Контрольная работа по "Экономико-математические методы и прикладные модели"

    Обозначим границы области многоугольника решений.(Рис.2) 

    

Рисунок 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     

  Для определения направлений движения к оптимуму построим вектор-градиент V, координаты которого являются частными производными целевой функции:

V =  ( ∂f / ∂x₁ = c₁, ∂f / ∂x₂ =  c₂) = (3; 4).

     Чтобы построит такой вектор, нужно соединить точку (3;4) с началом координат.

     Затем строим линию уровня  3 x₁ + 4 x_{2 =} a. Приравняем целевую функцию постоянной величине a. Меняя значение a, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией (Рис.3).Движение линии уровня будет осуществляться в направлении градиента до ее выхода из области допустимых решений. В угловой точке В достигается минимум целевой функции (прямая f (X)= const пересекает область в точке B).

Рисунок 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Область допустимых решений представляет собой треугольник.

     Для нахождения координат этой  точки достаточно решить систему  из двух уравнений прямых, дающих  в пересечении точку минимума. Так как точка B получена в результате пересечения прямых 3 x₁ +2 x₂ =10 и 4 x₁+6 x₂ = 20, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

3 x₁ +2 x₂ ≥ 10,

4 x₁+6 x₂ ≥ 20.

Решим систему  уравнений:

3 x₁ +2 x₂ = 10,            *3

4 x₁+6 x₂ = 20. 

9 x₁ +6 x₂ = 30,           

4 x₁+6 x₂ = 20. 

9 x_{1 -} 4 x_{1 =} 10,

5 x₁₌10,

x₁ = 2.

Подставим: 3*2+2 x₂ = 10,

x₂ = 10-6 / 2 = 2

     Решив систему уравнений, получим: x₁ = 2, x₂ = 2.

     Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

f (X)= 3*2 + 4*2 = 14 .

     Соответственно, чтобы обеспечить  эффективное питание почвы мы  должны приобрести 2 набора обычных  удобрений по цене 3 ден. ед. и  2 набора улучшенных удобрений  по цене 4 ден. ед., минимизировав  стоимость до 14 ден.ед.

      Если по условию задачи решить  на max,  f (X) = 3 x₁ + 4 x₂ → max. Задача не будет иметь решения, так как целевая функция не ограничена сверху на области допустимых решений, max f (X) = + ∞. 

Ответ: Чтобы обеспечить эффективное питание почвы мы должны приобрести 2 набора обычных удобрений по цене 3 ден. ед. и 2 набора улучшенных удобрений по цене 4 ден. ед., минимизировав стоимость до 14 ден.ед. ( min f (X)= 14 ).

     Если решить задачу на максимум  max f (X) = + ∞, т.е. не будет иметь решений 
 
 
 
 
 
 

    Задание 3. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда:

     3.3.  В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ_t = a₀+a ₁t, параметры которой оценить МНК (Ŷ_t – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S – критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

     Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использования компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

     При решении этой задачи будем  использовать для расчетов надстройку  Excel Анализ данных.

     Решение:

1. Выявление аномальных наблюдений является обязательной процедурой этапа предварительного анализа. Так как наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, то необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Для диагностики аномальных  наблюдений  воспользуемся методом Ирвина. Для всех или только для подозреваемых в анормальности наблюдений вычисляется величина:

λ _t =

,

где      .

    Находим ӯ = (1 / 9 ) * ,  ( или 1/9*СУММ(B2:B10)),   которое равно 14,66666667 ≈ 14,7.  Затем вычислим разность квадратов (y_t – ӯ)². Далее находим сумму этого ряда (y_t – ӯ)² = 452.  Затем со всеми известными находим S_y = КОРЕНЬ (C12/8)= 7,516648189 ≈ 7,5. Соответственно теперь мы может вычислить λ для каждого t.

λ₂ = (7-3) / 7,5= 0,532152 ≈ 0,5, аналогично вычислим остальные λ _t  (Таблица 1).

Таблица 1 

 

    Сравниваем рассчитанные величины  λ_t  с табличными значениями (Критические значения критерия Ирвина λ : 1,5)

     Если бы рассчитанная величина  превышала табличные значения, то  yровень y_t считался бы аномальным. В нашем случае или в нашем ряду нет аномальных точек, так как  все значения меньше  чем табличного значения λ.  
 
 

2. Построим линейную модель Ŷ(t) = a₀+a₁t.

     Для начала построим линейную модель регрессии Y от t. Для проведения регрессионного анализа воспользуемся Excel Анализ данных, выберем инструмент Регрессия. В результате получим значения в виде таблиц  и графиков. (Таблица 2, График 1, График 2) 

 

Таблица 2

 

График 1 

 

График 2

 

     В таблице 2 второй столбец содержит коэффициенты уравнения регрессии a_0,a _{1 .}

     Кривая роста имеет вид :

Ŷ(t) = 1,166667 + 2,7 t.

 

     Оценим параметры модели «вручную». В таблице приведены промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (таблица 4).

Таблица 4 

 

Расчетные значения в формулах и функциях:

Таблица 5 

 

     В результате расчетов получаем  те же результаты (все данные  берем из таблицы ) :

a ₁₌    

a₀₌  

14,66667 - 2,7 * 5 = 1,166667 ≈ 1,2.

Построили  линейную модель : Ŷ(t) = 1,2 + 2,7 t.

     Так  как сумма расчетных значений Ŷ(t)  примерно равна сумме фактических y_t,  то уравнение модели найдено верно.

3. Для  оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели,  и фактических наблюдений (таблица 6).  Ранее при регрессионном анализе мы вывели остатки (таблица 3).

 

Таблица 6