Парная регрессия и корреляция

 

    Значения  параметров регрессии В и С  составили:

    Получено  линейное уравнение:

    Проведем  потенцирование полученного уравнения  и запишем его в обычной  форме:

    

    Средняя ошибка аппроксимации А равна 5,01. Это говорит о том, что отклонение расчетных значений от фактических составляет 5,01%.

    Коэффициент детерминации R^2=0,54. Это говорит о том, что вариация переменной y заметно объясняется вариацией переменной x.

    Коэффициент корреляции r_xy =0,74. Таким образом, теснота связи не очень сильная между х и у.

    На  следующем этапе в соответствии с заданием необходимо определить степень  связи объясняющей переменной x с зависимой переменной y, используя коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности для модели парной линейной регрессии определяется в виде:

Э_yx=b*(x_ср/y_ср)

    Тогда        Э_yx =0,98

    Следовательно, при изменении расходов на 1% величина доходов изменяется на 0,98%.

    На  последнем этапе выполним более  строгую оценку статистической надежности моделирования с помощью F-критерия Фишера. Для этого проверим нулевую гипотезу H₀ о статистической незначимости полученного уравнения регрессии по условию: если при заданном уровне значимости α = 0,05 теоретическое (расчетное) значение F-критерия (Fфакт ) больше его критического значения (Fкрит ) (табличного), то нулевая гипотеза отвергается и полученное уравнение регрессии принимается значимым.

    F-критерий Фишера = 14,15. А Fкрит=4,75. Поскольку Fфакт >Fкрит , то нулевая гипотеза отвергается, и полученное регрессионное уравнение статистически значимо.

 

    Построению степенной модели   предшествует процедура линеаризации переменных. Эта процедура производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lgy=lga+b*lgx;

Y=C+b*X

где Y=lgy, X=lgx, C=lga.

    Для расчетов используем след. данные:

 

 

    

1,037

    

-0,148

    Получим линейное уравнение: Y=-0,148+1,037*X.

    Выполнив  его потенцирование, получим:

    

    Средняя ошибка аппроксимации А равна 0,582. Это говорит о том, что отклонение расчетных значений от фактических составляет 0,582%.

    Коэффициент детерминации R^2=0,93. Это говорит о том, что вариация переменной y в большей степени объясняется вариацией переменной x.

    Коэффициент корреляции r_xy =0,96. Таким образом, теснота связи сильная между х и у.

    На  следующем этапе в соответствии с заданием необходимо определить степень  связи объясняющей переменной x с зависимой переменной y, используя коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности для модели парной линейной регрессии определяется в виде:

Э_yx=b*(x_ср/y_ср)

    Тогда        Э_yx =1,02

    Следовательно, при изменении расходов на 1% величина доходов изменяется на 1,02%. 

    На  последнем этапе выполним более  строгую оценку статистической надежности моделирования с помощью F-критерия Фишера. Для этого проверим нулевую гипотезу H₀ о статистической незначимости полученного уравнения регрессии по условию: если при заданном уровне значимости α = 0,05 теоретическое (расчетное) значение F-критерия (Fфакт ) больше его критического значения (Fкрит ) (табличного), то нулевая гипотеза отвергается и полученное уравнение регрессии принимается значимым.

    F-критерий Фишера = 154. А Fкрит=4,75. Поскольку Fфакт >Fкрит , то нулевая гипотеза отвергается, и полученное регрессионное уравнение статистически значимо. 

 

 

    

 

    Лучшим  уравнением регрессии из всех трех является линейное уравнение регрессии  y^ = -550,318184+1,080581253 *x.

 

    Оценку  статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью  t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

    Выдвигаем гипотезу H₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a=b= r_xy =0.

    tтабл для числа степеней свободы n-2=14-2=12 и α=0,05 составит 2,1788.

    Определим случайные ошибки m_a m_b  m_rxy:

= 0,025576285 

=  297,33 

= 0,103051235 

    Тогда

  8,242895011

  9,064540009

  39,10283763 

    Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение, поэтому гипотеза H₀ отклоняется, т.е. a, b и r не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы. 

    Рассчитаем  доверительный интервал для a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

  647,8173264

  0,05572561

     Доверительные интервалы:

 

    Анализ  верхней и нижней границ доверительных  интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-0,05=0,95 параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

    Полученные  оценки уравнения регрессии позволяют  использовать его для прогноза. Если прогнозное значение расходов консолидированных бюджетов субъектов РФ составит:   9704,9 млн.руб., тогда прогнозное значение расходов консолидированных бюджетов субъектов РФ составит:

 -550,318184+1,080581253*9704,9=9936,622533

Ошибка  прогноза составит:

= 783,553284

где

= 756,641875 

    Предельная  ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

  1707,2059

    Доверительный интервал прогноза: 

    Выполненный прогноз доходов консолидированных субъектов РФ оказался надежным (р=1-0,05=0,95), но неточным, т.к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,41:

=1,41