Алгебралық және трансценденттік теңдеуді шешу әдістері

Жоспары:

1.      Теңдеулерді шешу есебінің қойылымы.

2.      Алгебралық және трансценденттік теңдеулердің түбірлерін айыру.

3.      Жартылай бөлу әдісімен теңдеудің түбірін анықтау.

4.      Ньютон әдістері.

5.      Жанама әдісі.

6.      Хорда (қиюшы) әдісі.

7.      Қолданылған әдебиеттер.

Теңдеулерді шешу есебінің қойылымы.

Теңдеуді шешу – оның түбірлері болатынын, егер бар болатын болса нешеу екенін және оларды белгілі дәлдікпен мәндерін анықтау.

түріндегі сызықтық емес теңдеулердің түбірлерін табу есебі әртүрлі ғылыми зерттеулерде кездеседі (мұндағы – анықталған және шектеулі немесе шектеусіз аралығында үздіксіз функция). Сызықтық емес теңдеулерді екі класқа бөлуге болады: алгебралық және трансценденттік. Алгебралық теңдеулер деп тек алгебралық функцияларды ғана (бүтін, рационал, иррационал) қамтитын теңдеулерді айтады. Дербес жағдайда, көпмүше бүтін алгебралық теңдеу болып табылады. Басқадай функцияларды (тригонометриялық, көрсеткіштік, логарифмдік, және т.б.) қамтитын теңдеулерді трансценденттік деп атайды.

Әрбір сандар функциясын нөлге айналдыратын болса, яғни , берілген теңдеудің түбірі деп аталады. саны еселі түбір деп аталады, егер болғанда функциясымен бірге оның -ші ретті туындылары да нөлге тең болса:

Сызықтық емес теңдеулерді шешудің әдістері тура және итерациялық болып бөлінеді. Тура әдістер түбірлерді шекті қатынас (формула) түрінде жазуға мүмкіндік береді. Мектеп курсынан тригонометриялық, логарифмдік, көрсеткіштік, сонымен қатар қарапайым алгебралық теңдеулерді шешу үшін әдістер белгілі. Бірақ та тәжірибеде теңдеулердің мұндай әдістермен шешілмейтіндері де кездеседі. Оларды шешу үшін итерациялық әдістер пайдаланады, яғни тізбектелген жуықтау әдістері (сандық әдістер).

Теңдеудің түбірлерін сандық әдіспен табу есебі екі кезеңнен тұрады: түбірлерді айыру, яғни түбірдің бір ғана мәнін қамтитын жеткілікті аз (сығылған) аймақтарды табу және түбірлерді анықтау, яғни қандайда бір аймақтағы түбірді белгілі дәлдікпен есептеу.

Алгебралық және трансценденттік теңдеулердің түбірлерін айыру.

Айталық бізге

түріндегі теңдеу берілсін. Мұндағы – алгебралық немесе трансценденттік функция. Егер біз функциясының графигін пайдалансақ, онда теңдеудің түбірлері жуықтап алғанда, абсцисса осімен қиылысу нүктелері болмақ. Есепті ықшамдау арқылы, берілген теңдеуді оған мәндес

теңдеуімен алмастыруға болады. Мұндай жағдайда және функцияларының графиктері салынып, Ох осіндегі осы графиктердің қиылысу нүктелерін көрсететін кесінділері белгіленеді.

              Мысал 1. теңдеуінің түбірлерін айыру керек.

Түбірлерін графикалық түрде айыру үшін, оны оған мәндес түрге келтіреміз. және функцияларының графиктерін жеке-жеке саламыз.

Графикке қарап, оның бір түбірі болатынын көреміз және ол кесіндісінде жатады.

              Түбірлерді айыру туралы есептерді шешу барысында келесі жайттардың пайдасы бар:

1.   Егер кесіндісінде үздіксіз функциясы, оның шеткі нүктелерінде әртүрлі таңбалы мәндер қабылдаса (яғни ) , онда берілген теңдеудің осы кесіндіде кем дегенде бір түбірі бар болады.

2.   Егер функциясы монотонды (кемімелі немесе өспелі) болса, кесіндісіндегі түбір жалғыз ғана болады.

Тексеру үшін функциясының кесіндісінің шеткі нүктелеріндегі мәндерін есептейік:  ;  . Байқауымызша, кесіндісінде түбірдің болатынын аламыз.

              Қарапайым жағдайда, түбірлерді графикалық айыруды қолмен еептеуге болады, кейде күрделі жағдайларда теңдеудің түбірі берілген кесіндіде болуын (санын) анықтауда компьютердің қолданбалы бағдарламасын пайдалануға немесе программалау тілінде программа құрастыруға болады.

