Контрольная работа по "Экономико-матемаическое моделирование"

     Рис. 7. Окно ввода данных программы «Регрессия» 

 

Рис. 8. Результаты работы программы «Регрессия»

 

      Стандартная ошибка уравнения регрессии

0,44

(т. е.  оценка параметра σ_ELR)  приводится  в результатах работы  программы «Регрессия» в таблице под заголовком «Регрессионная статистика» (рис. 8).

в)  на 5%-ном уровне значимости  проверить гипотезу при альтернативной гипотезе ; при отклонении H₀

•   дать содержательную интерпретацию коэффициента  ;

• построить 95%-ную интервальную оценку параметра и дать содержательную интерпретацию ее границ; построить 95%-ную интервальную оценку параметра ;

• дать точечные и 95%-ные интервальные прогнозы генерального среднего объема продаж и объема продаж для центров интервалов расходов на рекламу; найденные интервальные прогнозы изобразить на том же графике, где изображено поле корреляции.

                Проверка  гипотезы (о незначимости  парного линейного уравнения регрессии) при альтернативе  производится  на основе анализа статистики

имеющей (в предположении справедливости H₀) распределение Фишера — Снедекора с одной и n – 2 = 58 степенями свободы. Значения величин 

приводятся  в результатах работы программы  «Регрессия» в столбце «SS»  в строках «Регрессия» и «Остаток»  соответственно (рис. 8).

В данном случае наблюдаемое значение статистики F_{1; 58}, равное 171,4 [в результатах работы  программы (рис. 8)  оно приводится  в таблице «Дисперсионный анализ» в столбце «F»], оказалось больше, чем критическая точка f_{0,05; 1; 58}, равная 4,0 [в Microsoft Excel значение   можно получить с помощью функции   , поэтому есть основания отвергнуть гипотезу H₀ на 5%-ном уровне значимости. 

                 Гипотезу H₀ можно проверить и так: если значимость F [приведенная в результатах работы программы «Регрессия» (рис. 8) в таблице «Дисперсионный анализ»)]  оказывается не  меньше  принятого уровня  значимости α (в данном случае  α = 0,05),  гипотезу  H₀ принимают,  а  если  значимость F оказывается меньше α, гипотезу H₀ отвергают. В данном случае есть основания отвергнуть гипотезу H₀, поскольку значимость F равна 5,77791E-19

• Значение коэффициента = 2,92 показывает,  что увеличение расходов  на  рекламу на 1  тыс. ден. ед.  сопровождается  увеличением генерального среднего объема продаж на 2,92 сотен тыс. ден. ед.

•   Интервальная оценка параметра a₁ такова:

В  данной  задаче 0,065; 59*0,065=3,84; 0,44 поэтому 95%-ная интервальная оценка параметра a₁ принимает вид

 

2, 47 <a₁< 3, 36

т. е. с  вероятностью 0,95 можно ожидать, что каждая тысяча ден. ед., дополнительно вложенная в рекламу, приведет к увеличению среднего объема продаж от 2, 47  сотен тыс. ден. ед. до 3, 36 сотен тыс. ден. ед.

Интервальная  оценка параметра a₀ такова:

В  рассматриваемой  задаче 0,72, 0,065, 3,84,

  38,91 , 0,44 поэтому 95%%ная интервальная оценка параметра a₀ принимает окончательный вид:                                       

 

0,36 <а₀< 1,08

     Интервальные  оценки параметров a₀ и a₁ приведены в результатах работы программы « Регрессия» (рис. 8):  нижние границы  интервалов приводятся в столбце «Нижние 95%», а верхние границы интервалов —  в столбце «Верхние 95%».

•  Точечным  прогнозом  для  генерального  среднего  объема  продаж при расходах  на  рекламу,  равных,  будет 0,72+2,92х; в условиях примера точечные прогнозы

 при; 0,15; 0,45; 0,75; 1,05, 1,35 таковы:  1,16; 2,03; 2,91; 3,78; 4,66

Интервальная  оценка    задается формулой

В условиях задачи

0,863 < M(Y|x) = 0,15 < 1,460

1,855 < M(Y|x) = 0,45 < 2,217

2,797 < M(Y|x) = 0,75 < 3,025

3,614 < M(Y|x) = 1,05 < 3,957

4,374 < M(Y|x) = 1,35 < 4,946

эти интервальные оценки изображены на рис. 9 

Рис. 9. Поле корреляции, линия  групповых средних, точечный и интервальный прогноз групповых  средних

 

Интервальный  прогноз объема продаж Y при расходах на рекламу x′ (Y|x′) задается формулой 

 

В условиях данной задачи

0,231 < Y|x = 0,15 < 2,091

1,137 < Y|x = 0,45 < 2,935

2,023 < Y|x = 0,75 < 3,799

2,888 < Y|x = 1,05 < 4,863

3,734 < Y|x = 1,35 < 5,586

эти оценки изображены на рис. 9.

Расчет интервальных оценок для в Microsoft Excel проиллюстрирован рис.10. 

г)  на 5%-ном уровне значимости проверить гипотезу о линейности функции регрессии Y на x.

     Проверим  на 5%-ном уровне значимости гипотезу H₀ о линейности функции регрессии Y на x. Для этого рассчитаем значение статистики

которая в предположении справедливости гипотезы H₀ имеет распределение Фишера — Снедекора с ν– 2 = 3 и n – ν = 55 степенями свободы. Здесь SS_регр приводится в результатах работы программы «Регрессия» в столбце «SS» в строке «Регрессия» (рис. 8), а и SS и и SS_ост

 —  в результатах работы программы  «Однофакторный дисперсионный анализ» (табл.2).

В условиях задачи наблюдаемое значение статистики F_{3; 55} равно

и оно  меньше критической точки f_{0,05; 3; 55} = 2,54, поэтому гипотеза H₀ о линейности функции регрессии Y на x не отвергается. 

Рис. 10. Расчет доверительных  интервалов для  M(Y|x’) и Y|x^’