Автор: Пользователь скрыл имя, 19 Апреля 2013 в 13:41, курсовая работа
Работа будет произведена по следующему плану, каждый пункт которого представляет собой отдельную задачу:
• Исследование исходных данных и приведение ряда к стационарному в случае нестационарности исходного ряда
• Идентификация модели
• Рассмотрение идентифицированной модели и близких к ней
• Выбор модели, наилучшим образом описывающей процесс
• Построение прогноза по выбранной модели
• Возврат к исходному ряду
Полученные по модели значения в конце периода близки к фактическим значениям конечных разностей. Для оценки адекватности данным более наглядным будет использование графика.
Как видно на графике (рис. 7), значения, полученные по модели, близки к фактическим значениям конечных разностей третьего порядка, но «опаздывают» на один шаг – особенно заметны отличия в середине ряда, где фактические значения сильнее отклоняются от своего среднего значения. Это связано с тем, что модель скользящего среднего строится по ошибкам прошлых периодов, поэтому в случае резкого скачка в исходных данных модель не сможет его предугадать, и в следующем периоде будет получено значение, близкое к «скачку». Следует отметить, что в конце периода фактические значения не сильно отклоняются от своего среднего, и данные, рассчитанные по модели, близки к фактическим. Это позволяет рассчитывать на адекватный прогноз по модели.
Рис. 7. Конечные разности третьего порядка и модель МА(2)
Прогноз по модели МА(2) считается как , где i – номер прогнозируемого периода. Поскольку модель скользящего среднего строится по ошибкам, прогноз можно построить на ограниченный период времени: будущие ошибки неизвестны и не могут быть использованы в расчётах. В частности, для модели МА(2) прогноз может быть построен на два периода. Результаты представлены в таблице 20.
Таблица 20. Прогнозные значения конечных разностей
Дата |
Прогноз |
01.01.2011 |
-0,544291 |
02.01.2011 |
0,205299 |
В соответствии с моделью МА(2) процесс описывается уравнением:
С другой стороны:
Объединим два уравнения в одно и перенесём регрессоры в одну сторону:
В соответствии с полученной моделью рассчитаны данные для исходного ряда. В таблице 21 представлены результаты для последних десяти дней 2010 года.
Таблица 21. Смоделированный и фактический курс акций British Petroleum за 22-31 декабря 2010 года
Дата |
Фактические данные |
Модель |
22.12.2010 |
43,61 |
43,61142431 |
23.12.2010 |
44,00 |
43,68235904 |
24.12.2010 |
44,00 |
44,08660048 |
25.12.2010 |
44,00 |
44,08395011 |
26.12.2010 |
44,00 |
44,08141926 |
27.12.2010 |
43,97 |
44,07900268 |
28.12.2010 |
44,11 |
44,04544419 |
29.12.2010 |
43,95 |
44,18913526 |
30.12.2010 |
43,89 |
44,02015424 |
31.12.2010 |
44,17 |
43,95574309 |
Более наглядно представление модели и фактических данных в виде графика – рис. 8.
Рис. 8. Смоделированный и фактический курс акций British Petroleum за 2010 год
В начальном периоде (примерно до середины января) модель заметно отклоняется от фактических данных, но в дальнейшем графики модели и фактических значений становятся почти неразличимыми. Это свидетельствует о том, что построенная модель
хорошо описывает процесс изменения курса акций British Petroleum.
С помощью Eviews был получен прогноз для модели МА(2) для конечных разностей. То есть, были рассчитаны значения , где i – это номер прогнозируемого дня, а t равно 365.
Таким образом, прогноз на первое января, в соответствии с моделью для исходного ряда считается по формуле:
Для прогноза на один день достаточно всей имеющейся информации. Такой прогноз является безусловным, и он окажется наиболее точным, поскольку зависит только от уже известных данных.
Прогноз
на 01.01.2011 будет обладать ошибкой. При
подстановке полученного
После подстановки формулы для расчёта в соответствующую формулу для и приведения подобных членов она примет вид:
.
То есть, на утроенную ошибку, «унаследованную» от прогноза на 01.01.2011, накладывается новая ошибка, вызванная появлением .
