Применение сетевых моделей для решения экономических задач (оптимального распределения трудовых ресурсов)

Рис.1.3

Событие 2' означает, что можно переходить к работе Б', которую нельзя выполнить до выбора метода расчета (работа Г), а выбор метода расчета нельзя начинать до окончания построения модели (событие 3) Другими словами, в сети образовался простейший контур: 2'-3'-2'.

При возникновении контура (а в сложных сетях, т.е. в сетях с высоким показателем сложности, это встречается довольно часто и обнаруживается лишь при помощи ЭВМ) необходимо вернуться к исходным данным и путем пересмотра состава работ добиться его устранения. Так, в нашем примере потребовалось бы разделение работы  Б' на Б и Д

 

Рис.1.4

 

4.  Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой.

Нарушение этого условия происходит при изображении параллельно выполняемых работ (рис. 1.3 д). Если эти работы так и оставить, то произойдет путаница из-за того, что две различные работы будут иметь одно и то же обозначение (1, 2); обычно принято под i , j) понимать работу, связывающую

 i -е событие с i -м событием. Однако содержание этих работ, состав привлекаемых исполнителей и количество затрачиваемых на работы ресурсов могут существенно отличаться.

В этом случае рекомендуется  ввести фиктивное событие (событие 2' на рис. 1.2 е) и фиктивную работу (работа 2 i ', 2), при этом одна из параллельных работ   (1, 2') замыкается на это фиктивное событие. Фиктивные работы изображаются на графике пунктирными линиями.

 

5.  В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие.   Если   в  составленной  сети   это  не  так  (см. рис. 1.3 ж), то добиться желаемого можно путем введения фиктивных событий и работ, как это показано на рис. 1.3 з.

Фиктивные работы и события  необходимо вводить и в ряде других случаев. Один из них — отражение зависимости событий, не связанных с реальными работами. Например, работы А и Б (рис. 1.3 и) могут выполняться независимо друг от друга, но по условиям производства работа Б не может начаться раньше, чем окончится работа А, Это обстоятельство требует введения фиктивной работы С

Другой случай — неполная зависимость работ. Например, работа С требует для своего начала завершения работ А и Б, но работа Д связана только с работой Б, а от работы А не зависит. Тогда требуется введение фиктивной работы Ф и фиктивного события 3', как показано на рис. 1.3 к

Кроме того, фиктивные  работы могут вводиться для отражения  реальных отсрочек и ожидания, В  отличие от предыдущих случаев здесь  фиктивная работа характеризуется  протяженностью во времени.

 

Понятие о пути

ПУТЬ - это любая последовательность работ в сети,  в которой конечное событие каждой работы этой последовательности совпадает с начальным событием следующей за ней работы.

Путь (L) от исходного до завершающего события называется полным.

Путь от исходного до данного промежуточного события называется путем, предшествующим этому событию.

Путь, соединяющий какие-либо два события i и j, из которых ни одно не является исходным или завершающим, называется путем между этими  событиями.

Параметры сетевой модели. К основным параметрам сетевой модели относятся: 
а) критический путь; 
б) резервы времени событий; 
в) резервы времени путей и работ.

Критический путь - наибольший по продолжительности путь сетевого графика (L_кр.).

Изменение продолжительности  любой работы, лежащей на критическом пути, соответствующим образом меняет срок наступления завершающего события.

            При планировании комплекса работ критический путь позволяет найти срок наступления завершающего события. В процессе управления ходом комплекса  работ внимание управляющих сосредотачивается на главном направлении - на работах критического пути. Это позволяет наиболее целесообразно и оперативно контролировать ограниченное число работ, влияющих на срок разработки, а также лучше использовать имеющиеся ресурсы. 

В таблице 1.1 приведены основные временные параметры сетевых графиков 

Таблица 1.1

Временные параметры  сетевых графиков

Элемент сети, характеризуемый параметром	Наименование параметра	Условное обозначение параметра
Событие i	Ранний срок свершения события   Поздний срок свершения  события    Резерв времени события	tp (i) tп (i) R (i)
Работа ( i, j)	Продолжительность работы   Ранний срок начала работы   Ранний срок окончания  работы   Поздний срок начала работы   Поздний срок окончания работы   Полный резерв времени  работы   Частный резерв времени  работы первого вида   Частный резерв времени  работы второго  вида или свободный  резерв времени работы   Независимый резерв времени  работы	t (i, j) tрн(i, j) tро(i, j) tпн(i, j)   tпо(i, j)   Rп(i, j)   Ri(i, j)     Rc(i, j)   Rн(i, j)
Путь L	Продолжительность пути Продолжительность критического пути Резерв времени пути	t (L) tкр R(L)

 

Начнем с параметров событий. Как уже отмечалось, событие  не может наступить прежде, чем  свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок t_р(i) свершения i-го события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

 

 

                    t_р ( i ) = max t(L_ni).               (1.1)

_Lni

 

 

где L_ni — любой путь, предшествующий i -му событию, т.е. путь от исходного до i -го события сети.

             Если событие у имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий /, то ранний срок свершения события у удобно находить по формуле  

           t_р ( j ) = max [t_р ( i ) +  t  (i, j)]                  (1.2)

                                                     i, j

 

            Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.

            Поэтому поздний (или предельный) срок t_п(i) свершения i -го события равенn

                    t_п(i)= t_кр- max t(L_сi).                        (1.3)

                                                                              _{L ni}

 

 

где L_сi — любой путь, следующий за i -м событием, т.е. путь от i -го до завершающего события сети.

            Если событие / имеет несколько последующий путей, а следовательно, несколько последующих событий у, то поздний срок свершения события j удобно находить по формуле

                    t_п(i)= min[t_п(j) - t (i, j)]                      (1.4)

                                                       i, j

 

Резерв времени R(i) i-го события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

                                       R(i) = t_п(i) - t_р ( i )                                       (1.5)

            Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события  резервов времени не имеют, так как  любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.

            Из этого следует, что для того чтобы определить длину и топологию критического пути, вовсе не обязательно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длины.

            Теперь перейдем к параметрам работ.

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние или другие промежуточные сроки. В дальнейшем при оптимизации графика возможно любое размещение работы в заданном интервале.

            Очевидно, что ранний срок t_рн(i, j) начала работы (i, j)  совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i, т.е.

                                 t_рн(i, j) = t_р ( i )                                  (1.6)

 

            Тогда ранний срок t_ро (i, j) окончания работы (i, j,) определяется по формуле

 

                        t_ро(i,j) = t_р ( i )+ t (i, j)                                        (1.7)

 

            Ни одна работа не может окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события i. Поэтому поздний срок t_по(i, j) окончания работ (i, j) определяется соотношением

                          t_по(i, j) = t_н(j) (1.8)

а поздний срок t_пн(i, j) начала этой работы — соотношением

                t_пн(i, j) = t_н (j) - t(i, j)                (1.9)

Таким образом, в рамках сетевой модели моменты начала и окончания работы тесно связаны с соседними событиями ограничениями (1.6)—(1.9).

Прежде чем рассматривать  резервы времени работ, обратимся  к резерву времени пути. Такие  резервы имеют все некритические  пути. Резерв времени пути R(L) определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути

                                            R(L)= t_{кр -} R(L) (1.10)

Он показывает, на сколько  в сумме могут быть увеличены  продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время большее чем R(L), то критический путь переместится на путь L .

Отсюда можно сделать  вывод, что любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем (замкнутым между двумя событиями критического пути), обладает резервом времени.

Среди резервов времени  работ выделяют четыре разновидности.

Полный резерв времени R_н(i, j) работы (i, j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв R_н(i, j) определяется по формуле  

         R_н(i, j) = t_п (j) - t_р ( i ) - t (i, j)                       (1.11)          

 

Полный резерв времени  работы равен резерву максимального  из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать  при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок, и можно допустить свершение конечного события в его самый поздний срок (рис. 1.4. а)

Важным свойством полного  резерва времени работы является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны. Резервы времени работ, лежащих на других (немаксимальных по длительности) путях, проходящих через эту работу, сократятся соответственно на величину использованного резерва. Остальные резервы времени работы являются частями ее полного резерва.

Частный резерв времени  первого вида R_i работы (i, j)  есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои самые поздние сроки (см. рис. 1.8 б) R_i находится по формуле

          R_i(i, j) = t_п (j) - t_п (i) - t (i, j)      (1.12)

               R_i(i, j) = R_п(i, j) - R(i)  (1.13)

 

Частный резерв времени  второго вида, или свободный резерв времени R_с работы (i, j)  представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Этим резервом можно располагать при выполнении

 

Рис.1.5

данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершатся в свои самые ранние сроки (см. рис. 1.5 в). R_с находится по формуле

R_с(i, j)  = t_р (j ) - t_р (i) - t (i, j)     (1.14)

R_с(i, j)  = R_п(i, j) - R(j)                         (1.15)

Свободным резервом времени  можно пользоваться для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. Если планировать выполнение работ по ранним срокам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

Независимый резерв времени R_н работы (i, j)  — часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки (см. рис. 1. 5 г)

R_н(i, j)  =  t_р (j ) – t_п (i) - t (i, j), (1.16)

или

                                    R_н(i, j)  =  R_п(i, j) - R(i)                (1.17)

  Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва, определяемая по формуле (1.16) или (1.17), равна нулю или положительна, то такая возможность есть. Если же величина R_н(i, j)   отрицательна, то этой возможности нет, так как предыдущая работа еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. Поэтому отрицательное значение R_н(i, j)  не имеет реального смысла. А фактически независимый резерв имеют лишь те работы, которые не лежат на максимальных путях, проходящих через их начальные и конечные события.