Построение эконометрических уравнений

Таблица 7 – К  расчету коэффициентов регрессии

№	yi	x1i	x2i	x1iy	x2iy	x1ix2i	x1i2	x2i2
1.	3	18	6,5	54	19,5	117	324	42,25
2.	6,5	107,9	50,4	701,35	327,6	5438,16	11642,41	2540,16
3.	3,3	16,7	15,4	55,11	50,82	257,18	278,89	237,16
4.	0,1	79,6	29,6	7,96	2,96	2356,16	6336,16	876,16
5.	3,6	16,2	13,3	58,32	47,88	215,46	262,44	146,89
6.	1,5	5,9	5,9	8,85	8,85	34,81	34,81	34,81
7.	5,5	53,1	27,1	292,05	149,05	1439,01	2819,61	734,41
8.	2,1	18,8	11,2	45,12	26,88	210,56	353,44	125,44
9.	3,0	35,3	16,4	105,9	49,2	578,92	1246,09	268,96
10.	4,2	71,9	32,5	301,98	136,5	2336,75	5169,61	1056,25
Σ	33,1	423,4	208,3	1630,64	819,24	12984,01	28467,46	6092,49

 

Для решения данной системы  воспользуемся методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных. Делим первое уравнение системы на 10, затем умножаем полученное уравнение на 423,4 и вычитаем его из второго уравнения системы. Далее умножаем полученное уравнение на 208,3 и вычитаем его из третьего уравнения системы. Повторяя указанный алгоритм, для преобразованных второго и третьего уравнений системы, получим:

 

 

 

После преобразования имеем:

b₀+42,34*b₁+20,83*b₂=3,31

b₁+0,395*b₂=0,0217

108,6*b₂=39,4

Отсюда 

b₂= 0,36

b₁=0,0217 - 0,1422= - 0,12

b₀=3,31+42,34*0,12-20,83*0,36=0,9

Тогда окончательно зависимость  чистого дохода от оборота капитала и использованного капитала в  виде линейного уравнения множественной  регрессии имеет вид:

у = 0,9- 0,12 *х₁ + 0,36* х₂.                                                                                (12)

Из полученного эконометрического  уравнения видно, что с увеличением  используемого капитала чистый доход  увеличивается и, наоборот, с увеличением  оборота капитала, чистый доход уменьшается. Кроме того, чем больше величина  коэффициента регрессии, тем значительнее влияние объясняющей  переменной на зависимую переменную. В рассматриваемом примере   величина коэффициента регрессии b₂ больше чем величина коэффициента b₁, следовательно, используемый капитал оказывает значительно большее влияние на чистый доход, чем оборот капитала. Для количественной оценки указанного вывода определим частные коэффициенты эластичности:

 

 

Анализ полученных результатов  так же показывает, что большее  влияние на чистый доход оказывает  используемый капитал. Так в частности, при увеличении используемого капитала на 1% чистый доход увеличивается на 2,27%. В то же время, с ростом оборота капитала на 1%, чистый доход снижается на 1,53%.

Надежность статистического  моделирования выполним на основе F -критерия Фишера. Технология использования данного критерия приведена в п.п. 1.2.

Теоретическое значение критерия Фишера F_T определяется из соотношения факторной D_{факторная}  и остаточной D_ост дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы по формуле:

 

 

где n – число наблюдений; m- число объединяющих переменных (m=2)      

Критическое значение F_крит определяется по статистическим таблицам и для уровня значимости а = 0, 05 равняется 4,74. Так как F_т> F_крит, то нулевая гипотеза не отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается статистически значимым.

Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии  b₁ и b₂ сводится к сопоставлению численного значения этих коэффициентов  с величиной их случайных ошибок  m_b1  и  m_b2 по зависимости:

                                                                                                         (13)

Рабочая формула для расчета  теоретического значения t- статистики имеет вид:

                                                                                (14)

где парные   коэффициенты корреляции и коэффициент множественной 
корреляции рассчитываются по зависимостям:

 

 

 

= 0,6

Тогда теоретически значения t-статистик соответственно равны:

 

 

Поскольку критическое  значение   t- статистики, определенное по статистическим таблицам для уровня значимости α =0,05 равно t_крит =2,36 больше по абсолютной величине чем= - 2,4, то нулевая гипотеза не отвергается и объясняющая переменная x₁ является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии. И наоборот, для второго коэффициента регрессии > t_крит (3 >2,36) и объясняющая переменная х₂ является статистически значимой.