Таким образом, прогноз на 02.01.2011 характеризуется значительно большей ошибкой, чем прогноз на 01.01.2011. То есть точность прогноза на 02.01.2011, по сравнению с прогнозом на 01.01.2011, уменьшится.
На момент написания курсовой работы курс акций British Petroleum на 1 и 2 января 2011 года уже известен, поэтому можно сравнить получившиеся прогнозные и реальные значения.
Таблица
22. Апостериорное сравнение
Дата |
Прогноз |
Фактическое значение |
01.01.2011 |
44,2457091 |
44,17 |
02.01.2011 |
44,3224263 |
45,15 |
Как видно из таблицы, прогноз оказался довольно-таки точным. Фактическая ошибка прогноза на первое января составила -0,0757, а на второе января 0,82757. То есть, как и ожидалось, ошибка прогноза на первое января оказалась небольшой, а ошибка прогноза на второе января значительно её превысила.
В данной работе после исследования данных о курсе акций British Petroleum за период с 01.01.2010 по 31.12.2010 и приведения ряда данных к стационарному с помощью конечных разностей третьего порядка было построено несколько моделей. Из них была выбрана лучшая (МА(2)), характеризующаяся наличием автокорреляции квадратов остатков. Соответствующая ей модель типа ARCH избавила модель от коррелированности квадратов остатков, но сама характеризовалась коррелированной ошибкой. Кроме того, в силу выявленного тестом Сиджела – Тьюки постоянства дисперсии процесс предпочтительнее описывать моделью с постоянной дисперсией ошибки. По этим причинам лучшей из всех рассмотренных моделей была признана МА(2).
По ней был построен прогноз на два дня, а именно на 01.01.2011 и 02.01.2011. При этом ошибка прогноза на 01.01.2011 ожидалась меньшей, чем ошибка прогноза на 02.01.2011. В дальнейшем апостериорное сравнение прогноз с реальными данными подтвердило априорные предположения относительно прогноза.
Итак, полученная модель хорошо описывает процесс и позволяет строить реалистичный прогноз на два дня, причём прогноз на первый день оказывается значительно более точным. Подобные модели (основывающиеся на длинных рядах и дающие адекватный прогноз на один временной период) характерны для финансовой эконометрики, изучающей, помимо всего прочего, и курсы акций.
Использованные в курсовой работе данные взяты с сайта www.bp.com. В качестве данных за субботу использованы данные за пятницу, в качестве данных за воскресенье – данные за понедельник. Данные за период, соответствующий рождественским праздникам (24-26 декабря), рассчитаны как линейная аппроксимация.
Дата |
Цена акций, $ |
Дата |
Цена акций, $ |
Дата |
Цена акций, $ |
Дата |
Цена акций, $ |
01.01.2010 |
58,15 |
03.04.2010 |
57,74 |
04.07.2010 |
29,35 |
04.10.2010 |
40,82 |
02.01.2010 |
58,34 |
04.04.2010 |
58,51 |
05.07.2010 |
31,91 |
05.10.2010 |
41,33 |
03.01.2010 |
58,52 |
05.04.2010 |
58,51 |
06.07.2010 |
31,91 |
06.10.2010 |
41,61 |
04.01.2010 |
58,71 |
06.04.2010 |
59,36 |
07.07.2010 |
33,12 |
07.10.2010 |
41,52 |
05.01.2010 |
58,89 |
07.04.2010 |
58,78 |
08.07.2010 |
33,74 |
08.10.2010 |
41,92 |
06.01.2010 |
59,08 |
08.04.2010 |
58,97 |
09.07.2010 |
34,05 |
09.10.2010 |
41,92 |
07.01.2010 |
59,26 |
09.04.2010 |
59,46 |
10.07.2010 |
34,05 |
10.10.2010 |
41,24 |
08.01.2010 |
59,45 |
10.04.2010 |
59,46 |
11.07.2010 |
36,76 |
11.10.2010 |
41,24 |
09.01.2010 |
59,63 |
11.04.2010 |
59,34 |
12.07.2010 |
36,76 |
12.10.2010 |
41,26 |
10.01.2010 |
59,82 |
12.04.2010 |
59,34 |
13.07.2010 |
36,88 |
13.10.2010 |
41,41 |
11.01.2010 |
60,00 |
13.04.2010 |
59,29 |
14.07.2010 |
36,18 |
14.10.2010 |
41,02 |
12.01.2010 |
61,50 |
14.04.2010 |
60,00 |
15.07.2010 |
38,92 |
15.10.2010 |
40,62 |
13.01.2010 |
61,80 |
15.04.2010 |
60,57 |
16.07.2010 |
37,10 |
16.10.2010 |
40,62 |
14.01.2010 |
61,73 |
16.04.2010 |
59,88 |
17.07.2010 |
37,10 |
17.10.2010 |
41,49 |
15.01.2010 |
61,64 |
17.04.2010 |
59,88 |
18.07.2010 |
35,75 |
18.10.2010 |
41,49 |
16.01.2010 |
61,64 |
18.04.2010 |
59,48 |
19.07.2010 |
35,75 |
19.10.2010 |
40,94 |
17.01.2010 |
61,64 |
19.04.2010 |
59,48 |
20.07.2010 |
35,20 |
20.10.2010 |
41,10 |
18.01.2010 |
62,32 |
20.04.2010 |
60,48 |
21.07.2010 |
36,13 |
21.10.2010 |
40,65 |
19.01.2010 |
62,32 |
21.04.2010 |
60,09 |
22.07.2010 |
36,23 |
22.10.2010 |
40,50 |
20.01.2010 |
61,06 |
22.04.2010 |
59,55 |
23.07.2010 |
38,86 |
23.10.2010 |
40,50 |
21.01.2010 |
59,57 |
23.04.2010 |
59,88 |
24.07.2010 |
38,86 |
24.10.2010 |
40,21 |
22.01.2010 |
57,87 |
24.04.2010 |
59,88 |
25.07.2010 |
38,65 |
25.10.2010 |
40,21 |
23.01.2010 |
57,87 |
25.04.2010 |
57,91 |
26.07.2010 |
38,65 |
26.10.2010 |
40,65 |
24.01.2010 |
58,55 |
26.04.2010 |
57,91 |
27.07.2010 |
38,00 |
27.10.2010 |
40,10 |
25.01.2010 |
58,55 |
27.04.2010 |
56,33 |
28.07.2010 |
37,71 |
28.10.2010 |
40,60 |
26.01.2010 |
58,49 |
28.04.2010 |
57,34 |
29.07.2010 |
38,47 |
29.10.2010 |
40,83 |
27.01.2010 |
58,06 |
29.04.2010 |
52,56 |
30.07.2010 |
38,47 |
30.10.2010 |
40,83 |
28.01.2010 |
57,33 |
30.04.2010 |
52,15 |
31.07.2010 |
38,47 |
31.10.2010 |
40,77 |
29.01.2010 |
56,12 |
01.05.2010 |
52,15 |
01.08.2010 |
39,42 |
01.11.2010 |
40,77 |
30.01.2010 |
56,12 |
02.05.2010 |
50,19 |
02.08.2010 |
39,42 |
02.11.2010 |
41,42 |
31.01.2010 |
57,23 |
03.05.2010 |
50,19 |
03.08.2010 |
40,00 |
03.11.2010 |
42,37 |
01.02.2010 |
57,23 |
04.05.2010 |
51,20 |
04.08.2010 |
39,39 |
04.11.2010 |
43,91 |
02.02.2010 |
55,46 |
05.05.2010 |
50,99 |
05.08.2010 |
40,68 |
05.11.2010 |
43,79 |
03.02.2010 |
