Аффинная система координат на плоскости

ФГОУ ВПО «ЧУВАШСКИЙ   ГОСУДАРСТВЕННЫЙ   УНИВЕРСИТЕТ

им. И.Н.Ульянова» 
 
 

Кафедра высшей математики 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

 Аффинная  система координат на плоскости

                                                Выполнил: студент 1-го курса

                                                 факультета РТЭ-41-11,

                 Топчубаев К.Э. 
 
 
 

                                      Проверила:   Иванова С.В.

            
 

                                                  

                                                 Чебоксары  2011 год 
 

Содержание 

1. Понятие аффинной системы координат. Координаты точек и векторов.
2. Действие над векторами в координатной форме (сложение и вычитание двух векторов, умножение вектора на число).
3. Деление отрезка в данном отношении.
4. Перенос начала координат.
5. Переход от одной аффинной системы координат к другой аффинной системе координат: а) с тем же началом; б) с изменением начала координат.
6. Матрица перехода. Свойства матрицы перехода.
7. Литература

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                            
 
 
 
 
 
 
 

1. Аффинная система  координат на плоскости.

Аффинная  система координат на плоскости , называется упорядоченная совокупность двух пересекающихся осей координат задающихся точкой О (начало координат) и парой приложенных к ней неколлинеарных векторов

е₁ = ОЕ₁  и   е₂ = ОЕ₂   на рисунке слева,   данных   в   определенном   порядке:е₁ есть первый, а е₂ —второй вектор; векторы е₁ и е₂ определяют

         рис.1 рис.2

две оси, пересекающиеся в точке О, — первую и вторую ось координат— и являются по определению единичными векторами этих осей. Первая ось называется также осью абсцисс или осью Ох, а вторая — осью ординат или осью Оу данной координатной системы. Сама система координат обозначается через Ое₁ е₂ или через Оху.

Пусть М—какая-нибудь точка плоскости; обозначим через М_x и М_y проекции точки М соответственно на первую и вторую ось координат   на рисунке 1,2 . Алгебраические значения векторов ОМ_Х и ОМ_y являются

соответственно  первой и второй координатой (абсциссой и ординатой) точки М.

Любая пара   чисел   х, у  однозначно  определяет   точку   М, для которой х является первой, а у — второй координатой. В самом деле, искомая точка М является концом вектора ОМ, проектирующегося на векторы ОМ_Х = хе₁   и   ОМ_у = уе₂. Значит, OM=xe₁ + ye₂,

т. е. вектор ОМ  есть диагональ параллелограмма, построенного ОМ_{х =}хе₁

и ОМ_y =ye₂ , чем точка М определена однозначно . Точка М с координатами  x , y обозначается так: М=(х,y). 

                                          Рис. .3

Система координат Ое₁ е₂ включает в себя базис е₁ , е₂ многообразия всех векторов на плоскости. Координаты произвольного вектора ư относительно базиса е₁, e₂ называются координатами   вектора  и   относительно системы координат Oe₁e₂; они являются алгебраическими значениями проекций вектора ư на оси координат и не зависят от выбора начала координат (рис. 1.3). Вектор ư с координатами  х,   у обозначается  так: ư = {х, y} ; тогдa

ư =xe₁+ye₂.

Условие x = 0 характеризует векторы, коллинеарные оси ординат, а условие у = 0 характеризует векторы,   коллинеарные  оси абсцисс.

Очевидно, координаты любой точки М в данной системе координат суть координаты вектора ОМ в этой системе координат.

Замечание 1. Если точка О' отлична от точки О, то

О'М = ОМ;

поэтому координаты точек зависят от выбора начала координат.

Начало  координат О разбивает каждую из координатных осей на две полуоси: положительную, идущую от начала координат в положительном направлении (т. е. в направлении единичного вектора этой оси), и отрицательную.

Ось абсцисс состоит из всех точек, ординаты которых равны нулю; она разбивает плоскость на две полуплоскости; та, в которой лежит положительная полуось оси ординат, характеризуется тем, что ординаты лежащих в ней точек положительны; во второй полуплоскости лежат точки с отрицательными ординатами. Аналогично ось ординат состоит из всех точек, абсциссы которых равны нулю; она разбивает плоскость на две полуплоскости; точки той из них, в которой лежит положительная полуось оси абсцисс, имеют положительные абсциссы; точки другой полуплоскости имеют отрицательные абсциссы. 
 

                                                        Рис .4 

  Совокупность  обеих   координатных осей   разбивает  плоскость на 
четыре области, называемые «квадрантами» (рис.4); в первом квадранте лежат   точки,   обе координаты которых положительны , во втором – точки с отрицательной абсциссой и положительной ординатой ,в – третьем точки, обе  координаты которых отрицательны,  и  в четвертом —точки, у которых абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Обе координаты начала координат, очевидно, равны нулю: О = (0, 0).

  Замечание 2. Система координат на плоскости с началом Q единичными векторами е₁ и е₂ определяет на каждой координатной оси свою систему    координат,    началом которой является точка О, а единичным вектором—лежащий на данной оси вектор е₁ или е₂. Очевидно, каждая из координат точки М есть координата проекции этой точки на соответствующую координатную ось.

  Аналогично  координаты вектора ư = АВ суть координаты проекций А_ХВ_Х и АyВу этого вектора на оси координат, т. е. алгебраические значения векторов А_ХВ_Х и А_yВ_y на соответствующей оси.

  Два вектора  АВ и CD равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

  Если  А = (х₁ у₂),   В = (х₂, у₂), то для  координат  х, у вектора

  АВ  имеем:                           x=x₂ - x₁,

  y=y₂ – y₁.

  Достаточно  доказать первое из этих равенств. Координата х есть алгебраическое значение вектора А_ХВ_Х на оси абсцисс на рисунке 5

  x=(A_xB_x);

  кроме того , x₁=(OA_x), x₂=(OB_x). По лемме Шаля имеем 

  (OA_x)+ (A_xB_x)= (OB_x),

  т.е. x₁+x=x₂, откуда утверждение следует.

   
 
 

        Рис.5 рис.6

  Два вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. 
 

  2 Действие над вектором  в координатной  форме 

  Теорема 1. Координаты суммы двух векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых, т. е. если относительно общей аффинной системы координат на плоскости заданы векторы

  a={x₁ ,y₁ } и b={x₂ ,y₂},

  то

  a+b={x₁ +x₂  , y₁ +y₂ }.

  Доказательство. Пусть в общей аффинной системе координат на плоскости a={x₁ y₁}, b = {x₂ у₂}. Спроектируем векторы a, b и а + b на ось Ох параллельно оси Оу. Пусть пр. а, пр. b и пр. (а +b)—эти проекции. На основании теоремы о проекциях векторов и  о координатах векторов имеем коорд. пр. (a +b) = коорд. (пр. а +пр. b) = Koopд. пр. а + коорд.  пр. b.  Но по определению координат вектора кoopд. пр. а=x , коорд. пр. b=x  , коорд. пр. (a +b)  есть первая координата вектора  a +b.

  Таким образом, первая координата вектора  а+b равна x₁+x₂ Аналогично доказывается, что вторая координата вектора а+b равна у₁+y₂  .

  Теорема 2. Координаты разности а—Ь двух векторов равны разностям соответствующих координат а и b, т. е. если относительно общей аффинной системы координат на плоскости даны векторы

  a={x₁ ,y₁ } и b={x₂ ,y₂}, 

  то

  a—b = {x₁—x₂, y₁—y₂}. Для доказательства достаточно заметить, что

  a—b= a+(-b)

  то

  -b={ -x , -y }.

  Теорема 3. Координаты произведения числа на вектор равны произведениям этого числа на соответствующие координаты вектора, т. е. если относительно общей аффинной системы координат задан вектор а ={х, у} , то

  λa ={λx , λy }.

  Доказательство . Пусть пр. а—-проекция вектора а на ось Ох параллельно оси Оу. В силу теоремы о проекциях векторов и  о

координатах векторов имеем  коорд. пр. (λa)= коорд. (λ пр. а) = λ (коорд. пр. а) = λx.

  Аналогично  доказывается, что  вторая координата вектора λa равна λу.

 

  3.Деление  отрезка в данном  отношении 

  Пусть в пространстве дана прямая d и на ней направленный отрезок АВ. Даны

  два произвольных вещественных числа  аив , изи которых  по крайней мере одно отлично от нуля.

  По определению  деления отрезка точка М делит  отрезок АВ в отношении аив ,если

  АМ:МВ=a:b.

  Задача  состоит в том , чтобы по данным аив  и по координатам точек А и В

  Найти координаты точек М.

  Лемма.  Пусть  на  плоскости   (соответственно  в пространстве)

  даны  две  прямые d и   d' и прямая   (соответственно плоскость)  б,

  не  параллельная ни   одной из  прямых  d, d'.  Пусть  А', В', М' —

  произвольные  три  точки  на  прямой   d'\ обозначим через А, В, № их проекции вдоль б на прямую d. Тогда

  

  Доказательство  леммы в случае плоскости и  пространства, по существу, одно и то же.

  Излагаем  его в более сложном случае пространства.

  Утверждение леммы очевидно, если d'\\d (рис. 41). Пусть прямые d и й' не параллельны между собою.   Проводим через точку А