Уравнения Колмогорова, процесс "размножения и гибели", формулы Полячека-Хинчика и Литтла

Но сумма  в формуле (18) есть не что иное, как  сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом ρ и  знаменателем ρ; эта сумма

равна , а ее производная .Подставляя это выражение в (18), получим:

L_сист = .               (19)

Ну, а  теперь применим формулу Литтла и найдем среднее время пребывания заявки в системе:

W_сист =          (20)

Найдем  среднее число заявок в очереди L_оч. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди L_оч равно среднему числу заявок в системе L_сист минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили Р_зан). Очевидно, Р_зан равно единице минус вероятность р₀ того, что канал свободен:

Р_зан = 1 - р₀ = ρ.            (21)

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием  равно

L_об = ρ,                  (22)

отсюда

L_оч = L_сист – ρ =

и окончательно

L_оч =              (23)

По формуле  Литтла  найдем среднее время пребывания заявки в очереди:

              (24)

Если  на одноканальную СМО с неограниченной очередью поступает простейший поток  заявок с интенсивностью λ, а время обслуживания имеет произвольное распределение с математическим ожиданием t_об = 1/μ. и коэффициентом вариации v_μ, то среднее число заявок в очереди равно

              (25)

а среднее  число заявок в системе

           (26)

где, как  и ранее, ρ = λ/μ., a v_μ — отношение среднего квадратического отклонения времени обслуживания к его математическому ожиданию. Формулы (14), (15) носят название формул Полячека — Хинчина.

Деля L_оч, и L_сист на λ, получим, согласно формуле Литтла, среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания в системе:

                 (27)

         (28)

Заметим, что в частном случае, когда  время обслуживания — показательное, v_μ = 1 и формулы (25), (26) превращаются в уже знакомые нам формулы

L_оч =              (23)

L_сист = .                (19),

А формулы (21.3), (21.4) в формулы 

              (24)

W_сист =          (20)

для простейшей одноканальной СМО. Возьмем другой частный случай — когда время  обслуживания вообще не случайно и v_μ = 0. Тогда среднее число заявок в очереди уменьшается вдвое по сравнению с простейшим случаем. Это и естественно: если обслуживание заявки протекает более организованно, «регулярно», то СМО работает лучше, чем при плохо организованном, беспорядочном обслуживании

Заключение.

Предмет теории массового обслуживания —  построение математических моделей, связывающих  заданные условия работы СМО (число  каналов, их производительность, правила  работы, характер потока заявок) с интересующими  нас характеристиками — показателями эффективности СМО, описывающими, с  той или другой точки зрения, ее способность справляться с потоком  заявок. В качестве таких показателей (в зависимости от обстановки и целей исследования) могут применяться разные величины, например: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение, и т. д. Среди заданных условий работы СМО мы намеренно не выделяем элементов решения: ими могут быть, например, число каналов, их производительность, режим работы СМО и т. д. Важно уметь решать прямые задачи исследования операций, а обратные ставятся и решаются в зависимости от того, какие именно параметры нам нужно выбирать или изменять. Что касается задач оптимизации, то мы ими здесь почти не будем заниматься, разве только в простейших случаях.

Список использованной литературы:

1. Алиев  Т.И.  Основы  моделирования  дискретных  систем. – СПб.: СПбГУ ИТМО, 2009.

2. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. - М.: Изд-во МГУ, 1984.