55,17 |
06.05.2010 |
50,40 |
06.08.2010 |
41,33 |
06.11.2010 |
43,79 |
04.02.2010 |
53,48 |
07.05.2010 |
49,06 |
07.08.2010 |
41,33 |
07.11.2010 |
43,23 |
05.02.2010 |
53,18 |
08.05.2010 |
49,06 |
08.08.2010 |
40,86 |
08.11.2010 |
43,23 |
06.02.2010 |
53,18 |
09.05.2010 |
48,80 |
09.08.2010 |
40,86 |
09.11.2010 |
43,00 |
07.02.2010 |
52,43 |
10.05.2010 |
48,80 |
10.08.2010 |
40,13 |
10.11.2010 |
43,53 |
08.02.2010 |
52,43 |
11.05.2010 |
48,74 |
11.08.2010 |
38,79 |
11.11.2010 |
43,68 |
09.02.2010 |
53,61 |
12.05.2010 |
48,50 |
12.08.2010 |
38,38 |
12.11.2010 |
42,99 |
10.02.2010 |
53,65 |
13.05.2010 |
48,10 |
13.08.2010 |
38,93 |
13.11.2010 |
42,99 |
11.02.2010 |
54,80 |
14.05.2010 |
46,87 |
14.08.2010 |
38,93 |
14.11.2010 |
43,04 |
12.02.2010 |
54,67 |
15.05.2010 |
46,87 |
15.08.2010 |
38,40 |
15.11.2010 |
43,04 |
13.02.2010 |
54,67 |
16.05.2010 |
45,57 |
16.08.2010 |
38,40 |
16.11.2010 |
41,78 |
14.02.2010 |
54,67 |
17.05.2010 |
45,57 |
17.08.2010 |
38,05 |
17.11.2010 |
41,60 |
15.02.2010 |
55,95 |
18.05.2010 |
45,38 |
18.08.2010 |
37,30 |
18.11.2010 |
42,21 |
16.02.2010 |
55,95 |
19.05.2010 |
45,27 |
19.08.2010 |
36,24 |
19.11.2010 |
42,03 |
17.02.2010 |
54,24 |
20.05.2010 |
44,60 |
20.08.2010 |
36,40 |
20.11.2010 |
42,03 |
18.02.2010 |
54,74 |
21.05.2010 |
43,86 |
21.08.2010 |
36,40 |
21.11.2010 |
41,64 |
19.02.2010 |
54,30 |
22.05.2010 |
43,86 |
22.08.2010 |
36,12 |
22.11.2010 |
41,64 |
20.02.2010 |
54,30 |
23.05.2010 |
41,86 |
23.08.2010 |
36,12 |
23.11.2010 |
40,89 |
21.02.2010 |
54,25 |
24.05.2010 |
41,86 |
24.08.2010 |
34,92 |
24.11.2010 |
41,47 |
22.02.2010 |
54,25 |
25.05.2010 |
42,56 |
25.08.2010 |
35,25 |
25.11.2010 |
41,47 |
23.02.2010 |
53,22 |
26.05.2010 |
42,41 |
26.08.2010 |
35,42 |
26.11.2010 |
41,00 |
24.02.2010 |
53,58 |
27.05.2010 |
45,38 |
27.08.2010 |
35,56 |
27.11.2010 |
41,00 |
25.02.2010 |
52,89 |
28.05.2010 |
42,95 |
28.08.2010 |
35,56 |
28.11.2010 |
40,59 |
26.02.2010 |
53,21 |
29.05.2010 |
42,95 |
29.08.2010 |
35,26 |
29.11.2010 |
40,59 |
27.02.2010 |
53,21 |
30.05.2010 |
42,95 |
30.08.2010 |
35,26 |
30.11.2010 |
40,00 |
28.02.2010 |
53,98 |
31.05.2010 |
36,52 |
31.08.2010 |
34,83 |
01.12.2010 |
40,62 |
01.03.2010 |
53,98 |
01.06.2010 |
36,52 |
01.09.2010 |
36,16 |
02.12.2010 |
41,32 |
02.03.2010 |
54,00 |
02.06.2010 |
37,66 |
02.09.2010 |
36,57 |
03.12.2010 |
41,49 |
03.03.2010 |
54,86 |
03.06.2010 |
39,25 |
03.09.2010 |
37,43 |
04.12.2010 |
41,49 |
04.03.2010 |
55,09 |
04.06.2010 |
37,16 |
04.09.2010 |
37,43 |
05.12.2010 |
42,81 |
05.03.2010 |
55,78 |
05.06.2010 |
37,16 |
05.09.2010 |
37,43 |
06.12.2010 |
42,81 |
06.03.2010 |
55,78 |
06.06.2010 |
36,76 |
06.09.2010 |
37,19 |
07.12.2010 |
42,89 |
07.03.2010 |
56,17 |
07.06.2010 |
36,76 |
07.09.2010 |
37,19 |
08.12.2010 |
43,27 |
08.03.2010 |
56,17 |
08.06.2010 |
34,66 |
08.09.2010 |
38,37 |
09.12.2010 |
42,79 |
09.03.2010 |
56,04 |
09.06.2010 |
29,20 |
09.09.2010 |
38,02 |
10.12.2010 |
43,24 |
10.03.2010 |
56,19 |
10.06.2010 |
32,78 |
10.09.2010 |
38,22 |
11.12.2010 |
43,24 |
11.03.2010 |
56,60 |
11.06.2010 |
33,97 |
11.09.2010 |
38,22 |
12.12.2010 |
43,43 |
12.03.2010 |
56,86 |
12.06.2010 |
33,97 |
12.09.2010 |
38,35 |
13.12.2010 |
43,43 |
13.03.2010 |
56,86 |
13.06.2010 |
30,67 |
13.09.2010 |
38,35 |
14.12.2010 |
44,44 |
14.03.2010 |
56,58 |
14.06.2010 |
30,67 |
14.09.2010 |
38,52 |
15.12.2010 |
43,86 |
15.03.2010 |
56,58 |
15.06.2010 |
31,39 |
15.09.2010 |
38,18 |
16.12.2010 |
43,75 |
16.03.2010 |
57,18 |
16.06.2010 |
31,85 |
16.09.2010 |
38,27 |
17.12.2010 |
43,25 |
17.03.2010 |
58,15 |
17.06.2010 |
31,71 |
17.09.2010 |
38,03 |
18.12.2010 |
43,25 |
18.03.2010 |
58,15 |
18.06.2010 |
31,76 |
18.09.2010 |
38,03 |
19.12.2010 |
43,68 |
19.03.2010 |
57,69 |
19.06.2010 |
31,76 |
19.09.2010 |
38,68 |
20.12.2010 |
43,68 |
20.03.2010 |
57,69 |
20.06.2010 |
30,33 |
20.09.2010 |
38,68 |
21.12.2010 |
43,54 |
21.03.2010 |
57,35 |
21.06.2010 |
30,33 |
21.09.2010 |
38,59 |
22.12.2010 |
43,61 |
22.03.2010 |
57,35 |
22.06.2010 |
29,68 |
22.09.2010 |
38,09 |
23.12.2010 |
44,00 |
23.03.2010 |
57,95 |
23.06.2010 |
29,67 |
23.09.2010 |
38,13 |
24.12.2010 |
43,99 |
24.03.2010 |
57,23 |
24.06.2010 |
28,74 |
24.09.2010 |
38,46 |
25.12.2010 |
43,99 |
25.03.2010 |
56,53 |
25.06.2010 |
26,97 |
25.09.2010 |
38,46 |
26.12.2010 |
43,98 |
26.03.2010 |
56,69 |
26.06.2010 |
26,97 |
26.09.2010 |
38,71 |
27.12.2010 |
43,97 |
27.03.2010 |
56,69 |
27.06.2010 |
27,05 |
27.09.2010 |
38,71 |
28.12.2010 |
44,11 |
28.03.2010 |
56,89 |
28.06.2010 |
27,05 |
28.09.2010 |
39,29 |
29.12.2010 |
43,95 |
29.03.2010 |
56,89 |
29.06.2010 |
27,67 |
29.09.2010 |
40,00 |
30.12.2010 |
43,89 |
30.03.2010 |
56,83 |
30.06.2010 |
28,88 |
30.09.2010 |
41,17 |
31.12.2010 |
44,17 |
31.03.2010 |
57,07 |
01.07.2010 |
29,39 |
01.10.2010 |
41,95 | ||
01.04.2010 |
57,74 |
02.07.2010 |
29,35 |
02.10.2010 |
41,95 | ||
02.04.2010 |
57,74 |
03.07.2010 |
29,35 |
03.10.2010 |
40,82 |
Деление на тренд
Тренд, описывающий исходный ряд:
Преобразование заключается в делении фактическое значение на соответствующее ему трендовое значение.
Проверю, не представляет ли собой данный ряд процесс случайного блуждания, для чего проведу тест Дики–Фуллера.
Значение статистики Дики-Фуллера превышает все приведённые в таблице критические значения. Это значит, что гипотеза о том, что ряд носит характер случайного блуждания, отвергнута быть не может.
