Моделирование и прогнозирование индекса потребительских цен с учетом рисков экономической нестабильности

 

Критические значения, представленные в таблице 6, представляют собой квантиль хи квадрат распределения уровня значимости 0,05 со степенями свободы, равными количеству включаемых лагов («t» в таблице). Все значения Q-Stat (таблица 5) для ряда, полученного из исходного с помощью конечных разностей, превышают соответствующие критические значения (таблица 6). Это свидетельствует о наличии автокорреляции в полученном ряду, что позволит построить по нему модель, где в роли регрессоров выступают предыдущие значения ряда либо предыдущие значения ошибок модели.

Подобный вид автокорреляционной и частной автокорреляционной функций (таблица 5) характерен для моделей скользящего среднего второго порядка.

Поскольку ряд конечных разностей имеет  распределение, отличное от нормального, критерий Стьюдента для определения статистической значимости коэффициентов в моделях использован быть не может.

 

МА(2)

 

Таблица 7. Модель МА(2)

В соответствии с данной моделью процесс описывается  уравнением:

 

 

S.D. = 2,258957 > 0,909794 = S.E, то есть модель снижает дисперсию процесса.

 

Таблица 8. Автокорреляция остатков модели МА(2)

 

Коэффициенты  автокорреляции и частной автокорреляции ошибки модели (таблица 8), за исключением десятого, находятся в пределах доверительной трубки.

Все значения Q-Stat (таблица 8), вплоть до девятого включительно, меньше критических значений. В частности, девятое значение Q-Stat равно 16,094, что меньше критического значения, равного 16,919. Поэтому нельзя отклонить гипотезу о равенстве нулю первых девяти коэффициентов автокорреляции ошибки.

Десятое значение Q-Stat равно 26,59, что превышает критическое значение (18,307). Отсюда следует вывод о неравенстве нулю хотя бы одного из первых десяти коэффициентов автокорреляции ошибки.

Поскольку первые девять коэффициентов  автокорреляции ошибки модели статистически  равны нулю, можно считать, что  выход за пределы доверительной трубки значения десятого коэффициента автокорреляции ошибки вызван наведённой корреляцией.

Исходя  из вида автокорреляционной и частной корреляционной функций ошибки модели, а также значений Q-Stat, можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции ошибки модели.

Среднее значение ошибки модели равно -0,026812, что  близко к нулю. Среднеквадратическое отклонение ошибки равно 0,9081.

Таким образом, ошибка модели представляет собой «белый шум».

 

Таблица 9. Автокорреляция квадратов остатков модели МА(2)

 

Значения  не всех коэффициентов автокорреляции квадратов ошибки (таблица 9) находятся в пределах доверительной трубки: в частности, первое, третье, четвёртое, девятое и десятое значения коэффициентов автокорреляции квадратов ошибки выходят за пределы доверительной трубки. Первое значение Q-Stat (9,0138) уже превышает критическое (3,84146). Следовательно, нельзя принять гипотезу о равенстве нулю первого коэффициента автокорреляции квадратов ошибки модели. Итак, квадраты остатков модели коррелированны.

Нельзя  утверждать, что именно МА(2) лучшим образом описывает процесс. Поэтому  для сравнения далее будут рассмотрены близкие к МА(2) модели, содержащие один дополнительный регрессор: МА(3) и ARMA(1, 2).

МА(3)

 

Таблица 10. Модель МА(3)

 

Процесс в соответствии с данной моделью  описывается уравнением:

 

 

S.D.= 2,25896 > 0,90919 = S.D., то есть модель снизила дисперсию процесса.

 

Таблица 11. Автокорреляция остатков модели МА(3)

 

Все значения коэффициентов автокорреляции и  частной корреляции ошибки модели, за исключением десятого, находятся в пределах доверительной трубки. Все значения Q-Stat вплоть до девятого включительно меньше критических значений.

Девятое значение Q-Stat составляет 16,622, что меньше критического значения, равного 16,919. Поэтому нельзя отклонить гипотезу о равенстве нулю первых девяти коэффициентов автокорреляции ошибки. Десятое значение Q-Stat равно 25,49, что превышает критическое значение (18,307). Отсюда следует вывод о неравенстве нулю хотя бы одного из первых десяти коэффициентов корреляции ошибки.

Поскольку первые девять коэффициентов автокорреляции ошибки модели статистически равны  нулю, можно считать, что выход значения десятого коэффициента автокорреляции ошибки за пределы доверительной трубки вызван наведённой корреляцией.

На основании  значений коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции ошибки, а также значений Q-Stat, можно сделать вывод о некоррелированности ошибки модели.

