Контрольная работа по "Экономико-математические методы и прикладные модели"

   

  Вычисления  можно просмотреть по формулам в таблице 7.

Таблица 7

    а. При проверке независимости ( отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряде остатков систематической составляющей, с помощью dw- критерия Дарбина –Уотсона по формуле (данные для расчета берем из таблицы 6)

dw =

32,32 /  14,6 = 2,21369863 ≈ 2,2,

¯dw = 4 – dw = 4- 2,21369863 = 1,78630137 ≈ 1,8

Рисунок 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     

     Значения dw- критерия Дарбина –Уотсона:  d_{1 =} 1,08 , d_{2 =} 1,36 (данные из приложения)¹.(Рисунок 1)

      Так как ¯dw  попало в интервал  от d₂ до 2, то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости. Это означает, что в ряде динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна. 

     б. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек, по формуле :

     Где p – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду,

1,96 –  квантиль нормального распределения  для 5% уровня значимости. Квадратные  скобки здесь означают, что от  результата вычисления следует  взять целую часть. 

     Количество  поворотных точек p при n = 9 равно 5 (график 2).

Вычислим:

5 > 2  

     Неравенство выполняется 5 > 2. Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна. 

     в. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью  RS – критерия :

RS = ( e _{max –} e _min ) / S ,  

где e _max - максимальный уровень ряда остатков, e _max  = 2,2 (таблица 7);

e _min – минимальный уровень ряда остатков , e _min = -2,5 (округлили до десятых) ;

S – cреднеквадратичное отклонение ,

S = √ 1 / n – 1 ∑ e²_t = √  14,6 / 8 = 1,35;

Вычислим  RS =   2,2 – (-2,5)   /  1,35 = 3,48.

     Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения.  Модель по этому критерию адекватная. 

     в. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков. В нашем случае ¯e = 0 , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется. Данные анализа ряда остатков приведем в таблице 8:

Таблица 8

 

     Вывод: модель  статистически адекватна. 

4. Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е _отн. (таблица 9,10)

Таблица 9

Таблица 10

 

  0,796820776 ≈ 0,8

  Е _отн. = 1/ 9 *  0,8 * 100 % ≈ 8,85 %

     Вывод: Е _отн. = 8,85 % - хороший уровень точности модели. 

5. Для вычисления точечного прогноза в построенную  модель подставляем соответствующие  значения фактора  t = n + k ;                                                         

  y _{прогн ( n+ k )} = a₀ + a₁( n+k)

a ₁ = 2,7

a₀= 1,166667

      Вычислим :

y₁₀ = 1,166667 + 2,7 * 10 =  28,166667 ≈  28,2,

y₁₁ = 1,166667 + 2,7 * 11 = 30,866667  ≈ 30,9. 

     Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал.   При уровне значимости α = 0,3 доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при γ = n – 2 = 7 .

     Ширину доверительного интервала  вычислим по формуле :

U ( k ) = S _etα √  1+1 / n + ( n + k - ¯ t ) ² / 

( t - ¯ t ) ²,

где S _e = √ (1 / n – p)* e²_t  ,

вычислим  S_e = √ 1 / 9 – 5 * 14,6 = 1,9104973 ≈ 1,9 (можно взять из регрессионного анализа )  , t _{α, γ}  =СТЬЮДРАСПОБР(0,3;7) = 1,119159 ≈ 1,1 (это значение получили с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР в Excel) ( Таблица 11).  
 

Таблица 11

¯t = 5 , ∑ ( t - ¯ t ) ^{2 =} 60 ( находим в таблице 4) ;

U ( 1 ) = 1,9 * 1,1 √ 1 + 1/ 9 + ( 9+1-5)² /60 ≈ 2,6,

U ( 2 ) = 1,9 * 1,1 √ 1 + 1/ 9 + ( 9+2-5)² /60 ≈ 2,8

     Далее вычислим верхнюю и нижнюю  границу прогноза (таблица 12)

y _{прогн ( n+ k )} + U ( k )  верхняя граница

Вычислим  y₁₀ = 28,166667 + 2,642825 ≈ 30,8,

y₁₁ =30,866667  + 2,796903 ≈ 33,7.

y _{прогн ( n+ k )} - U ( k ) нижняя граница

Вычислим  y₁₀ = 28,166667 - 2,642825 ≈ 25,5,

y₁₁ =30,866667  - 2,796903≈  28,1.

Таблица 12 

     Построим график результатов  моделирования и прогнозирования:

График 3 

 
 
 

         Ответ: Так как полученные λ_t меньше критического уровня, то это означает, что аномальных наблюдений нет. Модель имеет вид Ŷ(t) = 1,166667 + 2,7 t. Модель по всем параметрам адекватна.

     Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е _отн. = 8,85 % - хороший уровень точности модели

     Прогноз на следующие две недели:

y₁₀ = 1,166667 + 2,7 * 10 =  28,166667 ≈ 28,2,

y₁₁ = 1,166667 + 2,7 * 11 = 30,866667  ≈ 30,9. 
 

     Задание 4.Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий:  

     4.3.Объем продаж магазина составляет в год 2000 упаковок супа в пакетах. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена одного пакета равна 2 руб. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 50 руб. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней. По оценкам специалистов, издержки хранения в год составляют 4 руб. за один пакет. Необходимо определить: сколько пакетов должен заказывать владелец магазина для одной поставки; частоту заказов; точку заказа. Известно, что магазин работает 300 дней в году. Постройте график общих годовых затрат.

Дано: T = 300 р.д./год;

M = 2000 упаковок супа в пакетах/год;

C = 2руб./пакет;

h = 4 руб./год;

K = 50 руб./за заказ;

t = 12 дней.

     Определить: Q_опт , частоту заказов, точку заказа, построить график Z₁(Q).

Решение:

     1.Количество пакетов супа в  одной поставке:

Q_{опт =} √ (2* K* M) / h = √ (2*50*2000)/ 4  = 223,6068 ≈ 224 упаковки.

    2. Общие годовые затраты:

Z₁(Q) = (K* M) / Q_опт +  (h* Q_опт) / 2 + C*M = (50*2000)/224+(4*224)/2+2*2000 = 4894,429 руб.

    3. Строим график общих годовых затрат Z₁(Q) с помощью таблицы:

Таблица 1

  
 
 
 

График 1

 

     Из таблицы и графика очевидно  выполнение характеристического  свойства оптимального размера партии.

     4. Частота заказов:

M / Q_опт = 2000 / 224 = 8,928571 ≈ 9 заказов в год.

     5. Периодичность поступления ( интервал  между поступлениями) заказов: 

Q_опт / M = 224 / 2000 = 0,112 лет , или 0,112 * 300 = 33,6 ~ 34 дня

6. Точка заказа:

 X = (t * M)/ T = 12 * 2000 / 300 = 80 пакетов.