Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Удмуртский государственный университет»

Институт  экономики и управления 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа по дисциплине

экономико-математические методы и модели

на тему:

«Теория массового обслуживания» 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:

студентка гр.3513-31

Аркашева  Н.А. 

Проверил:

Гольман А.Ф. 

Ижевск 2011

 

Содержание

 

1. Теория массового  обслуживания. Классификация систем массового обслуживания (СМО)

 

     Теория  массового обслуживания – это раздел теории вероятностей, который изучает потоки требований на обслуживание, поступающих в систему массового обслуживания, длительности ожидания, длины очередей и другие характеристики, определяемые потоком требований, зависимость этих характеристик от правил обслуживания.

     Системой  массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная  для обслуживания какого-либо потока заявок.

     Примерами систем массового обслуживания могут служить:

     ∙посты  технического обслуживания автомобилей;

     ∙посты  ремонта автомобилей;

     ∙персональные компьютеры, обслуживающие поступающие  заявки или требования на решение  тех или иных задач;

     ∙станции  технического обслуживания автомобилей;

     ∙аудиторские  фирмы;

     ∙отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей  отчетности предприятий;

     ∙телефонные станции и т. д.

     Основная  задача теории массового обслуживания – выявить зависимость показателей  эффективности системы от характера входящего потока, дисциплины и ограничения очереди, количества, производительности и условий функционирования каналов с целью последующей ее оптимизации. В качестве критерия оптимальности применяют максимум прибыли от эксплуатации системы; минимум суммарных потерь, связанных с простоем каналов; минимум заявок в очереди и уходов не обслуженных заявок; заданную пропускную способность и т.п. В качестве варьируемых переменных обычно фигурируют количество каналов, их производительность, организация работы в одноканальном или многоканальном режиме, условия взаимопомощи между каналами, дисциплина очереди, приоритетность обслуживания и др.

     Классификация СМО

     ●По характеру источника требований различают СМО с конечным и  бесконечным количеством требований на входе.

       В первом случае в системе  циркулирует конечное, обычно постоянное  количество требований, которые  после завершения обслуживания  возвращаются в источник. Пример: Цех с постоянным количеством  станков или определенное количество  ПЭВМ в терминальном классе, требующих постоянного профилактического осмотра и ремонта.

     Во  втором случае источник генерирует бесконечное  число требований. Пример: Сеть Internet с бесконечным требованием на входе, любой магазин, парикмахерская и т.д.

     Первый  вид СМО называют замкнутой, второй – разомкнутой.

     ●По дисциплине обслуживания:

     обслуживание  в порядке поступления;

     обслуживание  в случайном порядке (в соответствии с заданным законом распределения);

     обслуживание  с приоритетом.

     ●По характеру организации:

     с отказами - заявка получает отказ, когда канал занят;

     с ожиданиями - заявка ставится в очередь  и ждет освобождения канала;

     с ограничением ожидания - вводится ограничения  на длительность ожидания.

     ●По числу этапов (фаз) обслуживания - на однофазные и многофазные. (Примером многофазных СМО может служить любая поточная линия).

     ●По свойствам каналов: на однородные, когда  каналы имеют одинаковую характеристику и неоднородные.

     ●По количеству единиц обслуживания:

     одноканальные;

     двухканальные;

     многоканальные.

     Широко  применима простейшая одноканальная пуассоновская система с пуассоновским входящим потоком и бесконечным источником требований. В этой модели учитываются: средняя частота поступления требований – А; средняя пропускная способность канала обслуживания - S.

     Модель  включает характеристики и уравнения:

1.         коэффициент использования системы: A/S;

2.         среднее число клиентов в системе: A/(S-A);

3.         среднее число машин, ожидавших  в очереди: A2/[S*(S-A)];

4.         среднее время нахождения клиента  в системе:1/(S-A);

5.         среднее время состояния в  очереди: А/[S*(S-A)]; удельный вес  простоев: 1-A/S.

     Пример. Допустим, что в магазин, в котором  работает один продавец, заходит в  среднем по 18 покупателей в час. Время обслуживания одного покупателя составляет 2 минуты. Исходя из этого:

       А = 18 S = 60/3 = 20.

     Среднее количество покупателей в очереди = 324/ (20*(20-18))= 8,1.

     Среднее время пребывания в очереди = 18/(20*(20-18)) = 0,45 часа.

       Если увеличить количество продавцов,  то изменится пропускная способность (S = 40) и соответственно изменятся остальные параметры:

     Среднее количество покупателей в очереди = 324/ (40*(40-18))= 0,36.

     Среднее время пребывания в очереди = 18/(40*(40-18)) = 0,02 часа.

       Предположим, что каждый покупатель  приносит магазину прибыль в сумме 10 р. Если магазин работает 12 часов ежедневно, то сумму дополнительной прибыли за месяц можно рассчитать:

       Прибыль = 10 * 8 * 12 * 30 = 28800 р. 

       После проведения расчетов необходимо  сделать вывод, насколько целесообразно  увеличивать количество обслуживающего персонала.

2. Элементы СМО

     Основными элементами СМО являются:

     ∙входящий поток требований

     ∙очередь  требований

     ∙обслуживающие  устройства (каналы)

     ∙выходящий  поток требований.

     Изучение  СМО начинается с анализа входящего  потока требований.

     Входящий  поток требований представляет собой  совокупность требований, которые поступают  в систему и нуждаются в  обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и  дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

       Среднее число требований, поступающих  в систему обслуживания за  единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и определяется следующим соотношением: 

      , где 

     Для многих реальных процессов поток  требований достаточно хорошо описывается  законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.

     Простейший  поток обладает такими важными свойствами:

     1) Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем, должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

     2)Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

     3)Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований.. И вероятность   того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований:

      ,

     где λ(интенсивность) - среднее число  требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

       На практике условия простейшего  потока не всегда строго выполняются.  Часто имеет место нестационарность  процесса (в различные часы дня  и различные дни месяца поток  требований может меняться, он  может быть интенсивнее утром  или в последние дни месяца). Существует также наличие последействия, например, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отражает многие процессы массового обслуживания.

       Почему такое предположение в  ряде важных случаев оказывается  верным, дает ответ общая теорема  А.Я.Хинчина. 

     Теорема А.Я.Хинчин: Если входящий поток представляет собой сумму большого числа независимых между собой стационарных и ординарных потоков, каждый из которых вносит малый вклад в общую сумму, то при одном дополнительном условии аналитического характера (которое обычно выполняется на практике) поток близок к простейшему.

     Применение  этой теоремы на практике можно продемонстрировать, на следующем примере: поток судов  дальнего плавания в данный грузовой порт, связанный со многими портами  мира, можно считать близким к простейшему. Поэтому можно считать поток прибытия судов в порт распределенным согласно процесса Пуассона.

     Одной из важнейших характеристик обслуживающих  устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания.

     Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может изменятся в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку).

     Случайная величина  полностью характеризуется  законом распределения, который  определяется на основе статистических испытаний. На практике чаще всего принимают  гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания. Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место тогда, когда плотность распределения резко убывает с возрастанием времени t. Например, когда основная масса требований обслуживается быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко. Наличие показательного закона распределения времени обслуживания устанавливается на основе статистических наблюдений. При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность события, что время обслуживания продлится не более чем t, равна:

      

Где   - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:

      

     где - среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

     Важным  параметром СМО является коэффициент  загрузки :

     

Где   - интенсивность поступления требований в систему;

• - интенсивность обслуживания одного требования одним