Аппроксимация

                                          СОДЕРЖАНИЕ  

     1. Теоретическая часть……………………………………………………..3

     2. Расчётная часть…………………………………………………………..5

        2.1. Задание………………………………………………………………5

        2.2. Решение…………………………………………………………..….6

     3. Вывод по работе……………………………………………………..…21

     4. Список литературы………………………………………………….…22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

     Аппроксимация, или приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

     Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности, приближения иррациональных чиселрациональными.  

     В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

     Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математики способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

       Наиболее распространенным методом аппроксимации экспериментальных данных является метод наименьших квадратов. Метод позволяет использовать аппроксимирующие функции произвольного вида и относится к группе глобальных методов. Простейшим вариантом метода наименьших квадратов является аппроксимация прямой линией (полиномом первой степени). Этот вариант метода наименьших квадратов носит также название линейной регрессии.

     

     Критерием близости в методе наименьших квадратов  является требование минимальности  суммы квадратов отклонений от аппроксимирующей функции до экспериментальных точек:

      .

     

     Таким образом, не требуется, чтобы аппроксимирующая функция проходила через все  заданные точки, что особенно важно при аппроксимации данных, заведомо содержащих погрешности.

     Важной  особенностью метода является то, что  аппроксимирующая функция может  быть произвольной. Ее вид определяется особенностями решаемой задачи, например, физическими соображениями, если проводится аппроксимация результатов физического эксперимента. Наиболее часто встречаются аппроксимация прямой линией (линейная регрессия), аппроксимация полиномом (полиномиальная регрессия), аппроксимация линейной комбинацией произвольных функций. Кроме того, часто бывает возможно путем замены переменных свести задачу к линейной (провести линеаризацию). Например, пусть аппроксимирующая функция ищется в виде  . Прологарифмируем это выражение и введем обозначения  ,  . Тогда в новых обозначениях задача сводится к отысканию коэффициентов линейной функции  .

     В качестве приближающих функций в  зависимости от характера точечного  графика функции f часто используют следующие функции:  

 
 
 
 

     2. РАСЧЁТНАЯ ЧАСТЬ

     Цель  работы: научиться пользоваться методами вычислений с использованием современных информационных технологий. Наиболее подходящей для этой цели является одна из самых эффективных математических систем - MathCAD. Так же, изучить задачи аппроксимации и интерполяции; обработать опытные данные с помощью методов наименьших квадратов.

     

     

     2.1. ЗАДАНИЕ

     Аппроксимировать  многочленами:

     а) полиномами 4-ой степени при помощи функций regress и interp;

     б) наборами полиномов второго порядка  с помощью функции loess и interp, (при span 0.5 и 2.5).

     Отобразить  графический результаты аппроксимации.  

     Вариант 13:

 

     Вариант 14:

 

     Вариант 15:

 

 

     

2.2.РЕШЕНИЕ

    Вариант 13:

    а) Составляем таблицу данных

    

Степень полинома:

Вычисление  коэффициентов полинома при помощи функций regress и interp:

Строим  график многочлена: 

 

Решение коэффициентов полинома МНК:

 

Коэффициенты  при обоих методах совпадают. 
Нахождение погрешности:

     

     Вывод: Аппроксимация полиномом 4 степени  возможна, так как погрешность  удовлетворительна. Полином 4 степени  дает наименьшую погрешность по сравнению с полиномами 2,3, 5 и выше степеней.

     Аппроксимация полиномом 5 степени: 

     

     

     Аппроксимируем наборами полиномов второго порядка с помощью функции loess и interp, (при span 0.5 и 2.5).

     

     

    

    Вывод: Функция loess исследует данные в малой окрестности точки, представляющей интерес. Аргумент span управляет размером этой окрестности. По мере того как диапазон становится большим, loess становится эквивалентным regress с n = 2.

 

     Вариант 14:

    а) Составляем таблицу данных

    

     

Степень полинома:

Вычисление  коэффициентов полинома при помощи функций regress и interp:

 

Строим  график многочлена:

 

Решение коэффициентов полинома МНК:

 
 

Коэффициенты  при обоих методах совпадают.

 

Нахождение погрешности:

Вывод: Так как погрешность слишком велика, желательно подобрать полином 9 степени. График для многочлена будет иметь вид: 
 
 
 

 

Вычисляем погрешность для полинома 9 степени:

Погрешность при  использовании полинома 9 степени  удовлетворительна.

     Аппроксимируем наборами полиномов второго порядка с помощью функции loess и interp, (при span 0.5 и 2.5).

 

    

      Вывод: Функция loess исследует данные в малой окрестности точки, представляющей интерес. Аргумент span управляет размером этой окрестности. По мере того как диапазон становится большим, loess становится эквивалентным regress с n = 2.

      
 
 
 
 
 
 
 
 

    Вариант 15:

    а) Составляем таблицу данных

    

Степень полинома:

Вычисление  коэффициентов полинома при помощи функций regress и interp:

Строим  график многочлена: 

 

Решение коэффициентов полинома МНК: