Математическое моделирование процесса контактной односторонней сварки

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ  ПРОЦЕССА КОНТАКТНОЙ ОДНОСТОРОННЕЙ СВАРКИ

 

1 Разработка математической  модели процесса сварки

 

Предлагаемая модель применима для исследования полей  при сварке двух деталей без применения шунтирующей подкладки. Она основана на совместном рассмотрении уравнений электрического потенциала и теплопроводности.

С целью некоторого упрощения модели был принят ряд допущений:

1. Для уменьшения объема  вычислений электрод заменяем  его частью высотой d_э (рис. 1.). На поверхности Z = d₂ + d₁ + d_э, которая содержит дно канала водяного охлаждения, полагаем наличие одинакового потенциала, считая его неизменным или возрастающим от нуля до заданной величины (при имитации модуляции переднего фронта импульса тока) по времени прохождения тока, а также постоянную температуру, равную температуре воды, используемой для охлаждения.

 

 

2. При сварке деталей  неизменяющейся ширины электрическое  и тепловое поля будут симметричны  относительно некоторой плоскости ZoY, которая перпендикулярна плоскости, проходящей через оси электродов и находится на равном расстоянии от них. Поэтому область расчета целесообразно ограничить половиной реальных объектов сварки.

3. Не учитываем ситовый  характер проводимости в контактах  электрод – деталь и деталь - деталь, полагая наличие идеального физического контакта.

4. Учитывая условие  относительной скоротечности процесса  сварки, считаем количество теплоты,  излучаемое с поверхности деталей  и электродов, незначительным. Границы  деталь - воздух и электрод –  воздух справедливо считать адиабатическими стенками; для теплового поля граничными условиями на этих поверхностях будут условия 2-го рода, т. е. тепловой поток через эти границы постоянен и равен нулю.

Исходя из принятых допущений, рассмотрим область решения уравнений (рис. 4.1). Имеются две детали с размерами L ´ H₁ ´ d₁ (верхняя) и L ´ H₂ ´ d₂ (нижняя). Верхняя деталь контактирует с токоподводящим электродом диаметром D_э, высотой h_э и углом наклона рабочей части a_э. Центры контактов электрод – деталь и деталь - деталь привязаны к осям координат меняющимися размерами l_э, и Н₄. Диаметры контактов равны d_э. Размеры каждой детали варьируемые; параметр l_э равен половине расстояния между электродов. Смещение одной детали относительно другой фиксируется значением Н₃. Плоскость ZoY является плоскостью симметрии Электрического и температурного полей. Каждая деталь обладает своими электротеплофизическими свойствами, изменяющимися или неизменными в зависимости от температуры.

Таким образом, модель имеет  следующие изменяющиеся параметры:

• длину, ширину и толщину каждой детали;
• расстояние между электродами;
• диаметр и угол наклона рабочей поверхности электрода;
• диаметр контактов электрод-деталь и деталь-деталь;
• расстояние от границ деталей до центра токоподвода;
• начальные электротеплофизические свойства материалов деталей и электродов;
• изменение этих свойств в зависимости от изменения температуры.

Электрическое и тепловое поле в области решения можно  описать соответственно стационарным и нестационарным уравнениями электрического потенциала и теплопроводности /109, 110, 111/, которые записываем в прямоугольной трёхмерной системе координат:

 

                            (1)

 

где:   – удельная электропроводность материала (См/м),

j_{(x, y, z)} – электрический потенциал точки поля (В),

x, y, z – её координаты (м).

 

                           (2)

 

где: Т – температура (К),

 t – время нагрева (сек),

 а_д – коэффициент температуропроводности материала (м²/с),

w_{(x, y, z, t)} – приращение температуры за счёт внутреннего источника тепла, определяемое по формуле:

 

                                                     (3)

 

где:   j – плотность тока (А/м²),

с – удельная теплоёмкость материала (Дж/(кг К)),

g - плотность материала (кг/м³).

Коэффициент температуропроводности материала равен:

 

                                                                   (4)

 

где:   l – теплопроводность (Вт/м К),

 с – удельная теплоёмкость материала (Дж/(кг К)),

 g - плотность материала (кг/м³).

Удельная электропроводность материала является величиной, обратной удельному электросопротивлению:

 

                                                      (5)

 

где: r– удельное электросопротивление материала (Ом м).

В зависимости от температуры удельное электросопротивление, теплопроводность, удельная теплоёмкость и плотность изменяются (рис. 2 и 3).

Плотность тока определяем по закону Ома в дифференциальной форме:

                                                     (6)

 

где: – вектор плотности тока (А/м²),

       – вектор напряженности электрического поля (В/м).

В свою очередь:

                                     (7)

и

                                     (8)

где: – единичные орты в прямоугольной системе координат,

     – проекция вектора напряженности на оси координат.

 

Отсюда следует, что проекции вектора  плотности тока можно определить выражением:

 

                                      (9)

Плотность тока равна:

                                         (10)

 

Начальные и граничные условия сведены в таблицу 1. Начальным условием для решения системы уравнений будет распределение потенциала при Т = Т₀. Для границ деталь – воздух и электрод – воздух первая производная потенциала и температуры по нормальным составляющим равны нулю (граничное условие 2-го рода) /112/. На плоскости симметрии деталей граничное условие для электрического поля j = 0, а на дне водоохлаждаемого канала электрода (при Z = d₂ + d₁ + d_э) - j = U / 2, где U – напряжение на электродах машины.

 

 

Таблица 1 – Начальные и граничные условия 

 

граница	поле
	электрическое	температурное
деталь-воздух
	j = 0
электрод-воздух
Z = d2 + d1 + dэ		T = T0 = Tводы
Z = d2	cz = 0	lz = 0
При t = t0	Распределение потенциала	T = T0

 

Дальнейшее совершенствование  предлагаемой модели может осуществляться по следующим направлениям:

• учет влияния сопротивления контакта деталь-деталь на характер электрического и температурного полей;
• учет изменения диаметра этого контакта в процессе сварки;
• рассмотрение деформационных полей в зоне сварки;
• изучение процесса сварки на переменном токе с использованием уравнений Максвелла.

 

2 Особенности численного  решения модели

 

Аналитически решить поставленную задачу не представляется возможным в связи с относительной сложностью границы области и значительным изменением свойств металла (в первую очередь – электрического сопротивления) в зависимости от температуры. Поэтому наиболее целесообразным представляется использование для решения данной задачи одного из численных методов. Нами был выбран метод конечных элементов.

 

2.1 Разбивка области  на элементарные ячейки

 

Конечные элементы были выбраны в форме прямоугольного параллелепипеда, линейные размеры  которого зависят от местоположения элемента (рис.4.4). Это сделано с целью уменьшения количества элементов. Высокая точность расчетов требуется в зоне больших температурных градиентов, расположенной под электродом (рис. 5). Для удобства эта зона была выбрана в форме прямоугольного параллелепипеда размерами . В этой зоне размеры элементов минимальны и постоянны. Вне этой зоны линейные размеры элементов увеличиваются независимо друг от друга в геометрической прогрессии по мере удаления (по соответствующей координате) от зоны. Таким образом, все трехмерное пространство оказывается разбитым на элементы, каждому из которых в качестве номера присваивается трехмерный целочисленный индекс (i, j, к) относительно начала координат. По этому индексу определяется не только местоположение элемента в пространстве, но и его размеры и естественным образом индексы элементов, с которым он граничит. Область, как часть пространства, состоит из попавших в нее элементов. При этом элементы, частично выходящие за границы верхней и нижней детали, обрезаются границей, электрод же для удобства расчетов заменяется набором элементов, чьи центры попали в электрод (рис. 4). В обеих деталях увеличение элементов происходит по осям Х и У, а в электроде – по оси Z. Шаг прогрессии увеличения элементов задается вместе с другими исходными данными; в позволяющем большинстве случаев в расчетах использовался шаг 1.12. Зона наибольшей точности (зона под электродом) разбивалась на элементы таким образом, что их число по осям Х и У составляло 60. По оси Z число элементов в верхней детали равно 10; элементы нижней детали имеют такой же размер (по оси Z) и их число пропорционально толщине детали.

Вся область разбита  на три естественные части: нижнюю пластину, верхнюю пластину и электрод. Эти части имеют две области контакта относительно небольшой площади – круг диаметром d_э (малый диаметр электрода) между электродом и верхней пластиной и такой же круг между пластинами. Поэтому расчеты на каждом шаге проводились в два этапа. На первом этапе – в каждой из трех частей как в самостоятельной области; на втором – рассчитывалось влияние контакта на каждую часть. Каждая часть имеет свое дополнительное начало координат и свои дополнительные индексы элементов относительно него, что удобно при распределении машинной памяти и переборе элементов внутри части. При определении размеров элемента и индекса соседнего элемента из другой части в месте контакта используется основной индекс элементов.

Значения электросопротивления, плотности, теплопроводности и других свойств и параметров металла считаем постоянными в пределах одного элемента в каждый момент времени. Аналогичные значения на грани, разделяющей два элемента, считаем как полусумму значений элементов /113/.

Элемент имеет шесть граней, а  каждая грань принадлежит двум ячейкам, поэтому общее число граней в три раза больше, чем элементов. Грань элемента имеет 4 индекса: первые три от ячейки, и номер переменной, координатная ось которой ортогональна грани. Последний индекс принимает только три значения: 0,1 и 2. Два элемента, разделенные гранью, отличаются одним из трех индексов на единицу. Присвоим грани меньший из этих индексов. Так, между элементами (i-1,j,k) и (i,j,k) лежит грань (i-1,j,k,0), а между элементами (i,j,k) и (i,j+1,k) – грань (i,j,k,1).

 

2.2 Разностные уравнения

 

а. Уравнение потенциала

 

 

Рассмотрим элемент (i, j, k). Из элемента (i-1, j, k) в (i, j, k) течет ток, величина которого пропорциональна разности потенциалов в элементах, площади их совместной грани и обратно пропорциональна расстоянию между центрами элементов и удельному сопротивлению в центре грани.

 

                             (11)

 

где: - площадь грани,

      - расстояние между центрами элементов,

    - удельное электросопротивление в центре грани.

 

 

Коэффициент

                         (12)

 

характеризует электропроводность грани (i-1,j,k,0). Теперь формула (11) имеет вид

 

                           (13)

 

Аналогично находятся коэффициенты А и токи I, входящие в (i,j,k) через остальные пять граней. Сумма токов входящих в элемент, равна нулю; суммируя токи (13) по всем граням ячейки, приравнивая сумму нулю и выражая j_i,j,k, получаем разностное уравнение для потенциала:

 

     (14)

Здесь:

 

                            (15)

 

б. Уравнение плотности  тока

Плотность тока определяли как модуль векторной суммы составляющих плотностей тока:

         (16)

 

в. Уравнение теплопроводности

Количество теплоты, попавшее в элемент (i,j,k) из соседнего элемента (i-1, j, k) (т.е. через грань (i-1,j,k,0)) будет равно:

 

                (17)

 

Здесь: - температура в элементе (i,j,k) в начальный момент временного отрезка t,

        -коэффициент теплопроводности в центре грани.