Среднее значение ошибки равно -0,043354, что близко к нулю. Среднеквадратическое отклонение ошибки равно 0,9056.

Значит, ошибка модели представляет собой «белый шум».

Таблица 12. Автокорреляция квадратов остатков модели МА(3)

 

Некоторые значения (в частности, первое, третье, четвёртое, девятое и десятое) коэффициентов автокорреляции и коэффициентов частной корреляции квадратов ошибки модели МА(3) выходят за пределы доверительной трубки (таблица 12). Первое значение Q-Stat (6,2798) уже превышает критическое (3,84146). Следовательно, нельзя принять гипотезу о равенстве нулю первого коэффициента автокорреляции квадратов ошибки модели. Итак, квадраты остатков модели коррелированны.

Сравним модель МА(3) с моделью МА(2). Для  этого можно применить критерий Акайке и критерий Шварца, оценивающие качество модели по её соответствию описываемому процессу и по количеству включённых в неё регрессоров. Лучшая модель характеризуется меньшими значениями критериев.

Значение  критерия Акайке для МА(3) равно 2,655727, а значение критерия Шварца для МА(3) 2,687979, в то время как для МА(2) значение критерия Акайке равно 2,654312, а значение критерия Шварца 2,675813. Кроме того, МА(2) включает в себя меньшее число регрессоров.

Хотя  среднеквадратическое отклонение ошибки МА(3) меньше, чем среднеквадратическое отклонение ошибки МА(2), разница (0,0025) несущественна, и не может служить основанием для выбора модели МА(3).

Модель МА(3) не избавила квадраты остатков от автокорреляции, наблюдавшейся в модели МА(2).

По перечисленным  основаниям модель МА(2) предпочтительнее модели МА(3).

ARMA(1, 2)

 

Таблица 13. Модель ARMA(1, 2)

Процесс в соответствии с данной моделью  описывается уравнением:

 

S.D.=2,262092>0,910195=S.E., то есть, модель снижает дисперсию процесса.

 

Таблица 14. Автокорреляция остатков модели ARMA(1, 2)

 

Все значения коэффициентов автокорреляции и  частной корреляции ошибки модели (таблица 14), за исключением десятого, находятся в пределах доверительной трубки. Все значения Q-Stat (таблица 14) вплоть до девятого включительно меньше критических значений. В частности, Q-Stat для 9 лага составляет 15,383, что меньше критического значения, равного 16,919. Поэтому нельзя отклонить гипотезу о равенстве нулю первых девяти коэффициентов автокорреляции ошибки. Q-Stat для 10 лага равна 25,49, что превышает критическое значение (18,307). Отсюда следует вывод о неравенстве нулю хотя бы одного из первых десяти коэффициентов корреляции ошибки.

Поскольку первые девять коэффициентов автокорреляции ошибки модели статистически равны  нулю, можно считать, что выход  значение десятого коэффициента автокорреляции ошибки за пределы доверительной  трубки вызван наведённой корреляцией.

На основании  значений коэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции ошибки, а также значений Q-Stat, можно сделать вывод о некоррелированности ошибки модели.

Среднее значение ошибки равно -0,0402, что близко к нулю. Среднеквадратическое отклонение ошибки модели равно 0,9068.

Значит, ошибка модели представляет собой «белый шум».

 

Таблица 15. Автокорреляция квадратов остатков модели ARMA(1, 2)

 

Некоторые (в частности, первое, третье, четвёртое, девятое и десятое) значения коэффициентов корреляции и частной корреляции (таблица 15) квадратов ошибки модели ARMA(1, 2) выходят за пределы доверительной трубки. Первое значение Q-Stat (7,2141) уже превышает критическое (3,84146). Следовательно, нельзя принять гипотезу о равенстве нулю первого коэффициента автокорреляции квадратов ошибки модели.

Сравним модели МА(2) и ARMA(1, 2).

Значение  критерия Акайке для ARMA(1, 2) равно 2,65796, а значение критерия Шварца для ARMA(1, 2) 2,690277, в то время как для МА(2) значение критерия Акайке равно 2,654312, а значение критерия Шварца 2,675813. Кроме того МА(2) включает в себя меньшее число регрессоров. Хотя среднеквадратическое отклонение ошибки ARMA(1, 2) меньше, чем среднеквадратическое отклонение ошибки МА(2), разница (0,0013) несущественна, и не может служить основанием для выбора модели ARMA(1, 2). Модель ARMA(1, 2) не сняла коррелированность квадратов остатков.

По этим причинам модель МА(2) предпочтительнее модели ARMA(1, 2).

Итог: модель МА(2) оказалась более предпочтительной, чем модели МА(3) и ARMA(1, 2). При этом она характеризуется коррелированными квадратами остатков, поэтому целесообразно рассмотреть соответствующую ей модель типа ARCH.

Модели типа ARCH: MA(2)ARCH(5)

 

Данная  модель оказалась лучшей (поскольку все коэффициенты в уравнении дисперсии положительны, и значение критериев Акайке (2,322696) и Шварца (2,408699) наименьшие: также положительные коэффициенты в модели дисперсии ошибки были у моделей MA(2)ARCH(7) и MA(2)ARCH(4), но MA(2)ARCH(7) характеризовалась значениями критерия Акайке 2,406429 и критерия Шварца 2,513933 , а у MA(2)ARCH(4) – критерий Акайке равен 2,406429, критерий Шварца 2,513933) среди аналогичных моделей MA(2)ARCH – эти модели и причины отказа от них рассмотрены в приложении 2.

 

Таблица 16. Модель MA(2)ARCH(5)

 

В соответствии с данной моделью  процесс описывается уравнением:

 

 

А уравнение, характеризующее дисперсию ошибки, имеет вид:

 

 

Поскольку все коэффициенты в модели дисперсии  ошибки положительны, дисперсия ошибки будет принимать только положительные  значения, что соответствует смыслу показателя.

 

S.E. = 0,965396 < 2,258957 = S.D.

 

То есть модель снижает дисперсию процесса.

Рис. 6. Закон  распределения ошибки модели MA(2)ARCH(5)

 

Гистограмма распределения ошибки (рис. 6) модели MA(2)ARCH(5) напоминает колокол нормального распределения, но, судя по статистическим показателям, распределение ошибки отлично от нормального: куртозис равен 4,68, что значительно превышает 3. Поэтому нельзя использовать параметрические тесты для определения статистической значимости регрессоров модели дисперсии ошибки.

 

Таблица 17. Автокорреляция ошибки модели MA(2)ARCH(5)

 

Первый, третий и десятый коэффициенты автокорреляции ошибки и частной корреляции ошибки выходят за пределы доверительной трубки. Уже первое значение Q-Stat (5,0945) превышает критическое (3,84146), что свидетельствует о невозможности принять гипотезу о равенстве нулю первого коэффициента автокорреляции ошибки модели. Таким образом, ошибка данной модели коррелированна.

 

Таблица 18. Автокорреляция квадратов ошибки модели MA(2)ARCH(5)

 

Двенадцатое расчётное значение Q-Stat равно 15,274, в то время как критическое значение составляет 21,0261. Поскольку расчётное значение меньше критического, нельзя отклонить гипотезу о равенстве нулю первых двенадцати коэффициентов автокорреляции квадратов ошибки. Таким образом, квадраты ошибки модели можно считать некоррелированными.

То есть данная модель избавила модель МА(2) от автокорреляции квадратов ошибок. Более того, значение критерия Акайке в данной модели составляет 2,322696, а значение критерия Шварца 2,408699, в то время как для МА(2) значения критериев соответственно равны 2,654312 и 2,675813.

Но при  этом модель MA(2)ARCH(5) характеризуется автокоррелированной ошибкой, в то время как ошибка модели МА(2) представляет собой «белый шум».

Итак, более  «ценным» для нас является отсутствие автокорреляции в ряду ошибки, чем  отсутствие автокорреляции в ряду квадратов  ошибки. Согласно тесту Сиджела–Тьюки дисперсия исследуемого ряда признана постоянной, а модель MA(2)ARCH(5) задаёт уравнение её изменения во времени. То есть, MA(2)ARCH(5) не может быть адекватна процессу, и лучшей из рассмотренных моделей признаётся МА(2).

Соответствие модели МА(2) данным

 

В таблице  19 представлены данные, рассчитанные по модели МА(2), на последние десять временных периодов и фактические значения ряда конечных разностей.

 

Таблица 19. Рассчитанные по модели МА(2) и фактические  значения ряда конечных разностей

Дата	МА(2)	Конечные разности
22.12.2010	0,351424	0,35
23.12.2010	-0,207641	0,11
24.12.2010	-0,623400	-0,7175
25.12.2010	0,473950	0,3975
26.12.2010	0,081419	0
27.12.2010	0,079003	0
28.12.2010	0,135444	0,1475
29.12.2010	-0,230865	-0,4475
30.12.2010	0,530154	0,4
31.12.2010	0,025743	0,24