Для определения  средней ошибки аппроксимации воспользуемся зависимостью (4). Для удобства расчетов преобразуем таблицу 7 к виду таблицы 8. В данной таблице в колонке рассчитаны текущие значения объясняющей переменной   с использованием зависимости (12 ).

 

 

Таблица 8 - К расчету средней ошибки аппроксимации

	№ пл	у	х1	х2	ŷ
1.	3,0	18,0	6,5	1,1		0,633
2.	6,5	107,9	50,4	6,1		0,062
3.	3,3	16,7	15,4	4,4		0,333
4.	0,1	79,6	29,6	2,0		19
5.	3,6	16,2	13,3	3,7		0,028
6.	1,5	5,9	5,9	2,3		0,533
7.	5,5	53,1	27,1	4,3		0,218
8.	2,4	18,8	11,2	2,7		0,125
9.	3,0	35,3	16,4	2,6		0,133
10.	4,2	71,9	32,5	4,0		0,048
Σ	33,1	423,4	208,3	33,2		21,113

 

               Тогда средняя ошибка аппроксимации равна:

21,113*100%=211,13%

Значительная  ошибка объясняется четвертым  и  последним значением последней  колонки. Исключая последнее значение из анализа, можно показать, что средняя  ошибка аппроксимации в данном случае не превысит 15%, что также является свидетельством достоверности и  адекватности полученной эконометрической модели реальному процессу.

Заключение

1. Сформирована эконометрическая модель в виде линейного уравнения парной регрессии, связывающая величину ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х

ŷ= 326-0,52х.

2. На основании анализа численного значения коэффициента корреляции r_yx =0,65 установлено наличие статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у. Показано, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет 58,07%.

3. Путем расчета коэффициента эластичности показано, что при изменении прожиточного минимума на 1% величина ежемесячной пенсии снижается на 0,44%

4. Рассчитана средняя ошибка аппроксимации статистических данных линейным уравнением парной регрессии, которая составила 2,32%, что является вполне допустимой величиной.

5. С использованием F-критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически незначимым, и неадекватно описывает изучаемое явление связи величины ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х.

6. Сформирована эконометрическая модель множественной линейной регрессии, связывающая величину чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала х₁ и использованным капиталом х₂

ŷ = 0,9 - 0,12х₁ + 0,36х₂

7. Путем расчета коэффициентов эластичности показано, что при изменении оборота капитала на 1% величина чистого дохода компании уменьшается на  1,53%, а при изменении использованного капитала на 1% величина чистого дохода компании увеличивается на 2,27%.

8. С использованием t - критерия выполнена оценка статистической значимость коэффициентов регрессии. Установлено, что объясняющая переменная x₁ является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии в тоже время объясняющая переменная х₂ является статистически значимой.

9. С использованием F- критерия установлено, что полученное уравнение 
множественной регрессии в целом является статистически значимым, и адекватно 
описывает изучаемое явление связи величины чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала x₁ и использованным капиталом х₂.

10. Рассчитана средняя ошибка аппроксимации статистических данных 
линейным уравнением множественной регрессии, которая составила величину 
211,13% . Исключая последнее значение из анализа, можно показать, что средняя ошибка аппроксимации в данном случае не превысит 15%, что также является свидетельством достоверности и адекватности полученной эконометрической модели реальному процессу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

1. Веденеева Е. А. Функции и формулы Excel 2007. Библиотека пользователя. – Питер,2008.
2. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.:ИНФРА-М, 2010.
3. Елисеева И.И. Эконометрика.– М.: Финансы и статистика, 2006.
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Эконометрика: Учебник для вузов . – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2010.
5. Степанов В.Г. Эконометрика: Курс лекций – М.: МИЭМП, 2007.
6. Харламов С.А. Эконометрика: Учебная программа для студентов высших учебных заведений. – М.: МИЭМП, 2007.