Задача 1

     В таблице 5 приведены данные о наличии трудовых ресурсов на предприятии по каждому из типов ресурсов (в нормо-часах), о трудоемкости изготовления единицы продукции каждого вида с разбивкой по типам трудовых ресурсов (в нормо-часах на единицу продукции), а также о цене единицы продукции каждого вида (в условных единицах).

 

     Задание 1. Сформулировать исходную оптимизационную задачу оптимального использования трудовых ресурсов на максимум общей стоимости выпускаемой продукции и решить ее графическим методом. 

Наличие трудовых ресурсов 1, 2 и 3 равно 18, 30 и 40 н.-часов соответственно.

Пусть Х₁ - Кол-во единиц продукции А.

Пусть Х₂ - Кол-во единиц продукции Б. 

Трудовой  ресурс 1 используется следующим образом: 1*X₁+2*X₂ £ 18

Трудовой  ресурс 2 используется следующим образом: 1*X₁+1*X₂ £ 30

Трудовой  ресурс 3 используется следующим образом: 1*X₁+3*X₂ £ 40 

     Каков максимум общей стоимости выпускаемой  продукции, если общая стоимость  выпускаемой продукции равна: 12*X₁+7*X₂. 

     Получим целевую функцию и систему  ограничений: 

max f(x) = 12X₁  + 7X₂

X₁  + 2X₂   £ 18

X₁  + X₂  £ 30

X₁  +  3X₂ £ 40

X_1,2 ³ 0 

     Запишем уравнения ограничивающих линий 

X₁  + 2X₂  = 18

X₁  + X₂  = 30

X₁  +  3X₂ = 40

X₁ = 0

X₂ = 0 

     Решим задачу графическим способом.

     Построим  в первом квадранте граничные  прямые, определим область допустимых значений. Построим из начала координат вектор до точки (12, 7). Будем перемещать вдоль вектора линию, перпендикулярную вектору до последней точки пересечения с ОДЗ в обе стороны. Эти точки и будут оптимальным планом.

     Для задачи поиска максимума получили  значения

Х₁ = 18, Х₂ = 0, max f(X) = 12*18 + 7*0 = 216. 

     Задание 2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план на основе первой и второй теорем двойственности линейного программирования. 

     Исходная  оптимизационная задача:

max f(x) = 12X₁  + 7X₂

X₁  + 2X₂   £ 18

X₁  + X₂  £ 30

X₁  +  3X₂ £ 40

X_1,2 ³ 0 

     В этой модели функциональные ограничения  отражают условия ограниченности объемов  используемых трудовых ресурсов.

     Проверим, как удовлетворяется система  функциональных ограничений оптимальным планом Х* = (X₁ = 18, X₂ = 0):

18  + 2*0  = 18

18 + 0 = 18  < 30   (*)

18  +  3*0  = 18 < 40

     Значение  целевой функции f(x) = 12*18 + 7*0 = 216

     Сформулируем  двойственную задачу

min j(Y) = 18Y₁  + 30Y₂  + 40Y₃

Y₁  + Y₂  + Y₃ ³ 12

2Y₁  +  Y₂  + 3Y₃ ³ 7

Y_1,2,3 ³ 0 

      Для нахождения оценок Y₁, Y₂, Y₃ используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе и третье ограничение в (*) выполняются как строгое неравенство, то Y₂ = Y₃ = 0.  Так как Х₁ > 0, то:

Y₁  + Y₂  + Y₃ = 12

      Итак  для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

Y₂* = 0

Y₂* = 0

Y₁* +  Y₂*  +   Y₃*  -  12 = 0 

т. е. Y₁* = 12,      Y₂* = 0,    Y₃* = 0.

      Значение  целевой функции двойственной задачи:

      j(Y) = 18*12 + 30*0 +  40*0 = 216

      т. е. f(X) = j(Y) = 2165

      По  первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных. 

 

Задача 2

     В таблице приведены фактические  годовые данные по производительности труда в цементной промышленности, отражающие выработку натурального цемента (в десятках тонн) в расчете на одного работающего.

       
 
 
 

      Задание 1. Сгладить временной ряд методом простой скользящей средней, взяв длину интервала сглаживания m = 3; результаты сглаживания отразить на графике. 

     Традиционным  методом прогнозирования будущего значения спроса является усреднение его прошлых значений. Формально скользящее среднее y^~₁ определяется как             

        

      Задание 2. Определить наличие тренда, взяв табличные значения статистик Стьюдента и Фишера (для уровня значимости 0,05) t_a = 2,23; F_a = 3,07; другие необходимые табличные данные приведены в табл. 4.5 на стр. 153 учебника. 

      1) Разобьем исходный ряд на две  равные части:

 
 
 
 
 
 

      Вычислим  средние значения и дисперсии:

 

      Так как  , то F =  

      Так как F = 2,2 < F_a = 3,07, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

      Определим расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

      

      

      Так как t = 5,511 > t_a =2,23, то гипотеза об отсутствии тренда не принимается, т. е. тренд существует. 

      Задание 3. Построить линейную трендовую модель, определив ее параметры методом наименьших квадратов. 

     Пусть    ,  тогда для составления системы линейных уравнений используем метод наименьших квадратов.

     Где    

     Тогда получают систему:

     

     n – количество элементов выборки, равно 10.

     

     

     

     

     Получим  систему:

     

                  

      

 

      Получим Y = 0,903 × t + 133,333