Если построить по данному ряду модель АР(1), то будут получены результаты:
Согласно данной модели процесс описывается уравнением
Коэффициент при предыдущем значении ряда в модели равен 0,9994, то есть, почти единице, что свидетельствует о возможном характере случайного блуждания процесса.
Первый коэффициент частной корреляции выходит за пределы доверительной трубки, а последующие значения коэффициентов частной корреляции, за исключением девятого и, может быть, десятого – находятся в пределах доверительной трубки. При этом значения коэффициентов автокорреляции ряда выходят за пределы доверительной трубки и, с ростом лага, постепенно уменьшаются. Вид автокорреляционной и частной корреляционной функций для данного ряда говорит о том, что лучшей моделью для данного ряда, вероятнее всего, будет ар(1).
Всё это говорит, что гипотезу о том, что данный процесс представляет собой случайное блуждание, отклонить нельзя.
Данное преобразование нецелесообразно.
В Eviews соответствующая этому ряду серия называется «delenie».
Прирост
Прирост рассчитывается по формуле
.
Автокорреляция и частная корреляция получившегося процесса:
Первые три значения коэффициента корреляции и частной корреляции находятся в пределах доверительной трубки, а соответствующие им значения Q-Stat (0,6565; 1,1608; 2,8199) меньше критических (3,84146; 5,99146; 7,81473 соответственно), то есть первые три коэффициента автокорреляции ряда статистически равны 0.
Четвёртое значение Q-Stat (10,508) уже превышает критическое (9,48773), что означает: среди первых четырёх коэффициентов автокорреляции ряда хотя бы один окажется отличным от нуля (при уровне значимости 0,05). Тем не менее, по ряду «прирост» построить модель, зависящую от прошлых значений ряда будет проблематично: ведь зависимости текущего значения от предшествующих первых трёх нет, а корреляция четвёртого, восьмого, девятого и десятого порядков может оказаться наведённой.
Поэтому данное преобразование ряда не может быть выбрано для дальнейшего исследования.
В Eviews соответствующая этому ряду серия называется «prirost».
В силу построения моделей для оценки статистической значимости коэффициентов модели дисперсии ошибки может быть использован критерий Стьюдента.
Построение моделей данного типа я начала с MA(2)ARCH(9). Статистика для неё представлена в таблице:
В соответствии с данной моделью процесс описывается уравнением:
А уравнение,
характеризующее дисперсию
Модель дисперсии ошибки содержит отрицательный коэффициент, что недопустимо, так как может повлечь получение отрицательного значения дисперсии.
Дальше я построила MA(2)ARCH(8):
В соответствии с данной моделью процесс описывается уравнением:
А уравнение,
характеризующее дисперсию
Модель дисперсии ошибки содержит отрицательные коэффициенты, что недопустимо, так как может повлечь получение отрицательного значения дисперсии.
MA(2)ARCH(7):
В соответствии с данной моделью процесс описывается уравнением:
А уравнение,
характеризующее дисперсию
Все коэффициенты в модели дисперсии положительны, значения критериев Акайке и Шварца меньше, чем для модели МА(2). Тем не менее, вероятность статистической незначимости коэффициента при равна 0,6975. Возможно, в ходе рассмотрения других моделей будет найдена более удачная.
MA(2)ARCH(6):
В соответствии с данной моделью процесс описывается уравнением:
А уравнение,
характеризующее дисперсию
эконометрическое моделирование прогноз акция
Модель дисперсии ошибки содержит отрицательные коэффициенты, что недопустимо, так как может повлечь получение отрицательного значения дисперсии.
MA(2)ARCH(5):
Модель подробно описана в самой курсовой. Значение критерия Акайке 2,322696, а критерия Шварца 2,408699 – то есть они оба меньше, чем для модели MA(2)ARCH(7). Данная модель так же, как и MA(2)ARCH(7), содержит коэффициент, статистическая значимость которого сомнительна (коэффициент при статистически незначим при уровне значимости не превышающем 0,7321). Поскольку модели MA(2)ARCH(5) и MA(2)ARCH(7), в целом, похожи, выбрать следует MA(2)ARCH(5), так как она содержит меньшее число регрессоров и значения критериев Акайке и Шварца у неё меньше.