Численное интегрирование функций

Министерство Образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 

Новосибирский государственный технический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная  работа№3.

По дисциплине: Вычислительная математика

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Факультет: АВТ                                                      Преподаватель: Зыбарев В.М.

Группа: АТ-13

Студент: Анисимов Алексей

 

 

 

 

 

Новосибирск

2013

 

Содержание.

 

 Цель работы         3

1. Общая схема методов численного интегрирования    3
2. Метод прямоугольников         4
1. Теория по методу интегрирования прямоугольниками   4
2. Реализация метода интегрирования прямоугольниками   4
3. Метод трапеций         5
1. Теория по методу интегрирования трапециями    5
2. Реализация метода интегрирования трапециями    6
4. Метод Симпсона         7
1. Теория по методу интегрирования Симпсона    7
2. Реализация метода интегрирования Симпсона    8
5. Оценка точности результатов        8
6. Сравнение методов                10

Вывод                         11

Список Литературы                      12

 

Приложение №1 – «Листинг программы Square.exe»

Приложение №2 – «Листинг программы Trapeze.exe»

Приложение №3 – «Листинг программы Simpson.exe»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цель работы:

 

   Цель и задание лабораторной работы взято из методического пособия «Латыпов И.И. Численные методы. Лабораторный практикум: Учебное пособие для студентов физико-математического факультета по основам численных методов. Книга 1.– Бирск: Бирск.гос.соц.-пед.акад., 2007.» Лабораторная работа №11(стр. 60)

 

Исходные данные:

 

   Дан интеграл , где . Во всех расчетах π = 3.14.

 

1. Общая схема численного интегрирования

 

   Формулы, по которым происходят эти вычисления называют обычно формулами численного интегрирования или квадратурными формулами. Они, в общем случае имеют вид:

   (1)

   где точки XiÎ[a,b] называются узлами квадратурной формулы, а коэффициенты Сi -весами.

 

   Общая схема построения различных методов численного интегрирования такова:

   1.Отрезок [a,b] разбивают на k равных частей:

a=d₀<d₁<…<d_k=b,  d_i=a+i*h,  где h=(b-a)/k.

   2.Интеграл по всему отрезку [a,b] разбивается на сумму интегралов по получившимся отрезкам [d_i,d_i+1] при i=0,1,2,…,k-1.

   3.На каждом из маленьких отрезков интеграл приближенно вычисляют по формулам (1), причем узлы и веса при этом выбираются по одинаковому закону, который мы будем называть шаблоном квадратурной формулы. Количество узлов в шаблоне обычно колеблется от 1 до 5, а самый широко распространенный на практике метод Симпсона имеет в шаблоне 3 узла.

 

   Как правило, при построении шаблона квадратурной формулы узлы выбираются равномерно распределенными по отрезку, а веса получаются при интегрировании вспомогательных многочленов Лагранжа с выбранными узлами. Построенные таким образом формулы носят общее название формул Ньютона-Котеса.

 

 

 

   Поясним правило определения весов в формулах Ньютона-Котеса (2):

(2)

 

   Здесь функция f(x) заменяется на интерполяционный многочлен Рn(X), а он записывается в виде линейной комбинации вспомогательных многочленов Лагранжа, которые не зависят от функции f(X).

 

2. Метод прямоугольников

 

2.1 Теория по методу интегрирования прямоугольниками 

 

   Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах.

 

   Шаблон интегрирования содержит один узел, интерполяционный многочлен имеет нулевую степень. Узел выбирают в середине отрезка (возможен выбор узла и в каком-нибудь конце отрезка, но точность при этом будет хуже). Узел Х₀ на отрезке [d_i,d_i+1] задается  формулой Х₀=(d_i+d_i+1)/2=a+(i+0.5)*h, a интеграл заменяется на выражение h*f(X₀).

 

   Квадратурная формула метода прямоугольников имеет вид (2):

 

(2)

 

2. Реализация метода интегрирования прямоугольниками

 

   Реализуем данный метод в среде Builder C++ 6.0. Для этого напишем программу (см. приложение№1) находящую заданный интеграл, с возможностью выбора пределов интегрирования, и величины шага. Зададим программе пределы a=-3.14 и b=3.14, что соответствует исходным данным, и величину шага h=0.5 (рис.1):

Рис.1

 

Следовательно,

 

Проверим полученный результат  с помощью пакета Wolfram (рис.2):

 

y

x

рис.2

 

   Мы получили практически идентичные результаты, что говорит о том, что в программе верно реализован метод интегрирования прямоугольниками.

 

3. Интегрирование методом трапеций

 

3.1 Теория  по методу интегрирования трапециями

 

   Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями.

 

   Шаблон содержит два узла, которые расположены по краям отрезка [d_i,d_i+1], интерполяционный многочлен имеет первую степень. На отрезке [d_i,d_i+1] узлы задаются формулами: Х₀=d_i=a+ih; X₁=a+(i+1)*h, где i=0,1,2,...,k-1.

 

   Формула шаблона метода трапеций принимает вид (3):

 

(3)

 

   Складывая, получаем квадратурную формулу метода трапеций (4):

 

(4)

 

2. Реализация метода интегрирования трапециями

 

   Реализуем данный метод в среде Builder C++ 6.0. Для этого напишем программу (см. приложение№2) находящую заданный интеграл, с возможностью выбора пределов интегрирования, и величины шага. Зададим программе пределы a=-3.14 и b=3.14, что соответствует исходным данным, и величину шага h=0.5 (рис.3):

 

рис.3

 

   Следовательно: .  

 

   Проверим полученный результат с помощью пакета Wolfram (рис.2)

Мы получили практически идентичные результаты, что говорит о том, что в программе мы верно реализовали метод интегрирования трапеции.

 

4. Интегрирование методом Симпсона

 

4.1 Теория  по методу интегрирования Симпсона

 

   Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке   интерполяционным многочленом второй степени  , то есть приближение графика функции на отрезке параболой.

 

   Шаблон содержит 3 узла, которые расположены по краям и в середине отрезка [d_i,d_i+1]; интерполяционный многочлен имеет вторую степень. Геометрический смысл метода в том, что заменяем график функции на параболу, пересекающуюся с ним в концах и середине отрезка, а площадь криволинейной трапеции, соответственно, - на площадь под параболой.

Для того, чтобы вычислить  значения весов мы произведем сдвиг  отрезка длины h к началу координат (замена переменной, при которой  интегралы от вспомогательных многочленов  Лагранжа не изменяются) и будем  считать, что узлы – Х₀=-0.5h, X₁=0, X₂=0.5h. Тогда вспомогательные многочлены Лагранжа имеют вид (5):

 

(5)

 

   Откуда, интегрируя по отрезку [-h/2,h/2], получаем:

 

 

   Итак, формула для шаблона метода Симпсона имеет вид:

 

(6.1)

 

   Складывая получившиеся отрезках [d_i,d_i+1] результаты, имеем:

 

(6.2)

 
 

4.2 Реализация метода интегрирования Симпсона

 

   Реализуем данный метод в среде Builder C++ 6.0. Для этого напишем программу (см. приложение№3) находящую заданный интеграл, с возможностью выбора пределов интегрирования, и величины шага. Зададим программе пределы a=-3.14 и b=3.14, что соответствует исходным данным, и величину шага h=0.5 (рис.4):

 

рис.4

 

   Следовательно, .

 

   Проверим полученный результат с помощью пакета Wolfram (рис.2).

Мы получили практически идентичные результаты, что говорит о том, что в программе мы верно реализовали метод интегрирования трапеции.

 

5. Оценка точности результатов

 

   Теоретические оценки погрешности для представленных трех методов следующие:

для метода прямоугольников   |r| £ M₂*(b-a)*h²/24; (7.1)

для метода трапеций     |r| £ M₂*(b-a)*h²/12; (7.2)

для метода Симпсона     |r| £ M₄*(b-a)*h⁴/180. (7.3)

 

где М₂ и М₄ – соответственно максимумы модуля второй и четвертой производных интегрируемой функции на отрезке интегрирования. Однако в реальных задачах, как правило, бывает затруднительно или совсем невозможно пользоваться этими формулами, поскольку значение максимумов производных трудно, а порой и невозможно вычислить или даже оценить.

 

Найдем теоретические оценки погрешности для нашего случая:

 

Метод прямоугольников:

M₂ ≈ 0.33

 

|r| £

|r| £ 0.0215875 (8.1)

Метод трапеций:

 

M₂ ≈ 0.33

 

|r| £

|r| £ 0.043175 (8.2)

Метод Симпсона:

 

M₄ ≈ 0.2

 

|r| £

|r| £ 0.0004361 (8.3)

 

Следовательно, погрешности численного интегрирования методами прямоугольников, трапеций и методом Симпсона составляют соответственно 0.0215875, 0.043175 и 0.0004361 (8.1-8.3)

 

 

 

6. Сравнение используемых методов

 

  Сравнение методов обычно производится по следующим критериям:

   1.Универсальность – возможность применения метода для большинства непрерывных функций.

   2.Простота организации вычислений – количество необходимых для данного метода вычислений и объем теории, обязательной для понимания.

   3.Контроль точности приближения – сравнение результата применения данного метода с реальным значением исследуемой функции.

 

Если сравнить три приведенных выше метода (см. рис.5), то следует отметить, что

   1) Все три метода достаточно универсальны, поскольку применимы для любой непрерывной функции.

   2) Наиболее простыми оказались методы интегрирования прямоугольниками и трапециями. В их шаблонных формулах всего по одной сумме n-слагаемых. В шаблонной формуле Симпсона две суммы n-слагаемых, что делает вычисления более трудоемкими.

   3) Все методы оказались достаточно точными, в сравнении с результатами, полученными с помощью пакета Wolfram Alpha (см. рис.2). Наиболее близким к истинному значению оказался метод интегрирования прямоугольниками, но наименьшей теоретической погрешностью обладает метод Симпсона.

 

рис.4

 

 

 

 

 

Вывод:

 

   Хорошо известны многочисленные примеры задач из различных отраслей механики, геометрии, физики, и т.д., которые приводят к необходимости вычисления определенных интегралов функции одной переменной на некотором отрезке. Однако, даже в том случае, когда функция задана аналитически, не всегда возможно вычисление точного значения интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Так, нельзя выразить в элементарных функциях первообразные функции sin(x)/x (интегральный синус) или функции e^-x*x, которая играет фундаментальную роль в теории вероятностей. Если же функция задана таблично, то решение аналитическими методами вообще невозможно. Во всех этих случаях (а также и тогда, когда интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, но вычисления первообразных весьма сложны и громоздки) на помощь приходят численные методы интегрирования, которые позволяют вычислить ответ с нужной точностью простыми методами, почти не зависящими от способа задания функции.