Детерминированный хаос

С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает  движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства - его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа - количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Эффект бабочки» и управляемость  хаоса

В последние годы благодаря  новым теоретическим результатам, наличию быстродействующих компьютеров  и развитию техники эксперимента стало ясно, что явление детерминированного хаоса часто встречается в  природе и имеет далеко идущие последствия во многих областях науки.

Заметим, что нелинейность – необходимое, но не достаточное  условие для возникновения хаотического движения (линейные дифференциальные или разностные уравнения  не приводят к хаосу).

Наблюдаемое во времени хаотическое  поведение возникает не из-за внешних  источников шума, не из-за бесконечного числа степеней свободы (в рассматриваемых  нами системах их лишь 3) и не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой (рассматриваемые системы чисто  классические). Настоящая первопричина нерегулярности определяется свойством  нелинейных систем экспоненциально  быстро разводить первоначально  близкие траектории в ограниченной области фазового пространства (например, трехмерного в системе Лоренца, которую мы рассмотрим далее).

Таким образом, поскольку  реально начальные условия можно  задать лишь с конечной точностью, то ошибки экспоненциально нарастают. Если попытаться решить такую нелинейную систему на ЭВМ, результат на все более дальних временах зависит от все большего количества цифр в (иррациональных) числах, представляющих начальные условия. Так как цифры в иррациональных числах (а рациональные числа на действительной оси есть множество меры 0) распределены нерегулярно, траектория становится хаотической.

Лоренц назвал эту чувствительность к начальным условиям эффектом бабочки, так как решение его уравнений (приближенно описывающих также потоки воздуха в атмосфере Земли, т. е. задачу предсказания погоды) может изменить даже взмах крыльев бабочки, а также подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.

Поговорим о предсказании будущего в динамических системах.

Как отметил Пуанкаре в  своей работе "Наука и метод" (1908), в неустойчивых системах "совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. (...) Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление  случайное". Таким образом прогнозирование на длительные времена теряет всякий смысл.

Хаотическое поведение с  непредсказуемым будущим может  иметь место даже в очень простых  системах.

Возникает закономерный вопрос: а как же обстоит дело с прошлым  таких систем?

Динамическая природа "непредсказуемости" прошлого сходна с природой непредсказуемости  будущего: неустойчивость траекторий динамической системы и быстрое  нарастание числа возможных вариантов  по мере удаления от точки отсчета. Чтобы реконструировать прошлое, кроме  самой динамической системы нужна  достаточная по количеству и надежная по качеству информация из этого прошлого. Следует отметить, что на разных участках исторического процесса степень  его хаотичности различна и может  даже падать до нуля (ситуация, когда  все существенное предопределено). Естественно, что чем менее хаотична система, тем проще реконструируется ее прошлое.

Теперь поговорим об управляемости  хаотических систем.

На первый взгляд природа  хаоса исключает возможность  управлять им. В действительности все наоборот: неустойчивость траекторий хаотических систем делает их чрезвычайно  чувствительными к управлению.

Пусть, например, требуется  перевести систему из одного состояния  в другое (переместить траекторию из одной точки фазового пространства в другую). Требуемый результат  может быть получен в течение  заданного времени путем одного или серии малозаметных, незначительных возмущений параметров системы. Каждое из них лишь слегка изменит траекторию, но через некоторое время накопление и экспоненциальное усиление малых  возмущений приведут к существенной коррекции движения. При этом траектория останется на том же хаотическом  аттракторе. Таким образом, системы  с хаосом демонстрируют одновременно и хорошую управляемость , и удивительную пластичность: чутко реагируя на внешние воздействия, они сохраняют тип движения.

Мы уже установили, что  поведение хаотических систем не может быть предсказано на большие  интервалы времени. По мере удаления от начальных условий положение  траектории становится все более  и более неопределенным. С точки  зрения теории информации это означает, что система сама порождает информацию, причем скорость этого процесса тем  выше, чем больше степень хаотичности. Отсюда, согласно теории хаотической  синхронизации, следует интересный вывод: чем интенсивнее система  генерирует информацию, тем труднее  ее синхронизировать, заставить вести  себя как-то иначе.

Теперь перейдем к рассмотрению экспериментального обнаружения хаоса  на примере эксперимента Бенара и описывающей этот эксперимент модели Лоренца.

 

 

 

 

 

 

Эксперимент Бенара и модель Лоренца

Эксперимент Бенара

Эксперимент Бенара является типичной системой, в которой проявляется детерминированный хаос.

В этом эксперименте слой жидкости (с положительным коэффициентом  объемного расширения) подогревается  снизу в поле тяготения, как показано на рис. 1а. Нагретая жидкость вблизи дна «стремится» подняться, а холодная вблизи крышки – опуститься, но этим движениям противодействуют вязкие силы.

Рис. 1. Неустойчивость Бенара

При малых разностях температур ΔТ преобладает вязкость, жидкость покоится и тепло переносится постоянной теплопроводностью. Это состояние становится неустойчивым при критическом значении R_a числа Рэлея R (пропорционального ΔТ), и появляются стационарные конвективные валы (рис. 1б). С дальнейшим ростом R после второго порога R_c наблюдается переход к хаотическому движению.

Рис. 2. Спектры мощности х-компоненты скорости

На рис. 2 приведены спектры  мощности х-компоненты скорости, измеренной по эффекту Доплера при рассеянии света (Swinney, Gollub, 1978).

Теоретическое описание эксперимента Бенара предложил Лоренц в 1963 году.