              Айталық теңдеуінің барлық түбірлері кесіндісіне тиісті болсын, яғни . Бізге теңдеудің түбірлерін айыру керек, яғни бір түбірден жататын барлық кесінділерді көрсету керек.

              -тің мәнін нүктесінен бастап оң жаққа қарай қандайда бір қадаммен қозғала отырып есептейміз.

-тің көршілес екі әртүрлі таңбалы мәндері пайда болған кезде, алынған кесіндіге  түбір тиісті болатынын аламыз.   

              Теңдеудің шешімін программалау тілі көмегімен қарастырайық. Осыған сәйкес келетін алгоритмнің жалпы схемасын көрсетейік. Қойылған есептің нәтижесі экранда көрсетілген және параметрлерінің мәндері (белгіленген кесіндінің шеткі нүктелері) болады.

Мысал 2. теңдеуінің кесіндідегі түбірлерін 0,1 қадаммен бөліктерге бөліңдер.

              Бұл есепті Excel көмегімен шешуге болады. Компьютер экранында функциясының графигінен басқа мәндері анықталған кесте және одан 0,1 қадаммен жеті бөлінген кесінділердің нәтижесін алуға болады: ; ; ;  ;  ; ;              .

Жартылай бөлу әдісімен теңдеудің түбірін анықтау.

Сызықтық емес теңдеулердің түбірлерін табудың қарапайым әдістердің бірі болып табылады.

теңдеуін шешу барысында, ереже бойынша түбірі жуық мәнінің алдын ала мүмкін қателігі беріледі. Түбірлерді анықтау үрдісінде олардың қателігінен үлкен емес жуық мәндерін табуды талап етеді.

Айталық теңдеудің кесіндісінде бір түбірі бар болсын, яғни функциясы осы кесіндіде үздіксіз. кесіндісін нүктесімен жартылай бөлеміз. функциясының және  кесінділерінің шеткі нүктелеріндегі мәндерін зерттейміз, яғни нүктелерінде. Егер  болса, онда екі жағдай болуы мүмкін: функциясы кесіндісінде немесе кесіндісінде таңбасын ауыстырады (2.6-сурет).

Функцияның таңбасы ауыспайтын кесіндіні алып тастап, таңбасы ауысатын кесіндіні таңдап алып (өйткені, ол аралықта ізделінді түбір жатыр), оны жаңа кесінді ретінде қарастырамыз. Жартылай бөлу үрдісін жалғастыра отырып, теңдеудің түбірі тиісті болатын ең кіші кесіндіге келеміз.

Айталық анықтық үшін болсын.

Бастапқы жуық түбір ретінде аламыз. Қарастырылған жағдайда , онда және кесіндісін ғана қарастырамыз. Келесі жуықтау: . Мұнда кесіндісін алып тастаймыз, өйткені және , яғни . Осыған ұқсас басқа жуықтауларды табамыз: және т.б.

Жуықтау үрдісін функциясының модульімен алынған мәні берілген ең аз санынан аз болғанша жалғастырамыз, яғни .

Төмендегі суретте теңдеудің түбірін кесіндіні жартылай бөлу әдісімен табудағы итерациялық үрдістің блок-схемасын ұсынамыз. Мұнда кесіндіні сығу және шектерін ағымдық түбіріне ауыстырумен жүргізіледі.

Ньютон әдістері.

Жартылай бөлу әдісімен қатар күрделі және тиімді итерациялық әдістер бар. Бұл әдістерге Ньютон есімімен байланысқан әдістердің тобы қатысады. Олардың екеуін қарастырайық: жанама әдісі және хорда (қиюшы) әдісі. Бл әдістердің екеуі де мынадай тәсілге негізделген.

теңдеуінің кесіндісінде жалғыз түбірі бар болсын. Оны оған мәндес теңдеуге түрлендіреміз:

мұндағы, - кесіндісінде анықталған және осы кесіндіде нөлге айналмайтын кез келген функция.

- ті әртүрлі тәсілмен таңдай отырып, көрсетілген әдістерді алуға болады.

Жанама әдісі.

а) Бірінші тәсіл

Айталық . Сонымен итерациялық тізбек

реккуренттік қатынасының көмегімен құрылады. Бастапқы мәнін таңдау мәселесі, функциясының мынадай шарттарды қанағаттандыруымен шешіледі:

1) кесіндісінде екінші рет дифференциалданады;

2) Бірінші және екінші ретті туындылары осы кесіндіде таңбасын сақтайды, яғни функция монотонды және дөңестік сипатын ауыстырмайды.

