Метод Монте Карло

     Дискретно-событийное моделирование — подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений — от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960х годах.

     Системная динамика — парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод основан Джеем Форрестером в 1950 годах. 
 
 

1.4 Метод Монте-Карло как разновидность имитационного моделирования

  

   Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method». Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В СССР первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955—1956гг.

     Любопытно, что теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые  задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины' вручную—очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

     Само  название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве  Монако, знаменитого своим игорным  домом.

     Идея  метода чрезвычайно проста и состоит  она в следующем. Вместо того, чтобы  описывать процесс с помощью  аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с  помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе ничего, так же как, скажем, один случай излечения больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан  обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас».

     Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены,  где процесс — явно немарковскпй, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

      В сущности, методом Монте-Карло может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания. Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного  попадания равной 1 — (1/2)³ = 7/8. Ту же задачу можно решить и «розыгрышем»,  статистическим моделированием. Вместо «трех выстрелов» будем  бросать «три монеты», считая, скажем, герб—за попадание, решку — за «промах». Опыт считается  «удачным», если хотя бы на одной из монет выпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество «удач» и разделим на число N  произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятностей, тем не менее, в принципе, он возможен.

      Метод Монте-Карло- это численный метод решения математических задач при  помощи моделирования случайных величин.

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Практическая  часть

   Даша Василькова – менеджер салона фирмы «Мерседес-Бенц» в Москве. В последние 100 месяцев объем продаж колеблется от 6 до 12 новых автомобилей. Частоты различных объемов продаж: 

 

   Даша считает, что продажа будет идти в тех же объемах еще 24 месяца. Время выполнения заказа на поставки распределяется следующим образом:  

 
 

   Даша Василькова каждый раз заказывает 21 автомобиль (3 трейлер по 7 автомобилей в каждом) и делает новый заказ, когда запас в магазине снижается до 12 автомобилей. Новый заказ можно делать только после выполнения предыдущего. Проимитируйте эту стратегию в течении 24 месяцев. Используйте для имитации случайные числа с начала второй строки таблицы случайных чисел.

  Считайте  что:

а) начальный  запас составляет 28 автомобилей

б) затраты  на хранение одной автомашины составляет в месяц 600000 р.

в) одна упущенная продажа приносит убыток в среднем 4350000 р.

г) один заказ обходится в 570000 р. 

1. Сколько  заказов придется сделать за  два года?

2. С  какими издержками связана данная  стратегия (тыс.р.)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение: 

     Построим  таблицу интегрального распределения  вероятности и установим интервалы  случайных чисел: 

 
 
 
 
 
 

Сымитируем  продажу автомобилей за 24 месяца:

ПЗ –  поступление заказа (шт.)

ЗНН –  запас на начало (шт.)

СЧ –  случайное число

ОП –  объем продаж (шт.)

КЗ –  конечный запас (шт.)

ПП –  потери продаж (шт.)

ДЗ –  делать заказ

СИМ –  срок использования месяцев

 

Процесс имитации показал следующие выводы:

• конечный  суммарный запас составляет 144 автомобиля, из этого следует, что средний конечный запас составляет 6 автомобилей (144/12);
• число упущенных продаж равно 50 автомобилям и среднее упущенное число продаж в месяц составляет 2,08 (50/24);
• среднее число заказов равно 0,3 (8/24).

 

Три составляющие затраты:

1. ежемесячные затраты на заказы = затраты на 1 заказ × среднее число заказов в месяц = 570000 × 0,3 = 171000 рублей;
2. ежемесячные затраты на хранение = затраты на хранение 1 единицы в течение дня × средняя величина конечного запаса = 600000 × 6 = 1200000 рублей;
3. ежемесячные упущенные продажи = убыток от упущенной продажи × среднее число упущенных продаж в день = 4350000 × 2,08 = 9048000 рублей;

 

Таким образом:

1. общие ежемесячные затраты = затраты на заказы + затраты на хранение + упущенные продажи = 171000 + 1200000 + 9048000 = 10419000 рублей;
2. издержки данной стратегии за 24 месяцев = 10419000 × 24 = 25056000 рублей.

 

Выводы:

1. Фирме «Мерседес-Бенц» потребуется сделать восемь заказов за 2 года.

2. Издержки с данной стратегией составят 250056000 р.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

      Основным недостатком аналитических моделей является то, что они неизбежно требуют каких-то допущений. Приемлемость этих допущений далеко не всегда может быть оценена без контрольных расчетов, а производятся они методом Монте-Карло. Статистические модели не требуют серьезных допущений и упрощений. В принципе, в статистическую модель «лезет» что угодно — любые законы распределения, любая сложность системы, множественность ее состояний. Главный же недостаток статистических моделей — их громоздкость и трудоемкость. Огромное число реализации, необходимое для нахождения искомых параметров с приемлемой точностью, требует большого расхода машинного времени. Кроме того, результаты статистического моделирования гораздо труднее осмыслить, чем расчеты по аналитическим моделям, и соответственно труднее оптимизировать решение (его приходится «нащупывать» вслепую). Правильное сочетание аналитических и статистических методов в исследовании операций — дело искусства, чутья и опыта исследователя. Нередко аналитическими методами удается описать какие-то «подсистемы», выделяемые в большой системе, а затем из таких моделей, как из «кирпичиков», строить здание большой, сложной модели.