Он упростил сложные дифференциальные уравнения, описывающие эту систему, и получил дифференциальные уравнения  так называемой модели Лоренца:

         (3)

где точка обозначает дифференцирование  по времени t. Переменная X пропорциональна скорости конвективного потока, Y — описывает разность температур для потоков вверх и вниз, а Z — характеризует отклонение профиля температуры от линейного в продольном направлении, вдоль приложенного градиента температуры. Величина последнего характеризуется управляющим параметром r, а σ и b — некоторые безразмерные константы, характеризующие систему.

Приведем беглый вывод  этой системы.

 Вывод модели Лоренца

Рассмотрим эксперимент  Рэлея – Бенара. Жидкость описывается полем скорости v(x, t) и полем температуры T(x, t). Основными уравнениями, описывающими эту систему, являются:

а) уравнение Навье-Стокса

        (4)

б) уравнение теплопроводности

          (5)

в) уравнение неразрывности

         (6)

с граничными условиями

       (7)

Здесь ρ – плотность жидкости, μ – вязкость, p – давление, k – температуропроводность,

F = ge_z – внешняя сила тяготения в направлении e_z. Нелинейность в гидродинамике связана с конвективным слагаемым (квадратичным по v) в уравнении Навье – Стокса (4).

Чтобы упростить вычисления, предполагается, что а) система обладает трансляционной инвариантностью по у, так что конвекционные валы простираются до бесконечности, и б) зависимостью от ΔТ всех коэффициентов, кроме ρ = (1-αΔТ), можно пренебречь (приближение Буссинеска). Уравнение неразрывности принимает вид:

      (8) 
поэтому удобно ввести функцию ψ(x, z, t), для которой

        (9)

так, что (8) выполняется автоматически.

Далее введем отклонение Θ(x, z, t) от линейного профиля температуры:

     (10)

Используя (9) и (10), основные уравнения можно записать в виде (Saltzman, 1981)

     (11)

     (12)

где

      (13)

v = μ/ – кинематическая вязкость (член, содержащий давление, уничтожается применением ротора к уравнениям Навье – Стокса).

Чтобы упростить (11) и (12), Лоренц использовал свободные граничные условия

    (14)

и, сохраняя только младшие члены в фурье-представлении ψ, предложил следующую подстановку:

     (15)

  (16)

где переменные  X, Y и Z зависят только от времени, R = gαh³ΔТ/vk – число Рэлея, R_c = π⁴a^-2(1+a²)³ – критическое значение R, а – отношение геометрических размеров.

Отсюда получаем (3):

где точкой обозначена производная  по безразмерному времени              τ = π²h^-2(1+a²)kt, σ = v/k – число Прандтля, b 4(1+a²)^-1, r = R/R_c ΔТ – внешний управляющий параметр.

Численный анализ этой, очевидно, простой системы нелинейных дифференциальных уравнений показывает, что ее переменные могут проявлять хаотическое  поведение при превышении порога r_c. Продемонстрируем это при проверке системы на устойчивость.

Анализ устойчивости, возникновения  конвекции и турбулентности в  модели Лоренца

Запишем уравнения Лоренца (3) в краткой форме

          (17)

и линеаризуем их вблизи неподвижных точек

    (18)

определяемых условием

         (19)

Первая неподвижная точка Х₁ = 0 соответствует состоянию теплопроводности без движения жидкости, и ее матрица устойчивости

      (20)

имеет собственные значения

   (21)

Таким образом, решение Х = 0 устойчиво, т. е. все λ отрицательны, при 0 < r < 1. При r = 1 начинается конвекция Бенара, так как λ₁ = 0, и именно в этот момент «принимает эстафету» вторая неподвижная точка Х₂ (соответствующая движущимся валам). Матрица устойчивости для Х₂:

   (22)

а ее собственные значения – корни полинома

  (23)

Видно, что при r = 1 λ₁ = 0; λ₂ = -b; λ₃ = -(σ+1), т.е. «конвективная» неподвижная точка находится на грани устойчивости, и, как показывает рис. 3, она устойчива при 0 < r < r₁. При r₁ < r_с два собственных значения становятся комплексными, т. е. появляются два предельных цикла, устойчивых до тех пор, пока действительная часть этих значений меньше 0. При r = r_с действительные части обращаются в 0, т. е. λ = i λ₀, и из (23)

   (24)

Рис. 3. Вид полинома Р(λ) в зависимости от параметра r

При превышении r_с предельный цикл становится неустойчивым (действительные части комплексных собственных значений положительны) и наступает хаос. Этот анализ согласуется с численным результатом, полученным Лоренцем, обнаружившим хаотическое поведение при σ = 10, b = 8/3 и значениях параметра r, превышающих r_с = 24,74.

Однако следует отметить, что уравнения Лоренца описывают эксперимент Бенара только непосредственно вблизи перехода от теплопереноса к конвективным валам, так как пространственные фурье-коэффициенты, оставленные Лоренцем в системе уравнений, описывают только простые валы. Хаос, обнаруженный Лоренцем в уравнениях (3), таким образом, отличается от хаоса, наблюдаемого по экспериментальному спектру мощности (рис. 2). Для описания экспериментально наблюдаемого хаоса необходимо сохранить гораздо больше пространственных фурье-компонент.

Далее введем понятия аттрактора и странного аттрактора.

 

 

 

 

 

 

Введение и определение странных аттракторов

Аттрактор (от англ. to attract  — притягивать) ― компактное инвариантное множество L в трехмерном фазовом пространстве гладкого потока, которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым, оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из некоторой окрестности   стремятся к   при   (отсюда название).

Рассмотрим данный вопрос на примере рассмотренной ранее  модели Лоренца (3):

для которой

     (25)