Межотраслевой баланс

     При построении модели делают следующие  предположения:

     1) все продукты, производимые одной  отраслью, однородны и рассматриваются как единое целое, т.е. фактически предполагается, что каждая отрасль производит один продукт;

     2) в каждой отрасли имеется единственная  технология производства;

     3) нормы производственных затрат  не зависят от объёма выпускаемой  продукции; 

     4) не допускается замещение одного сырья другим.

     В действительности эти предположения, конечно, не выполняются. Даже на отдельном  предприятии обычно выпускаются  различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты  зависят от объема выпуска и в  тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Однако такие модели получили широкое распространение и, как показала практика, они вполне адекватны и применимы для составления планов выпуска продукции.

     При этих предположениях величина может быть представлена следующим образом:

                        (3) 

     Величина  называется коэффициентом прямых материальных затрат. Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты считаются в межотраслевой модели постоянными.

     Подставляя  выражение (3) в формулу (1), получим:

                                             

,  (4)

     Это соотношение можно записать в  матричном виде:

                                                                 

,  (5)

     Где - вектор валовых выпусков;

             - вектор конечного продукта;

      -  матрица коэффициентов прямых  материальных затрат.

     Коэффициенты  прямых материальных затрат являются основными параметрами статической  межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

     1) статистически. Коэффициенты определяются  на основе анализа отчётных  балансов за прошлые годы. Их  неизменность во времени определяется  подходящим выбором отраслей;

     2) нормативно. Предполагается, что отрасль  состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат; на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.

     Выражение (4) принято называть балансом распределения  продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры  экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

     Преобразуем выражение (5):

                                                                     ,    

                                                                    ,    

                                                                

, (6)

     где E - единичная матрица.

     До  начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные  значения выпуска по отраслям.

     Установим некоторые свойства коэффициентов  прямых материальных затрат.

     1. Неотрицательность, т.е.

     Это утверждение следует из неотрицательности  величин  и положительности валовых выпусков .

     2. Сумма элементов матрицы A по  любому из столбцов меньше  единицы, т.е.

     

     Доказать  это утверждение несложно.

     Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. . Поэтому, используя соотношение (2), можно записать:

                                                                 

 (7)

     из  соотношения (3):

                                                                

 (8)

     откуда  безусловно следует:

                                                                     

 (9)

     таким образом, утверждение доказано.

     Можно показать, что при выполнении этих двух условий матрица

  существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.

     Перепишем формулу (6): X = BY,      

     Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы называют коэффициентами полных материальных затрат. Коэффициент показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

     Можно показать, что B = E + A + A2 + A3 + ...                                     (10)

     Умножим обе части на (E - A): B(E - A) = (E + A + A2 + A3 + ...)(E - A), B(E - A) = E + A + A2 + A3 + ..- A - A2 - A3 - ...,  

     B(E - A) = E,  

            

     Доказано.

     Из  соотношения (10) следует  ≥ ,  таким образом, коэффициент полных материальных затрат , описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат , рассчитываемого на единицу валового выпуска.

     Кроме того, из соотношения (10) для диагональных элементов матрицы B следует: ≥ 1,   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     4. Динамическая модель экономики типа "затраты - выпуск". 

     В отличие от статистических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную  взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы.

     В рассматриваемой ниже динамической модели  (которая является развитием  статической межотраслевой модели) производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется их структура и влияние  на рост объёма производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции. Решение системы, как и в случае статической модели приводит к определению уровней производства, но в динамическом варианте в отличие от статистического эти искомые уровни зависят от объёмов производства в предшествующих периодах.

     Ниже  приведена схема первых двух квадрантов динамического межотраслевого баланса 

     Таблица 2. Динамическая модель межотраслевого баланса.

 

     Модель  содержит две матрицы межотраслевых потоков. Матрица текущих производственных затрат с элементами совпадает с соответствующей матрицей статистического баланса. Элементы второй матрицы ∆ показывают, какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем периоде в j-ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в её основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.

     Для сравнения, в статистическом балансе  потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе  конечной продукции  каждой i-той отрасли. В динамической схеме конечный продукт включает продукцию i-той отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершённого строительства, на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статистического баланса:

                                                          ∑∆

+ ’=                             (11)

     Поэтому уравнение распределения продукции  вида (1) преобразуется в динамическом балансе в следующее:

            =∑ +∑∆ +  ’   i=1…n                                        (12)

     Межотраслевые потоки текущих затрат выражают как  и в статической модели через  валовую продукцию отраслей с  помощью коэффициентов прямых материальных затрат:

            =                                                                               (13)

     Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно  записать:

           ∆ = ∆   i,j =1…n                                                        (14)

       – коэффициенты пропорциональности, экономический смысл их заключается  в том, что они показывают, какое  количество продукции i-той отрасли  должно быть вложено в j-тую отрасль для увеличения производственной мощности j-той отрасли на единицу продукции.

     Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции  равен приросту мощности. Коэффициенты называются коэффициентами вложений, или коэффициентами приростной фондоёмкости.

     Они образуют квадратную матрицу n-го порядка:

     

     Эта матрица коэффициентов приростной фондоёмкости даёт значительный материал для экономического анализа и  планирования капитальных вложений.