Леонід Віталійович Канторович – внесок вченого у розвиток науки

 У 1940 р. Л.В. Канторович приступив до підготовки підсумкової монографії. Однак робота над цією монографією була завершена спільно з Б.З. Вулихом і А.Г. Пінскером лише до кінця 40-х років. У книзі «Функціональний аналіз у напіввпорядкованих просторах» (1950) вперше дається систематичний виклад теорії K-просторів [13]. Вона до цих пір є цінним посібником для фахівців в цій області.

 Л.В. Канторович також вперше застосував методи функціонального аналізу в обчислювальній математиці. Цьому напрямку присвячені його роботи 1937-1957 рр. Центральною тут є стаття «Функціональний аналіз та прикладна математика» (1948) [5], що об'єднує цілий цикл його робіт і відзначена Державною премією. Сама назва цієї статті звучала в 1948 р. незвично. Лише тепер, причому в значній мірі завдяки роботам Л.В. Канторовича, функціональний аналіз став основним апаратом в дослідженнях з обчислювальної математики. Основна думка статті, піонерська в той час і загальноприйнята в сучасній математиці, полягає в тому, що «ідеї та методи функціонального аналізу можуть бути використані для побудови та аналізу ефективних практичних алгоритмів математичних задач з таким же успіхом, як для теоретичного аналізу цих завдань».

 Не зупиняючись на великому числі інших математичних праць Л.В. Канторовича, не можна не відзначити все ж знамениту монографію «Функціональний аналіз в нормованих просторах», написану Л.В. Канторовичем спільно з Г.П. Акіловим і випущену в 1959 році. Ця монографія – плід творчої співдружності великого математика і видатного педагога – зробила істотний вплив на дослідження з застосуванням функціонального аналізу та на його викладання в провідних вузах СРСР і за кордоном. Поряд з оригінальним трактуванням традиційних розділів функціонального аналізу в нормованих просторах велику увагу в книзі приділено додаткам до обчислювальної математики. Зазначена монографія перекладена на багато мов. У 1977 р. вийшло її друге, істотно перероблене і доповнене видання («Функціональний аналіз»), в яке включені питання функціонального аналізу, пов'язані з математичною економікою, а також викладаються основи теорії впорядкованих просторів. Це видання також переведено на кілька мов.

4. ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ ТА Л.В. КАНТОРОВИЧ

Завдання  оптимізації виникли в глибокій старовині. Перша екстремальна задача, що дійшла до нас носить ім'я фінікійської царівни Дідони. Легенда розповідає, що близько 825 року до н. е.. Дідона, дочка царя м. Тіра, що бігла від переслідувань брата, вирушила на кораблях по Середземному морю і пристала до африканського берега (нинішня Туніської затоки). У ході переговорів з туземцями, Дідона виторгувала собі клаптик землі, який можна оточити воловою шкірою. Розрізавши шкіру на вузькі смужки, вона зв'язала їх у довгу мотузку, оточила нею значну територію і згодом заснувала там місто Карфаген. Безсумнівно, що при виділенні ділянки землі Дідона зіткнулася з наступною задачею: в якій формі потрібно розташувати мотузку, щоб обмежуваний їй ділянку землі мав найбільшу площу? Відповідь добре відомий: мотузку потрібно розташувати у вигляді кола, так як коло має найбільшу площу серед всіх плоских фігур з одним і тим же периметром (довжиною мотузки-межі). Але природно вважати, що Дідона хотіла зберегти вихід до моря, і тоді рішення інше: мотузку слід розташувати у формі півкола, кінці якої впираються в берегову лінію (припускаючи, що берегова лінія являє собою пряму).

 Таким чином, завдання оптимізації були породжені практичною діяльністю людини. У 40-х роках дослідження економічних проблем і завдань організаційного управління породили новий розділ математичного аналізу, який отримав назву математичного програмування. Лінійне програмування – частина математичного програмування – відноситься до числа найбільш широко поширених методів аналізу завдань організаційного управління. У ті ж роки з потреб найкращої організації бойових дій набув розвитку прикладний науковий напрямок – дослідження операцій, математичний апарат якого також включає математичне програмування. Трохи пізніше була створена теорія оптимального управління, що розвивалась у зв'язку з проблемами управління літаючими апаратами і складними технологічними процесами. Визначну роль у створенні математичної теорії оптимального управління зіграв інший радянський математик академік Л.С. Понтрягін [18].

 У 1938 р. до Л.В. Канторовича звернулися співробітники Центральної лабораторії Ленінградського фанерного тресту з проханням порекомендувати чисельний метод для розрахунку раціонального плану завантаження наявного обладнання. Йшлося про комплексне виконання п'яти видів робіт на лущильних верстатах восьми типів. Питання зводилося до добре відомої математичної задачі, проте її рішення методами класичного аналізу було пов'язане з обчислювальними труднощами (було потрібно вирішити 109 систем лінійних рівнянь з 12 невідомими). Тому стало ясно, що ефективні методи вирішення подібних завдань мають базуватися на принципово нових ідеях, які дозволяють проводити цілеспрямований перебір зазначених комбінацій. Роздуми про цей клас завдань і привели Леоніда Віталійовича до лінійного програмування.

 Ядром відкриття Л.В. Канторовича є встановлений ним об'єктивний зв'язок завдання оптимального планування з завданням визначення відповідних вартісних показників. На цій основі формулюються ознаки оптимальності, що дозволяють запропонувати різні схеми спрямованого перебору допустимих планів і систем вартісних показників. Іншими словами, з оптимальним планом будь-якої лінійної програми автоматично пов'язані оптимальні ціни або «об'єктивно зумовлені оцінки». Останнє громіздке словосполучення Леонід Віталійович вибрав з тактичних міркувань для підвищення «критикостійкості» терміну. Взаємозалежність оптимальних рішень та оптимальних цін – така коротка суть економічного відкриття Л.В. Канторовича.

 Основам оптимального виробничого планування присвячені доповіді Л.В. Канторовича, з якими він виступав у Ленінградському університеті та Ленінградському інституті інженерів промислового будівництва в травні 1939 р. У тому ж році була видана брошура «Математичні методи організації і планування промислового виробництва», що є собою доповненою стенограмою цих доповідей, де досліджуються різні класи планово-виробничих задач.

 Для характеристики широти охоплення матеріалу варто перелічити найменування розділів: розподіл обробки деталей по верстатах; організація виробництва з забезпеченням максимального виконання плану за умови заданого асортименту; найбільш повне використання механізмів; максимальне використання комплексної сировини; найбільш раціональне використання палива; раціональний розкрій матеріалів; найкраще виконання плану будівництва при даних будівельних матеріалах; найкращий розподіл посівних площ; найкращий план перевезень. Математичному викладу і обґрунтуванню запропонованих методів присвячені три додатки. В останньому з них доводиться існування розв'язувальних множників.

 Видатний американський фахівець в області лінійного програмування Дж. Данциг [1] зазначав: «Робота Л.В. Канторовича 1939 р. містить майже всі області додатків, відомі в 1960 р.».

 Розробці і конкретизації методів лінійного та нелінійного програмування присвячені роботи Леоніда Віталійовича 1940-1981 рр.

 Сам термін «лінійне програмування» був запропонований в 1951 році Т. Купмансом – американським економістом, разом з яким Л.В. Канторович і отримав в 1975 році Нобелівську премію «за внесок в теорію оптимального використання ресурсів».

 У США лінійне програмування виникло в 1947 році перш все в роботах Дж. Данцига. Слова Дж. Данцига про розвиток лінійного програмування [1]:

 «Радянський математик Л.В. Канторович на протязі ряду років цікавився застосуванням математики до завдань планування... Канторовича слід визнати першим, хто виявив, що широкий клас найважливіших виробничих завдань піддається чіткому математичному формулюванню, яке, на його переконання, дає можливість підходити до завдань з кількісної сторони і вирішувати їх чисельними методами ...»

 «Канторович описав метод рішення, заснований на наявному спочатку допустимому рішенні ... Хоча двоїсті змінні і не називалися «цінами», в цілому ідея методу полягає в тому, що обрані значення цих «розв'язувальних множників» для відсутніх ресурсів можна довести до рівня, коли стає доцільною перекидання ресурсів, які є надлишковими ...»

 «Якщо б перші роботи Канторовича були б у належній мірі оцінені в момент їх першої публікації, то, можливо, в даний час лінійне програмування просунулося б значно далі».  

5. ДІЯЛЬНІСТЬ КАНТОРОВИЧА ЯК ЕКОНОМІСТА

Л.В. Канторович вніс великий внесок в економічну науку. Слід мати на увазі, що Леонід Віталійович жив і працював в країні з централізованим плануванням, бачив переваги і недоліки цієї системи і прагнув удосконалити її. Зроблене ним не втратило значення після зміни економічного устрою, хоча деякі його досягнення сприймаються тепер у новому світлі.

  З його ім'ям пов'язаний природничо-науковий підхід до дослідження широкого кола проблем планування. Л.В. Канторович заклав фундамент сучасної теорії оптимального планування. Розгорнутому викладу основних ідей цієї теорії присвячена його капітальна монографія «Економічний розрахунок найкращого використання ресурсів»[6]. Стрижнем цієї книги є формулювання основного завдання виробничого планування і динамічної задачі оптимального планування. Зазначені завдання досить прості, але в той же час враховують найважливіші риси економічного планування. Одна з привабливих якостей полягає в тому, що вони базуються на схемі лінійного програмування і, отже, на розвиненому аналітичному апараті і великому наборі ефективних обчислювальних засобів, частину з яких запропонував сам Леонід Віталійович.

  Розглянемо його внесок у проблему ціноутворення – одну з корінних, що зачіпає, по суті, всі сфери функціонування суспільства. З ліквідацією громіздкої системи централізованого встановлення цін науковий розрахунок цін змінив свою роль, але не втратив значення. Принципово важливо, що Л.В. Канторович встановив зв'язок цін і суспільно-необхідних затрат праці. Він дав визначення поняття оптимуму, оптимального розвитку, конкретизувавши, зокрема, що саме слід розуміти під максимальним задоволенням потреб членів суспільства. З його положення про нерозривність плану і цін випливає залежність суспільно-необхідних витрат праці від поставлених цілей суспільства.

  Таким чином, цілі суспільства, оптимальний план і ціни складають одне нерозривне ціле. Ним вказані конкретні умови, при яких об'єктивно обумовлені оцінки оптимального плану збігаються з повними (прямими і сполученими) витратами праці. Визначення перспектив економіки, наявність гігантських «природних монополій» змушує зберегти для них розрахунок, принаймні, опорних цін, узгоджених і взаємно, і з інтересами інших галузей економіки.

  Математичні моделі отримали відображення в деяких курсах політичної економії. У роботах Л.В. Канторовича досліджувався ряд основних проблем економічної теорії та практики господарювання. При цьому характерно, що поряд з науковим, теоретичним аналізом проблеми, які базуються на єдиній концепції оптимального плану і оптимальних (об'єктивно обумовлених) оцінок, Леонід Віталійович враховував специфіку проблеми, накопичений досвід, робив конкретні висновки і формулював практичні пропозиції. Ці положення і підхід знайшли продовження в роботах багатьох вчених економіко-математичного напрямку як у Росії, так і за кордоном.

  Вказуючи на недоліки дії економічної системи, Л.В. Канторович підкреслював, що система економічних показників повинна бути єдиною, побудованою за єдиним принципом. У зв'язку з цим значну частину своїх робіт у цій області Леонід Віталійович присвятив розробці та аналізу конкретних економічних показників.

  Положення про необхідність оцінки природних ресурсів та принципи такої оцінки використані в роботах самого Л.В. Канторовича і його учнів. Особливу увагу було приділено оцінці земельних ресурсів та води, обліку цих показників в (заготівельних) цінах на сільськогосподарську продукцію. Запропоновано оригінальні підходи до їх розрахунку (поєднання методу найменших квадратів і лінійного програмування). На цій основі були дані рекомендації по поліпшенню системи економічних показників і розрахунків у сільському господарстві.

  У роботах Л.В. Канторовича розкривається сутність поняття показника ефективності капіталовкладень, показується його роль в економічних розрахунках прийняття рішень, пропонується методика визначення величини цього нормативного показника. Таким чином, Л.В. Канторович дав переконливе наукове обґрунтування необхідності застосування нормативу ефективності і на основі оптимізаційного підходу дав об'єктивний шлях його розрахунку.

  У роботі «Амортизаційні платежі при оптимальному використанні обладнання» (1965) Л.В. Канторовичем була розкрита сутність поняття амортизації. Він показав як можна підвищити ефективність використання обладнання, розділивши амортизаційні платежі на два типи, і за допомогою математичної моделі вказав, як визначити чисельну величину коефіцієнта амортизаційних відрахувань. Ця зміна дозволило зробити ряд принципових висновків про необхідність коригування прийнятої методики розрахунку амортизації.

  Спеціальний інтерес проявляв Леонід Віталійович до проблем транспорту. Ще в його перших економічних роботах були дані загальний аналіз транспортної задачі та метод потенціалів для її вирішення. Цей метод широко використовувався на транспорті (залізничному, автомобільному, морському, повітряному) і в органах централізованого постачання для раціонального прикріплення і раціональної організації перевезень. Він, безумовно, зберігає своє значення і зараз поряд з широко використовуваними методами диспетчерського управління і розрахунками маршрутів.

  У роботах «Про використання математичних моделей в ціноутворенні на нову техніку» (1968) і «Математико-економічний аналіз планових рішень і економічні умови їх реалізації» (1971) Л.В. Канторович досліджував проблему ефективної роботи транспорту з економічної точки зору, показав, які повинні бути транспортні тарифи залежно від виду транспорту, вантажу, відстаней і т. д. У ряді робіт ним розглядалися і питання комплексної транспортної системи – взаємозв'язок транспорту з іншими галузями народного господарства і розподіл перевезень між видами транспорту з урахуванням економічності і, особливо, енерговитрат. Ці роботи зберігають своє значення і зараз.