменяя направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это кувыркание как побочное действие приливных сил, создаваемых Сатурном. Теория хаоса объясняет также распределение тел в поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Оно неравномерно: на одних расстояниях от Солнца существуют сгущения, на других – пустые промежутки.