Мұндай жағдайда мәні ретінде кесіндісінің шеткі нүктелерінің бірі алынады және ол нүктеде функциясы және оның екінші ретті туындысы бірдей таңбалы болуы керек, яғни шарты орындалады.

Реккуренттік қатынаспен () болғанда анықталған нүктесі, функциясының графигіне нүктесінде жүргізілген жанамамен абсциссаның қиылысу нүктесі болады.

Итерациялық тізбектің әрбір келесі мүшесіне функциясының графигіне тізбектің алдыңғы мүшесі арқылы жүргізілген жанаманың абсциссамен қиылысу нүктесі сәйкес келетін болады.

Қателікті бағалау мынадай теңсіздіктің көмегімен жүзеге асырылады:

мәндері реккуренттік тізбектің мүшелерін табуда есептелетін болады.

Мысал 4. теңдеуінің кесіндісіндегі түбірін -ке дейінгі дәлдікпен жанама әдісі арқылы анықта.

Берілген жағдайда реккуренттік қатынас мынадай түрде болады:

нүктесін анықтау үшін кесіндісінің шеткі нүктелеріндегі және таңбаларын табамыз:

,             

,             

Сонымен, .

Итерациялық үрдісті тоқтатуды тексеру үшін (белгілі дәлдік бойынша)

мәндерін анықтаймыз. Кесіндінің шеткі нүктелері үшін . Кесінді өте аз болғандықтан, деп алуға болады.

Итерациялық тізбектің бірнеше мүшелерін есептейік:

Түбірдің жету дәлдігіне тексеру жасайық:

- талап етілген дәлдік жеткілікті емес.

Тағы тексеру жасаймыз:

- талап етілген дәлдік жеткілікті.

Итерациялық тізбек мүшелерін тізбектеліп есептелуін кесте түрінде көрсетейік:

Сонымен, нәтижесінде барлық сандар дұрыс болады.

б) Екінші тәсіл

қисығына нүктесінде жанама жүргізіліп, жанаманың абсцисса осімен қиылысу нүктесі анықталады. Мұндай жағдайда бастапқы жуықтау түбірін табу керек.

қисығына нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуі

.

Осыдан жанаманың Ох осімен () қиылысу нүктесі ретіндегі жуық түбірін табамыз:

Осыған ұқсас , және т.б. нүктелерінде жүргізілген жанамалардың абсцисса осімен қиылысу нүктелері ретіндегі жуықтаулар табылады. - ші ретті жуықтау үшін формула:

Мұндай жағдайда, болуы керек. Итерациялық үрдісті тоқтату үшін шартын немесе тізбектің екі жуықтауының жақындалу шартын пайдалануға болады.

Хорда (қиюшы) әдісі.

Жанама әдісін жүзеге асыру барысында, функиясының мәнін ғана емес оның туындысының мәнінде есептеу қажетті. Бірақ Ньютон әдісінің тек мәнін есептеумен шектелетін нұсқасы бар.

а) Бірінші тәсіл

Егер деп алып, с мәні ретінде кесіндісінің шеткі нүктелерінің бірі алынады және ол нүктеде шарты орындалады. Осыдан итерациялық әдіс

реккуренттік қатынаспен анықталатын хорда әдісіне (қиюшы әдісіне) келеміз.

мәні ретінде кесіндісінен с мәні таңдағаннан қалған екінші шеткі нүктесі алынады (яғни, егер болса, онда немесе керісінше).

Тізбек реккуренттік қатынастың формуласы бойынша құрылады. Жуықтау түбірінің бағалауы

теңсіздігінің көмегімен анықталады.

Әдістің геометриялық мағынасы төмендегі суретте көрсетілген. Берілген жағдайда . мәніне қисықтың шеттерін қосатын хорданың абсцисса осімен қиылысу нүктесіне сәйкес келеді. Кейін қисықтың бойынан абсцисасы болатын нүкте табылып, хорда жүргізіледі және т.б.

Мысал 5. теңдеуінің кесіндісіндегі түбірін -ке дейінгі дәлдікпен хорда әдісі арқылы анықта.

нүктесін анықтау үшін кесіндісінің шеткі нүктелеріндегі және таңбаларын табамыз:

,             

,             

Сонымен, . Осыдан .

мәнін табамыз:

Берілген дәлдіктің жеткіліктілігін тексерейік:

- талап етілген дәлдік жеткілікті емес.

Келесі жуықтауды табамыз:

- талап етілген дәлдік жеткілікті.

Итерациялық тізбек мүшелерін тізбектеліп есептелуін кесте түрінде көрсетейік: