Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

      Задача 4

      Номер варианта, который определяется последней  цифрой номера личного дела (зачетной книжки) студента, совпадает с номером  варианта частностей в следующей задаче.

 

      Задано  эмпирическое распределение работников некоторой фирмы по уровню заработной платы с выделением интервалов (в  у.е.): до 100 (50—100); 100—200; 200—300; 300—400; 400—500; 500—-600; 600— 700; свыше 700 (700—800).

      Заданы  значения квантилей стандартного нормального распределения для верхнего интервала:

      при частости 5,0% (b = 0,05) U_1-b   =  U_0,95 = 1,6449

      при частости 2,5% (b = 0,025) U_1-b   =  U_0,975 = 1,9600

      при частости 1,0% (b = 0,01) U_1-b   =  U_0,99 =  2,3263. 

Задание 1.

      Определить  параметры логарифмически нормального закона распределения, сглаживающего (моделирующего) данное эмпирическое распределение работников по уровню заработной платы. 

      Логарифмически  нормальная модель воспроизводит распределение  заработной платы как случайной  величины с помощью функции двухпараметрического логарифмически нормального распределения заработной платы X:

      

      где      — математическое ожидание и дисперсия логарифмов заработной платы.

      При прогнозах распределения заработной платы на основе этой модели решается одна из двух систем уравнений: 

      

      

      где U_a , U_1-b — квантили стандартного нормального распределения;

      a и b — доли работников, получающих заработную плату соответственно ниже минимального уровня х_min и выше максимального уровня х_max ;

        — средний уровень (математическое ожидание) заработной платы.

      Из  системы б) можно получить следующие  соотношения для определения параметров логарифмически нормального распределения работников по уровню заработной платы:

      

     (1)

       (2) 

     Определение параметров логарифмически нормального распределения, сглаживающего заданное эмпирическое распределение работников по заработной плате. Пусть задано распределение работников некоторой фирмы по заработной плате с выделением восьми интервалов (в у.е.):

 

     Рассчитаем  математическое ожидание уровня заработной платы, соответствующее данному эмпирическому распределению, по формуле:

где X_io — середины интервальных рядов распределения; w_i — частости соответствующих интервалов. Расчеты дают значение .

     По  таблицам натуральных логарифмов находим, что lnX_max = ln750 = 6,62 и . Подставим эти значения в соотношение (1), дающее решение квадратного уравнения для параметра среднеквадратического отклонения логарифма заработной платы и получим:

      при частости 5,0% (b = 0,05) U_1-b   =  U_0,95 = 1,6449

      

     Двум  значениям этого параметра и соответствуют на основе соотношения (2) два значения параметра математического ожидания логарифма заработной платы:

 

 

     По  экономическому смыслу заданному эмпирическому  распределению заработной платы соответствуют следующие значения параметров логарифмически нормального распределения:

 

             

      при частости 2,5% (b = 0,025) U_1-b   =  U_0,975 = 1,9600

      

     Двум  значениям этого параметра и соответствуют на основе соотношения (2) два значения параметра математического ожидания логарифма заработной платы:

 

 

     По  экономическому смыслу заданному эмпирическому распределению заработной платы соответствуют следующие значения параметров логарифмически нормального распределения:

 

             

      при частости 1,0% (b = 0,01) U_1-b   =  U_0,99 = 2,3263.

     

     Двум  значениям этого параметра  и соответствуют на основе соотношения (2) два значения параметра математического ожидания логарифма заработной платы:

 

 

     По  экономическому смыслу заданному эмпирическому распределению заработной платы соответствуют следующие значения параметров логарифмически нормального распределения:

     

            

Задание 2. 

      Составить теоретическое распределение работников фирмы по уровню заработной платы на прогнозируемый период, если среднее значение (математическое ожидание) заработной платы работников х предполагается повысить по сравнению с имеющимся уровнем на 50 у. е., а интервалы распределения и частость верхнего интервала останутся прежними.

     Рассчитаем  математическое ожидание уровня заработной платы, соответствующее данному эмпирическому распределению, по формуле:

 

     По  таблицам натуральных логарифмов находим, что  . Подставим это значения в соотношение (1), дающее решение квадратного уравнения для параметра среднеквадратического отклонения логарифма заработной платы и получим:

      при частости 5,0% (b = 0,05) U_1-b   =  U_0,95 = 1,6449

      

     Двум  значениям этого параметра  и соответствуют на основе соотношения (2) два значения параметра математического ожидания логарифма заработной платы:

 

 

     По  экономическому смыслу заданному эмпирическому  распределению заработной платы соответствуют следующие значения параметров логарифмически нормального распределения: